浙江省寧波市第四中學(xué)315016 魏定波

一個(gè)?？碱}引出的探究

浙江省寧波市第四中學(xué)315016 魏定波

1 問題呈現(xiàn)

設(shè)P橢圓上的動(dòng)點(diǎn),F1,F2為橢圓的焦點(diǎn),I為△PF1F2的內(nèi)心,則直線IF1和直線IF2的斜率之積( )

A.是定值 B.非定值,但存在最大值

C.非定值,但存在最大值 D.非定值,且不存在最值

這是2017年浙江省溫州市高考模擬試題第10題,以橢圓為載體,考查了橢圓幾何性質(zhì),三角函數(shù)和幾何變換.在調(diào)查中發(fā)現(xiàn),學(xué)生普遍反映進(jìn)入解題情境困難,感覺有勁使不上.本文從問題的解答入手,進(jìn)行一番探究.

圖1

2 問題解答

解法1(借助三角恒等變換)

在△PF1F2中,由正弦定理,得：

設(shè)∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,則

解法2 (借助焦點(diǎn)三角形的旁切圓)如圖2,記△PF1F2的一個(gè)旁切圓為圓J,容易證明F1,I,J共線,IF2⊥JF2,由圓的切線長(zhǎng)定理和橢圓的定義,

可知： 2c+|F2M|=2a-|F2M|,|F2M|=a-c,即切點(diǎn)M就是右頂點(diǎn)A2,所以

圖2

3 問題探究

探究1 三角形內(nèi)心的軌跡

圖3

如圖3,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),內(nèi)心I為 (x,y),焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0),|PF1|=r1,|PF2|=r2,則r2-r1= 2ex0,過內(nèi)心I作ID,IE,IF分別垂直F1F2,F1P,F2P于點(diǎn)D,E,F.因?yàn)辄c(diǎn)I是△PF1F2的內(nèi)心,點(diǎn)D,E,F是內(nèi)切圓的切點(diǎn),由切線長(zhǎng)定理,得方程組

結(jié)合r2-r1=2ex0,解得|F1D|=c+ex0,又|F1D|=c+x,得

探究2相關(guān)結(jié)論

我們知道動(dòng)點(diǎn)I的軌跡是以F1(-c,0),F2(c,0)為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)短軸長(zhǎng)為的橢圓.對(duì)于kIF1·kIF2的定值問題,聯(lián)想到人教版(A版)高中數(shù)學(xué)選修2-1的P41頁例3：設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程,并判斷軌跡的形狀.

由此,我們還可得到如下結(jié)論：

結(jié)論1平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)的斜率之積等于的點(diǎn)的軌跡是以BC為長(zhǎng)軸的橢圓

結(jié)論3設(shè)A,B是過橢圓中心的任意一條弦的兩個(gè)端,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn),則

證明 設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則

結(jié)論4 設(shè)直線L與橢圓交于A,B兩點(diǎn),C為線段AB中點(diǎn),則

圖4

證明 如圖 4,連延長(zhǎng)AO交橢圓于B1,則OC//BB1,則

此式如果與直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行類比,我們稱它為橢圓的“垂徑定理”.

4 連線考題

由kPA2∈[-2,-1],得故選B.

例2(湖北省武漢市2017屆高中畢業(yè)生五月模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題第12題)已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)M(2,1),過M的兩條直線l1,l2分別與橢圓E交于A,C和B,D兩點(diǎn),且滿足

(其中λ＞0,且λ/=1),若λ變化時(shí),AB的斜率總為則橢圓E的離心率為()

圖5

圖6

解析 設(shè)A(x0,y0),則B(-x0,-y0),則

若設(shè)直線PA斜率為k,則直線PB的方程與聯(lián)系,得

PB中點(diǎn)所以PB中垂線方程：得yN=在橢圓內(nèi)部,所以

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓E交于C,D.證明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

(2)設(shè)直線l的方程為A(x1,y1),B(x2,y2).由于于是直線lOM的方程為可得M點(diǎn)坐標(biāo)為由方程組得

方程 1的判別式為△=4(2-m2),由△＞0,即2-m2＞0,解得由 1得

所以

故|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

回頭梳理整個(gè)定值問題的探究及運(yùn)用過程,最大的感觸就是不要輕易“放過”教材中任何一道題目,教材是專家經(jīng)驗(yàn)的積累、智慧的結(jié)晶,所以每道例題、習(xí)題都有其存在的價(jià)值,作為一線的教師要學(xué)會(huì)引領(lǐng)學(xué)生做好深度研究,教會(huì)學(xué)生利用好教材,教會(huì)學(xué)生如何對(duì)一道題目進(jìn)行探究更是必要的,其過程足以讓學(xué)生擁有充足的知識(shí)儲(chǔ)備,它會(huì)讓學(xué)生找到簡(jiǎn)單有效的方法應(yīng)對(duì)高考中的難題,并從中獲得快樂、激發(fā)潛能,提高學(xué)習(xí)興趣.