李益群，吳勃英，王常虹

(1.哈爾濱工業(yè)大學 理學院數學系，哈爾濱150001；2.哈爾濱工業(yè)大學 空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱 150001)

基于李群譜配點法的衛(wèi)星姿態(tài)仿真

李益群1，吳勃英1，王常虹2

(1.哈爾濱工業(yè)大學 理學院數學系，哈爾濱150001；2.哈爾濱工業(yè)大學 空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱 150001)

為了提高衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)仿真的精度、可信性和長時間穩(wěn)定性，提出了一種基于李群譜配點法的衛(wèi)星姿態(tài)仿真方法。對于李群上動力學系統(tǒng)的仿真，李群譜配點法具有獨特的優(yōu)勢，不僅能很好地保持系統(tǒng)的幾何結構，而且具有幾何收斂性。主要結合李群算法和譜方法各自的優(yōu)勢，給出了幾何動力學與控制系統(tǒng)李群譜配點法的構造方法并將該算法應用于欠驅動衛(wèi)星系統(tǒng)的姿態(tài)控制系統(tǒng)仿真中。

李群；譜配點法；幾何動力學；衛(wèi)星姿態(tài)

0 引言

衛(wèi)星姿態(tài)有眾多的參數化描述方法，其中包括三維歐氏空間中的歐拉角描述，非歐空間中的四元數描述(一般看成四維歐氏空間中的向量)，以及本文所用的SO(3)群描述方法。不管是哪種歐拉角和四元數描述方法都不能全局、唯一地表示衛(wèi)星的姿態(tài)。歐拉角不能全局地表示衛(wèi)星的所有姿態(tài)，雖然四元數可以全局地表示衛(wèi)星的姿態(tài)，但是其不具有唯一性，基于其的姿態(tài)控制可能會產生系統(tǒng)的退繞現象，最終導致星載能源的大量浪費[1]。為了全局、唯一地表示衛(wèi)星姿態(tài)，本文中用SO(3)群

SO(3)={R∈R3×3|RRT=I3,det(R)=1}

描述系統(tǒng)的姿態(tài)，并基于此類李群描述給出了欠驅動衛(wèi)星系統(tǒng)的幾何姿態(tài)動力學方程和幾何控制律[2]。既然，衛(wèi)星姿態(tài)動力學與控制系統(tǒng)的描述都是基于非線性流形(李群)，那么，相對于歐氏空間的數值仿真算法，用幾何數值積分法對欠驅動衛(wèi)星控制系統(tǒng)進行仿真將具有更好的幾何結構保持性，也更加自然、可信。

衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的幾何模型描述如下[3]：

(1)

這里g∈SO(3)表示衛(wèi)星的姿態(tài)，V∈SO(3)={V∈R3×3|VT=-V}表示衛(wèi)星在空間坐標系下的角速度，U表示外部控制量。

過去幾十年間，有大量針對非線性流形上系統(tǒng)非線性控制方法的研究，如反饋線性化、反步法、滑模變結構等。這些方法往往只適用于某些特定的非線性控制系統(tǒng)，且控制律只具有小范圍有效性。科研工作者和工程技術人員一直試圖用更加先進的數學工具來描述和分析非線性系統(tǒng)的控制問題[4-6]，以期達到更廣的適用性和更精準的控制效果。其中，幾何非線性控制的專著[7-9]很多都闡述了微分流形理論在非線性控制中的重要作用。本文數值仿真算例中用到的幾何控制律主要是源于以下定理。

定理1[10](SO(3)上的PD+前饋控制)對于式(1)所示的控制系統(tǒng)，令Kp、Kd為對稱、正定矩陣，則以下的控制律為

U=-f(g,V)-Kplog(g)-KdV

可以使狀態(tài)g從任何初始條件{g0|tr(g0)≠-1}指數收斂于I∈SO(3)，只要Kp和V0滿足以下的不等式

這里λmin(KP)表示矩陣KP的最小特征值。

可以看出，以上的控制律不需要對衛(wèi)星模型進行局部參數化，而是完全由李群和其相應的李代數表示。在后文的數值算例中，將運用以上的幾何控制律實現欠驅動衛(wèi)星姿態(tài)的快速自旋穩(wěn)定。

相對于歐氏空間中的數值算法，對于幾何控制系統(tǒng)式(1)的仿真，幾何數值積分法如：辛Runge-Kutta法[11]、變分積分子[12]、李群方法[13]、李群變分積分子[14]等，具有獨特的優(yōu)勢。變分積分子在長時間數值仿真中保辛、保動量且有很好的能量保持特性；李群方法能夠保持系統(tǒng)的群結構；李群變分積分子繼承了以上兩種方法的所有優(yōu)點?；谝陨戏椒ǖ膭恿W和控制系統(tǒng)的仿真，能夠更真實地仿真和理解復雜動力學和控制系統(tǒng)的長時間特性。本文結合李群算法和具有幾何收斂性的譜配點法構造了高精度、保李群結構的數值仿真算法，并將其應用于欠驅動衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的仿真中。

1 三維特殊正交群SO(3)上的譜配點法

本節(jié)主要介紹一種保持系統(tǒng)李群結構且能達到任意高階精度的幾何數值積分法—李群譜配點法。該算法的核心思想是通過正則坐標將流形M切叢TM上的微分方程轉化為其相應李代數切空間(向量空間)Tg上的方程，然后用譜方法求解轉化后的方程，并在每一步數值迭代中將求解的數值結果通過重構映射拉回到原始的流形上。

不失一般性，考慮以下矩陣李群上的運動學方程

g(t)∈G,V(t,g)∈g

(2)

定理2[15]對于t≥0，式(2)的解可以表示如下

g(t)=τ(θ(t))g0

(3)

這里θ∈g滿足以下的微分方程

(4)

定理2給出了將李群上運動學方程轉化為其相應李代數上方程的方法。李群譜配點法的步驟如圖1所示。

圖1 流形上譜方法的轉化示意圖Fig.1 The commutative diagram of spectral methods on manifolds

1.1 流形上的正則坐標

(5)

這里[·,·]表示李代數上的對易子，Bk表示Bernoulli數。在李代數SO(3)上，指數映射exp可以通過Rodrigues公式精確求得

θ∈SO(3)

(6)

這里I是3×3的單位矩陣，θ是一個三維向量。對任意的李代數θ∈g

(7)

1.2 數值算法構造

基于以上對算法思想和正則坐標映射的介紹，下面給出具體李群譜配點算法的構造方法。首先給出基于張量積運算的多維常微分系統(tǒng)的譜配點方法[19]的介紹，然后將該方法推廣應用于SO(3)群上的系統(tǒng)。以Chebyshev配點法為例，我們考慮以下的非線性初值問題:

(8)

其中

這里m表示李代數的維數。記

為區(qū)間[-1,1]上的Chebyshev-Gauss-Lobatto點。那么，將其通過平移和放縮映射到區(qū)間[t0,T]上，其相應的Chebyshev-Gauss-Lobatto點為

記D(1)為區(qū)間[-1,1]上的一階Chebyshev微分矩陣，其指標由0變到N

Di,j(1)=

(9)

從而可以通過一階Chebyshev微分矩陣將式(8)離散化為以下方程組的形式

(10)

其中，

(11)

式中，Im是m×m維的單位矩陣。這樣式(8)的數值解vec(Q)可以通過求解式(11)得到。以上的算法可以總結為如下步驟。

2)選擇一種譜配點法和非線性方程組求解方法；

3)用所選擇的譜配點法求解如下李代數上的初值問題

4)運用重構公式gn+1=τ(θ)gn求解gn+1。

2 數值仿真(欠驅動衛(wèi)星系統(tǒng)的自旋穩(wěn)定)

為了驗證以上算法的效果，仿真如圖2所示的欠驅動衛(wèi)星控制系統(tǒng)。

圖2 衛(wèi)星-飛輪系統(tǒng)示意圖Fig.2 The illustration of satellite-flywheel system

假設衛(wèi)星的3個正交飛輪中的一個失效，其他的控制力矩和本體坐標系都是沿衛(wèi)星的主軸，那么衛(wèi)星在其本體坐標系下的慣性矩陣可以用對角矩陣J=diag(J1,J2,J3)表示，其運動學和動力學模型可以表示如下：

這里M0表示系統(tǒng)的初始角動量，ui是控制力矩，e1=[1,0,0]T,e2=[0,1,0]T。系統(tǒng)的各項參數如表1所示，

表1 欠驅動衛(wèi)星控制系統(tǒng)參數

使用以下的自適應控制律[20]實現對該系統(tǒng)的90°旋轉，并最終達到自旋穩(wěn)定

(12)

其中，

其中，e0=[0,0,1]。用李群Chebyshev方法仿真以上的系統(tǒng)，圖3給出了衛(wèi)星角速度的變化情況，可以看出衛(wèi)星最終達到了自旋穩(wěn)定；圖4給出了實際指向與目標指向之間的距離，從圖中的曲線不難看出幾何控制律式(12)的指數收斂性；圖5給出了衛(wèi)星的指向向量由q0變化到qd的過程；圖6所示為球面上衛(wèi)星從初始指向到目標指向運動的過程，可以看出運用李群譜配點法的仿真使得衛(wèi)星的指向向量嚴格地保持在球面上。如圖6所示，最理想的姿態(tài)調整曲線應該是球面上點q0到qd的測地線，從數值仿真結果可以看出，以上的控制律沒有使系統(tǒng)的指向沿球面測地線高效地運動到目標指向，這跟控制系統(tǒng)中比例增益和微分增益的大小密切相關。今后，將研究如何有效地調節(jié)本文中增益kp、kd、α的值，以達到更好的控制效果。

圖3 衛(wèi)星角速度Fig.3 Angular velocity of the satellite

圖4 衛(wèi)星指向與目標之間的距離 Fig.4 Distance between the orientation of the satelliteand the desired orientation

圖5 衛(wèi)星的指向向量Fig.5 Orientation of the satellite

圖6 球面上衛(wèi)星的旋轉軌跡Fig.6 Orientation trajectory of the satellite on the sphere

3 結論

本文給出了基于李群譜配點法的欠驅動衛(wèi)星控制系統(tǒng)仿真。文中對欠驅動衛(wèi)星系統(tǒng)的建模、控制和仿真都是基于微分幾何的方法。通過數值仿真，驗證了文中所介紹李群譜配點法的有效性、精確性和對所仿真控制系統(tǒng)幾何結構的保持性。與此同時，也驗證了文中所給非線性幾何控制律的指數收斂性。在以后的研究中，將把以上的李群譜配點法拓展應用于多體系統(tǒng)的動力學與控制問題仿真中。

[1] Bhat S P, Bernstein D S. A topological obstruction to continuous global stabilization of rotational motion and the unwinding phenomenon[J]. Systems amp; Control Letters, 2000, 39(1): 63-70.

[2] Jouan P. Controllability of linear systems on lie groups[J]. Journal of Dynamical and Control Systems, 2011, 17(4): 591-616.

[3] Marsden J E, Ratiu T. Introduction to mechanics and symmetry: a basic exposition of classical mechanical systems[M]. Springer Science amp; Business Media, 2013.

[4] Brockett R W, Stokes A, Park F. A geometrical formulation of the dynamical equations describing kinematic chains[C]//Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation.Atlanta, 1993: 637-641.

[5] Jurdjevic V, Sussmann H J. Control systems on lie groups[J]. Journal of Differential Equations, 1972, 12(2):313-329.

[6] Crouch P E. Geometric structures in systems theory[C]//IEE Proceedings D-Control Theory and Applications. IET, 1981, 128(5): 242-252.

[7] Bloch A, Baillieul J, Crouch P, et al. Nonholonomic mechanics and control[M]. New York: Springer, 2003.

[8] Agrachev A A, Sachkov Y L. Control theory from the geometric viewpoint[M]. Springer Science amp; Business Media, 2004.

[9] Bullo F, Lewis A D. Geometric control of mechanical systems[M]// Geometric Control of Mechanical Systems. Springer, 2005:2111.

[10] Bullo F, Murray R M. Proportional derivative (PD) control on the Euclidean group[C]//European Control Conference. 1995: 1091-1097.

[11] Jones B A, Anderson R L. A survey of symplectic and collocation integration methods for orbit propagation[C]// Proceedings of the AAS/AIAA Spaceflight Mechanics Conference. 2012: 1-20.

[12] Marsden J E, West M. Discrete mechanics and variational integrators[J]. Acta Numerica, 2001, 10(1): 357-514.

[13] Iserles A, Munthe-Kaas H Z, N?rsett S P, et al. Lie-group methods[J]. Acta Numerica, 2000, 9(2): 215-365.

[14] Lee T, Leok M, McClamroch N H. Lie group variational integrators for the full body problem in orbital mechanics[J]. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2007, 98(2): 121-144.

[15] Bou-Rabee N, Marsden J E. Hamilton-Pontryagin integrators on Lie groups part I:Introduction and structure-preserving properties[J]. Foundations of Computational Mathematics, 2009, 9(2): 197-219.

[16] 陳省身, 陳維恒. 微分幾何講義[M]. 北京:北京大學出版社,2001.

[17] Eng? K. On the construction of geometric integrators in the RKMK class[J]. BIT Numerical Mathematics, 2000, 40(1): 41-61.

[18] 張素英, 鄧子辰. 非線性動力學系統(tǒng)的幾何積分理論及應用[M]. 西安:西北工業(yè)大學出版社,2005.

[19] Trefethen L N. Spectral methods in MATLAB[M]. Society for Industrial and Applied Mathematics. Philadelphia, PA,2000.

[20] Bullo F, Murray R M, Sarti A. Control on the sphere and reduced attitude stabilization[J]. IFAC Proceedings Volumes, 1995, 28(14): 495-501.

LieGroupSpectral-CollocationMethodfortheAttitudeSimulationofSatellites

LI Yi-qun1, WU Bo-ying1, WANG Chang-hong2

(1.College of Science, Mathematics Department, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China；2.Space Control and Inertial Technology Research Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

In order to improve the simulation accuracy, credibility and long-time stability of satellite control systems, an attitude simulation method based on Lie group spectral-collocation algorithm is proposed. Lie group spectral-collocation algorithm has its unique advantages for the simulation of dynamical systems evolving on Lie groups. It can not only keep the geometry structure of the system, but also converge geometrically. The construction of Lie group spectral-collocation method is introduced for the simulation of dynamical and control systems and it is applied in the simulation of attitude control of an under-actuated satellite.

Lie group; Spectral-collocation methods; Geometric dynamics; Satellite attitude*

10.19306/j.cnki.2095-8110.2017.06.003

V412.4

A

2095-8110(2017)06-0019-05

2017-08-21；

2017-11-13

國家自然科學基金面上項目(NSFC11271100)

李益群(1988-)，男，理學博士，主要從事計算幾何力學和幾何控制理論的研究。E-mail：liyiqun_hit@163.com

王常虹(1961-)，男，教授，博導，主要從事飛行器導航、制導與控制方面的研究。E-mail：cwang@hit.edu.cn