太原市第三實(shí)驗(yàn)中學(xué),山西太原030031 董立偉

對一個(gè)不等式的推廣及加強(qiáng)

太原市第三實(shí)驗(yàn)中學(xué),山西太原030031 董立偉

文[1]刊登了2175號(hào)問題的解答.原題如下：

設(shè)x,y,z＞0,求證：

該不等式不等號(hào)左右兩側(cè)相對應(yīng)的各項(xiàng)均互為倒數(shù),使得式子的形式整齊優(yōu)美.原解答采用了初等的作差法,解答對求和順序作了精心的調(diào)整,簡潔巧妙.但是,配湊平方對變量的個(gè)數(shù)及指數(shù)有較強(qiáng)的的依賴性,這使得對問題的深入研究變得困難.本文給出了該問題的一個(gè)另證,并從證明出發(fā),對問題作了推廣與加強(qiáng).

一、問題的另證

證明 由基本不等式,可得

問題得證.

由Cauchy不等式,

問題得證.

證明中我們驚喜地得到了一個(gè)加強(qiáng)的結(jié)果：

上述證明方法還可用來巧證問題1772.[2]原問題如下：

已知x,y,z∈R+,證明：

證明 觀察左右兩側(cè),由對稱性,只需證明

二、問題的推廣

羅增儒教授認(rèn)為,一題多解的一大教學(xué)功能是,從多角度審視問題,有助于接近問題的深層結(jié)構(gòu).[3]

上述證明過程所用到的只有兩個(gè)最基本的不等式—均值不等式和Cauchy不等式.相比于原解答,基本不等式與Cauchy不等式的成立不依賴于變量的個(gè)數(shù).當(dāng)變量個(gè)數(shù)增多時(shí),無非是多并列幾項(xiàng).這使得對原不等式的推廣成為可能．

推廣1個(gè)數(shù)推廣

對xi＞0,i=1,2,...,n,求證：

證明 先對不等式左邊的各項(xiàng)進(jìn)行變形.第一項(xiàng)變形如

下：

同理可得其余n-1個(gè)式子,

將上述n個(gè)式子相加可得

由上式的對稱性,要證明原不等式,只需再證明

即可.即證

由Cauchy不等式,

可以看到,上述證明中均值不等式及Cauchy不等式對指數(shù)與系數(shù)的依賴也是非本質(zhì)的.因此,還可以推廣如下.

推廣2指數(shù)推廣

對xi＞0,i=1,2,...,n,m≥2,m∈N+,求證：

證明 對不等式左邊第一項(xiàng)變形,得

同理可得其余n-1個(gè)式子.由對稱性,要證明原不等式,只需再證明

推廣3系數(shù)推廣

同理可得其余n-1個(gè)式子.

由對稱性,只需再證明

不等式成立.

由于可以令上述不等式中xi=asi(其中i= 1,2,...,n,s為任意實(shí)數(shù)),所以,當(dāng)取變量個(gè)數(shù)n和次數(shù)s為特定值時(shí),可以得到一些推論．

推論 對a＞0,b＞0,c＞0,m∈N+,k1＞0,k2＞0,k1+k2=1,則

三、問題的加強(qiáng)

在“問題的另證”一節(jié),我們意外得到了一個(gè)加強(qiáng)命題.在“問題的推廣”的證明過程中發(fā)現(xiàn),這一加強(qiáng)命題不依賴于變量個(gè)數(shù)、指數(shù)和系數(shù),因此在三個(gè)推廣命題中依舊成立(本節(jié)不再贅述).這啟發(fā)筆者繼續(xù)去尋求不等式的上界和下界.遺憾的是這一問題不存在上界.

下面給出推廣2中命題的一個(gè)下界,其他可類似得到.

命題 對xi＞0,i=1,2,...,n,m≥2,m∈N+,

證明 對不等式中間式子的第一項(xiàng)變形,得

命題得證.

當(dāng)命題中的m分別取2和3并約去n-1,即分別變?yōu)椤稊?shù)學(xué)通報(bào)》問題1403和問題1510.

四、問題的反思

研究數(shù)學(xué)問題不能僅僅把得到解答作為目的.數(shù)學(xué)問題中所蘊(yùn)含的各種思想方法及解決問題的過程中所折射出的更普遍的結(jié)論會(huì)散發(fā)出更耀眼的光芒.

某一問題的解法通常不唯一.從不同的角度思考問題,通常會(huì)得到不同的解法.有些方法對各條件的依賴較強(qiáng),有些則較弱.對條件依賴較弱的解法通常能更容易地觸碰到問題的深層結(jié)構(gòu),從而有助于將問題加以延伸,幫助我們得到更為普遍的結(jié)論.

[1]安振平.數(shù)學(xué)問題2175解答[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2014,53(4)：65

[2]孫志坤.數(shù)學(xué)問題1772解答[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2009,48(2)：64

[3]羅增儒.高考復(fù)習(xí)要抓準(zhǔn)方向(續(xù))[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬), 2016(11),2-5