廣東順德德勝學(xué)校528333 唐國秋

構(gòu)造函數(shù)法在不等式證明中的應(yīng)用

廣東順德德勝學(xué)校528333 唐國秋

構(gòu)造函數(shù)法,是導(dǎo)數(shù)中的一個(gè)非常重要的方法,在導(dǎo)數(shù)中應(yīng)用非常普遍,它很好地把數(shù)學(xué)中的各種方法聯(lián)系起來,比如作差法、放縮法、化歸法,也滲透著探索、概括、歸納的思想.能不能構(gòu)造出一個(gè)適宜的函數(shù),往往決定著題目能不能順利解決,也體現(xiàn)學(xué)生的基本功是不是很扎實(shí).本人研究近幾年的高考試題,總結(jié)幾類常見的構(gòu)造函數(shù)的技巧,從而提高學(xué)生分析,解決問題的能力.

一、利用作差,構(gòu)造函數(shù)

例1證明：當(dāng)x＞0時(shí),lnx＜x.

評(píng)注函數(shù)的不等式問題,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)工具的策略是：作差構(gòu)造函數(shù).這種類型一般都是把式子全部移到不等式的一邊,構(gòu)造輔助函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)工具研究輔助函數(shù)的性質(zhì)、最值進(jìn)而得證.

變式練習(xí)證明：當(dāng)x∈(0,π)時(shí),sinx＜x.

簡析構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-sinx,通過f(x)求導(dǎo),得y=f(x)在x∈(0,π)單調(diào)遞增,得最小值f(0)=0,得證.

二、分離變量,構(gòu)造函數(shù)

例2已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.對(duì)一切的x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 ?x∈(0,+∞),有2xlnx≥-x2+ax-3,則

評(píng)注 對(duì)于一些含有參數(shù)的恒成立問題,可以把參數(shù)分離出來,然后把不等式的另一邊構(gòu)造輔助函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)工具研究輔助函數(shù)的最值,求解問題.

三、挖掘相似結(jié)構(gòu),構(gòu)造函數(shù)

例3已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a＞0,函數(shù)f(x)的圖像上取定點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),(x1＜x2),記直線AB的斜率為k.證明：存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=k成立.

證明 由題意知,

令F(t)=et-t-1,則F′(t)=et-1

當(dāng) t＜ 0時(shí),F′(t)＜ 0,F(t)單調(diào)遞減;當(dāng) t＞ 0時(shí),F′(t)＞0,F(t)單調(diào)遞增.故F(t)＞F(0)=0,即

所以φ(x1)＜0,φ(x2)＞0.

因?yàn)楹瘮?shù)y=φ(x)在區(qū)間[x1,x2]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在x0∈(x1,x2)使φ(x0)=0即f′(x0)=k成立.

評(píng)注 本題要善于挖掘出(x2-x1),把(x2-x1)看做一個(gè)整體t,進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù).這種類型的題往往有多變量,把多變量“湊”成相同的結(jié)構(gòu),然后把這個(gè)結(jié)構(gòu)記為整體,就變成一個(gè)變量了.數(shù)學(xué)中的整體觀,大局觀在構(gòu)造函數(shù)中很重要.

四、合理放縮,構(gòu)造函數(shù)

(I)求a,b的值.

證明 (I)a=0,b=-1,過程略;

(II)當(dāng)x＞0時(shí),由均值不等式得

則當(dāng)0＜x＜2時(shí),

所以 g(x)在 (0,2)內(nèi)是遞減函數(shù),又 g(0)=0,因?yàn)閔′(x)＜0所以h(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù),又h(0)=0,所以h(x)＜0,所以當(dāng)

評(píng)注 此題導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜,直接分析導(dǎo)函數(shù),根本得不到單調(diào)區(qū)間,需要我們對(duì)導(dǎo)函數(shù)通過放縮,化簡,得到一個(gè)適宜的函數(shù),然后才能順利地求導(dǎo),得到最值.構(gòu)造函數(shù)法在導(dǎo)數(shù)題目中是一個(gè)很重要的方法,問題關(guān)鍵是要判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),這是需要時(shí)刻清楚的.

對(duì)應(yīng)練習(xí)已知a∈R,函數(shù)f(x)=4x3-2ax+a,證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)+|2-a|＞0.

簡析(1)當(dāng)a≤2時(shí),求g′(x),得g(x)＞0,得證.

五、構(gòu)造“原函數(shù)”

例5(2015高考福建,理10)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=-1,其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)＞k＞1,則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（）

證明 由已知條件,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-kx,則g′(x)=f′(x)-k＞0,故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增,且所以進(jìn)而所以一定錯(cuò)誤的是C,選項(xiàng)D無法判斷;構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-x,則h′(x)=f′(x)-1＞0,所以函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增,且所以即選項(xiàng)A,B無法判斷,故選C.

評(píng)注 這些類型題目的特點(diǎn)是條件中有f′(x)這樣的式子.本題通過條件中f′(x)＞k＞ 1,構(gòu)造出原函數(shù)g(x)=f(x)-kx和h(x)=f(x)-x,從而h(x),g(x)單調(diào)增,再分析得解.構(gòu)造函數(shù)的思維采取了逆推,利用導(dǎo)數(shù)形式構(gòu)造出原函數(shù).

變式練習(xí)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x＞0時(shí),xf′(x)-f(x)＜0,則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是( )

簡析構(gòu)造函數(shù)即可.

總之構(gòu)造函數(shù)具有很強(qiáng)的靈活性、創(chuàng)新性、綜合性,在解數(shù)學(xué)題時(shí),需要觀察題目條件結(jié)構(gòu)特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)條件中的關(guān)系,靈活構(gòu)造出符合題目特點(diǎn)的函數(shù).