首都師范大學數(shù)學科學學院100048 覃淋

例談類比法在數(shù)學解題中的應用

首都師范大學數(shù)學科學學院100048 覃淋

將“楊輝三角”與類比法相結合,討論了三個著名的問題,并給出了比較簡潔的計算方法.最后從現(xiàn)代認知心理學的角度討論了類比法在數(shù)學學習中的重要性.

楊輝三角;類比;應用

楊輝三角,又稱賈憲三角,國外通常稱為帕斯卡三角形,是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.南宋數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》(1261)中,記載了賈憲的著作—《黃帝九章算術細草》里面的大部分內(nèi)容.其中有一張稱為“開方作法本源”的圖,根據(jù)楊輝的記述,賈憲的高次開方法即以此為基礎.下圖是我國數(shù)學家朱世杰《四元玉鑒》中的“古法七乘方圖”.[1]

圖1

圖2

關于楊輝三角的性質,已有很多的討論[2-5],這里我們從類比的角度,來討論楊輝三角的應用.類比法是數(shù)學發(fā)現(xiàn)發(fā)明的重要方法之一,比如將直角三角形與四面體進行類比,可以得到三維空間里的“勾股定理”;通過二維與高維空間的類比,將基本不等式和柯西不等式推廣到了n維.歷史上最著名的類比,當屬歐拉求的和的類比,對于此,波利亞在其著作《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》中有詳細的論述.

類比是某種類型的相似,我們可以說它是一種更確定的和更概念性的相似[6].簡單地說,類比就是兩類事物具有類似的關系,是一種從特殊到特殊的推理方法,建立在兩類事物或對象具有相似性的基礎上的.實際上,在數(shù)學中,處處都有類比的身影,數(shù)學中的同構實質上也是一種類比,兩個同構的事物,具有一一對應的關系,那它們就可能有著保持某些關系不變的規(guī)律[7].

這里通過如下三個問題：1.剖分數(shù)問題,即討論點分直線、直線分面、面分空間的問題;2.高維空間單位立方體的頂點數(shù)、棱數(shù)、“面”數(shù)問題;3.自然數(shù)冪和問題,來說明類比法在數(shù)學解題中的應用.

1 剖分數(shù)問題

這里我們討論點分直線、直線分面、平面分空間這三個小問題.

(1)直線上n個點至多將一條直線分成多少部分?

(2)平面上n條直線至多將一個平面分成多少部分?

(3)空間中n個平面至多將空間分成多少部分?

為敘述方便,將以上三個問題分別稱為“點分線”、“線分面”、“面分體”,然后再把最后分得的數(shù)目分別記為Ln,Sn,Vn.

分析 (1)這是一個比較簡單的問題,只要任意兩點不重合,那么n個點將一條直線分為n+1部分.作如下處理：

(2)要使得直線將平面分塊最多,必然是任意兩直線相交,且沒有三直線共點.當n=0時,S0=1;n=1時,S1=2;n=2時,S2=4;n=3時,S3=7;n=4時,S4=11;...

實際上,每增加一條直線ln時,它就被原來的n-1條直線分成了n段;而這n段中的每一段又把原來的一個平面區(qū)域分割成兩部分,也就是說,增加了n個,那么有：Sn=Sn-1+n,此時,

(3)要使“面分體”份數(shù)最多,即要求沒有2個面平行,沒有三個面共線,也沒有4個平面共點.那么,當n=0時,V0=1;n=1時,V1=2;n=2時,V2=4;n=3時,V3=8;n=4時,V4=15;...

我們知道,原來的n-1個平面把空間分為Vn-1塊,再添加一個平面,它與原來的n-1個平面有n-1條交線;那么新添的這個平面被分成Sn-1部分,這Sn-1中的每一部分又把一空間塊分成2塊,因此,Vn=Vn-1+Sn-1.此時：

將上面的結果整理,得到

_________________________________分成幾部分分割元素的個數(shù)__________________ _________ _ _______點分線 線分面__ ____面分體____ _________________ ___ ___01___ _____1_____ ______1______ _________________ ___ ___12___ _____2_____ ______2______ _________________ ___ ___23___ _____4_____ ______4______ __________________ ___ 3 4___ _____7_____ ______8______ _________________ ___ ___45____ ____11____ ______15_____ _________________ ___ ___56____ ____16____ ______26_____ _________________ __……___ ____…____ ______…_____ __________________ _ nn+1__ _Sn-1+n_ _Vn-1+Sn-1__

圖3

根據(jù)上面的分析,類比楊輝三角,得到了一個類似楊輝三角的圖,我們稱之為“楊輝式”三角(圖3).對比左邊的表格,斜著看右邊的圖,容易知道：第一“行”就是n=0時的情況,第二行是n=1時的結果,以此類推.

楊輝三角內(nèi)的每一個數(shù)等于它左肩數(shù)與右肩上的數(shù)字之和.這里可以發(fā)現(xiàn)與之類似的規(guī)律：從第二行起,每一個數(shù)等于其正上方與右肩上數(shù)字之和.如15=7+8,11=4+7,若規(guī)定則有以下結論注意這里并沒有要求n≥r.

2 高維空間立方體的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)問題

一般來說,維數(shù)超過3的高維空間中“立方體”的結構及其特征是比較難以想象的,因為在實際生活中無法找到這樣的實例,而楊輝三角則為我們開啟了一扇透視高維空間的窗.將點、單位線段、單位正方形、單位正方體的所含點、線、面、體的個數(shù)做成下表(這里將點看作是0維的)：

_維___ _數(shù) 頂點數(shù)_ _棱數(shù)_ _面數(shù)_ _三維面_ _四維面_ _五維面..._ ______ ____ 01____ ______ _______ _________ _________ ___________ ______ ____ 12___ ___1___ ______ _________ _________ ___________ ______ ____ 24___ ___4___ __1___ ________ _________ ____________ ______ ____ 38____ __12__ ___6__ ____1____ ________ ____________ ______ ___416___ __32__ __24__ ____8___ ____1____ ___________ ______ _________ _______ ______ _________ _________ ___________ _5 ...

可以發(fā)現(xiàn),頂點數(shù)的規(guī)律是2k,棱數(shù)為低一維的頂點數(shù)加上低一維棱數(shù)的2倍,即4=2+1×2,12=4+4×2,32= 8+12×2.類比楊輝三角,寫成下面的形式,規(guī)律就更明顯了.

顯然,這里有和楊輝三角類似的性質,下一行的數(shù)為它的左肩上的數(shù)與右肩上數(shù)的2倍之和,那么據(jù)此可以得出任意維“立方體”頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)、三維面、四維面等的個數(shù)了.

這里還有一個值得注意的有趣現(xiàn)象,即這里每一行的數(shù)均為(2x+1)n展開式中的各項系數(shù).如當n=4時,對應的就是4維“立方體”,展開每一項系數(shù)分別為和上面第五行是完全對應的.由此,討論高維空間中的點、線、面、體的個數(shù)問題就變得簡單了.

3 自然數(shù)冪和問題

所謂自然數(shù)冪和問題,是指

的求和問題.中學遇到的是k=1,2,3的三種情形,對于這三種比較簡單的情形,方法比較多.波利亞的《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》一書中就給出了多種解法,文獻[8]在《二次冪和十一法》一文中給出了二次冪和的十一種求法.這里,我們通過類比楊輝三角給出一種簡便的方法.

另外,易得到以下結論：

同樣的,

現(xiàn)在作一張“楊輝式”三角表,

斜著看,很容易發(fā)現(xiàn),第二列下一個數(shù),是其左肩上數(shù)的2倍與右肩的數(shù)之和;第三列下一個數(shù)是其左肩上數(shù)的3倍與右肩的數(shù)之和.這和楊輝三角的規(guī)律是類似的,以此類推.通過此表可以很容易的求出任意次冪的自然數(shù)和.

比如,我們可以容易的得到S7的表達式

綜上,我們將運用類比的方法并結合楊輝三角比較簡潔的解決了三個問題.管中窺豹,可以看出,類比法是一種非常適用而且有用的方法.“看起來類比推斷是最普遍的推論方法,也許是最重要的一種”.數(shù)學問題解決過程中,在對命題的推廣引申,類比思維具有不可忽視的重要作用.因此,教師在教學過程中,應該有意或無意的向學生“滲透”類比的思想.

很多時候,在解決一些題目時,我們總會想到以前成功解決的類似題目,這實際上就是一種類比.不僅如此,類比法還滲透到許多方面,在各種不同層次上得到運用.中國古代第一篇專門論述教育與教學問題的專著——《學記》,也提到“故君子之教,喻也.”這里的“喻”就是打比方、舉例子,本質上就是一種類比.對于類比的重要性,開普勒的一句話是一個很好的評價,“我珍視類比勝于任何別的東西,它是我最可信賴的老師”.

從心理學的角度看,類比思維的核心是通過一個映射的過程,將知識從一種情境轉化到另一種情境,在兩種信息的主要方面找到一一對應的關系.并將已經(jīng)得到解決的問題稱為“源問題”(source problem),將待解決的問題稱為“靶問題”(target problem).而類比就是要找到“源問題”和“靶問題”之間的關系,并將用于解決“源問題”的方法經(jīng)過適當變化用于解決“靶問題”.

最后,需要強調(diào)的是,并不是任何時候的類比得到的結果都是正確的.類比推理得到的結論具有或然性.下面即是一例,級數(shù)

收斂,

現(xiàn)在

作簡單變形,

這里L顯然是不為0的,但卻得到了2L=L,錯在哪里?

[1]李文林.數(shù)學史概論[M].北京：高等教育出版社,2011.

[2]王雄偉.楊輝三角數(shù)字排列的一些性質 [J].中學數(shù)學月刊, 2005(5)：28-29.

[3]李國興.楊輝三角的一個有趣性質[J].西北輕工業(yè)學院學報,2000, 18(2)：107-108.

[4]胡恩良,朱維宗.楊輝三角形中的幾條組合性質[J].云南民族學院學報(自然科學版),2002,11(3)：132-135.

[5]劉天亮,張利民.楊輝三角形的若干性質[J].數(shù)學的實踐與認識, 2007,37(1)：116-120.

[6]G.波利亞.數(shù)學與猜想[M].北京：科學出版社,2001.

[7]G.波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社,2007.

[8]汪曉勤.二次冪和十一法[J].中學教研,2001(10)：38-41.