福建省德化第一中學362500 吳志鵬

評析幾種方案生成的離心率問題*

福建省德化第一中學362500 吳志鵬

離心率是圓錐曲線的一個重要元素,它的變化直接導致曲線形狀甚至是類型的變化,求圓錐曲線的離心率或取值范圍是近年高考的熱點,這類問題所涉及的知識點較多、綜合性強,解法靈活,極富內(nèi)涵,這也是命題者親睞的原因所在.對于這類問題的求解,學生怎樣才能做到“以不變應萬變”呢?本文從離心率問題的生成方法入手,幫助讀者分析研究,以便尋找有效的方案解決之.

一、“代數(shù)方案”生成的離心率問題

這類問題利用了橢圓、雙曲線方程標準形式中的參數(shù),應用代數(shù)方案計算出有關參數(shù)的值或范圍,進而獲得離心率的值或范圍.

例1(2008高考全國卷2理9)設a＞1,則雙曲線的離心率e的取值范圍是( )

圖1

(I)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a,k表示);

(II)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點,求橢圓離心率的取值范圍.

解 (I)設直線y=kx+1被橢圓截得的線段為AP,由得故因此

(II)假設圓與橢圓的公共點有4個,由對稱性可設y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P,Q,滿足|AP|=|AQ|.記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,且k1,k2＞0,k1/=k2.由(1)知：

由于k1,k2＞0,k1/=k2得

即轉(zhuǎn)化為關于k1,k2方程有解的充要條件：1+a2(a2-2)＞1又因為a＞1,所以因此若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點,由得離心率的取值范圍

解 I由C與l相交于兩個不同的點,故知方程組有兩個不同的實數(shù)解,消去y并整理得

評析 以上三個例題均是通過代數(shù)方案生成的離心率問題.例1是通過對e的代數(shù)公式進行研究;例2是轉(zhuǎn)化成方程有解求得離心率的范圍;例3則是轉(zhuǎn)化為判別式△＞0.

二、“幾何方案”生成的離心率問題

利用幾何性質(zhì)獲得e的值或范圍,根據(jù)其考查目標的側(cè)重點可分為以下三類：

1.以定義為抓手,利用性質(zhì)建立的a,b,c齊次關系

圖2

解 作圖像如上圖所示,依題意,不妨設AB=6,AD= 4,則

例5(2014重慶理8)設F1,F2分別為雙曲線1(a＞0,b＞0)的左、右焦點,雙曲線上存在一點P使得則該雙曲線的離心率為( )

解 因為P是雙曲線上一點,所以||PF1|-|PF2||=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,所以4|PF1|·|PF2|=9b2-4a2,又因為所以有9ab=9b2-4a2,即解得故選B.

解 設左焦點為F1連接AF1,BF1,則四邊形BF1AF是平行四邊形,故|AF1|=|BF|,所以

所以a=2,設M(0,b),M到直線l的距離不小于得故b≥1,即a2-c2≥1,0＜c2≤3,所以選擇A.

評析 以上三道例題均構造過焦點的三角形,只不過例4、例5的焦點三角形為顯性,而例6卻是隱性的,對于這種類型的問題則需先利用定義獲得與參數(shù)a相關的等量關系,再通過尋找圖形中的一些幾何關系或利用題目所給的條件獲得關于參數(shù)a,b,c的齊次關系,最后求得e的值或范圍.

2.以點的坐標為抓手,利用性質(zhì)建立的a,b,c齊次關系

例7(2016新課標III理11)設O為坐標原點,F是橢圓的左焦點,A,B分別為橢圓C的左、右頂點.P為C上一點,且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E,若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為( )

解 設E(0,m),則直線因為F是橢圓的左焦點,PF⊥x軸,過點A的直線l與線段PF交于點M,聯(lián)立兩直線方程得是OE中點即由B,N,M三點共線可得：得a=3c,即

例8(2016年江蘇理10)如圖,在平面直角坐標系xoy中,F是橢圓的右焦點,直線與橢圓交于B,C兩點,且∠BFC=90?,則該橢圓的離心率是____.

評析 本題只需聯(lián)立直線與橢圓的方程,求得點B,C的坐標,再利用BF⊥CF即即可求得a,c的齊次關系,答案為

例9(15年山東理科5)平面直角坐標系xOy中,雙曲線的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p＞0)交于點O,A,B,若△OAB的垂心為C2的焦點,則C1的離心率為___

又由于的C2:x2=2py(p＞0)焦點的垂心為C2的焦點,故有AF⊥OB,則即

例10(2014浙江理14)設直線x-3y+m=0(m/=0)與雙曲線兩條漸近線分別交于點A,B,若點P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是____.

評析 以上的四個例題均是以參數(shù)a,b,c相關點的坐標為抓手生成的問題,此類問題的設計不再局限于是否出現(xiàn)焦點三角形,它可以與圓錐曲線的的頂點、焦點、雙曲線的漸近線、準線等與參數(shù)相關的量相結合,考查圖像的幾何性質(zhì),內(nèi)容比較豐富.

3.利用特殊圖形的幾何性質(zhì),建立的a,b,c齊次關系

解 設M(c,0),N(0,b),在Rt△MON中,有

例 13(2012新課標高考 4)設F1,F2是橢圓E:的左、右焦點,P為直線上一點,△F2PF1是底角為30?的等腰三角形,則E的離心率為( )

解 因為△F2PF1是底角為30?的等腰三角形,得：

評析 以上幾例均在圓錐曲線內(nèi)構建直角三角形、等腰三角形、圓的切線、中位線等的特殊圖形,通過考查這些圖形的相關性質(zhì)獲得關于a,b,c的齊次關系,得橢圓E的離心率或范圍.這類問題大多側(cè)重于通過對圖形的幾何性質(zhì)進行分析獲得結論.

三、“三角方案”生成的離心率問題

在三角形內(nèi),以考查正弦定理、余弦定理為目標的離心率構造問題,此類問題經(jīng)常結合圓錐曲線的定義與解三角形進行考查.

例14(2008全國卷1理15)在△ABC中,AB=若以A,B為焦點的橢圓經(jīng)過點C,則橢圓的離心率e=___.

解 在△ABC中,可設AB=BC=t,利用余弦定理可知：AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB得為焦點的橢圓經(jīng)過點C,依定義得|CA|+|CB|=2a,所以

變式 (2014大綱理9改編)已知雙曲線C的焦點為F1,F2,點A在C上,若|F1A|=2|F2A|,且cos∠AF2F1=則雙曲線C的離心率為___.

答案：2.

解 在△PF1F2中,由正弦定理可得

即c2-2ac-a2＜0,得e2-2e-1＜0.所以

又e＞1,所以

評析 以上兩個例子及變式把圓錐曲線的離心率與解三角形完美的結合,通過正弦定理、余弦定理以及圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì),尋找出與參數(shù)a,b,c相關的齊次關系,得離心率的值或范圍.

[1]杜紅全.求離心率取值范圍常用的方法與技巧[J].數(shù)學通訊(上半月),2015(5,6)

[2]武增明.探求圓錐曲線離心率的取值范圍的思維途徑[J].中國數(shù)學教育(高中版),2009(12)

[3]王勇.離心率—經(jīng)久不衰的高考熱點[J].數(shù)學通訊(上半月),2016(1, 2)

*本文系福建省教育科學“十三五”規(guī)劃2016年度立項課題《高中數(shù)學生成性教學的理論認識與實踐研究》成果.(立項批準號：FJJKXB16-330)