廣東省佛山市第一中學(xué)(528000) 吳統(tǒng)勝

清華大學(xué)自動(dòng)化系(100084) 李家昊(學(xué)生)

題海無涯,感悟是岸!—由一道高考?jí)狠S題談函數(shù)型不等式解法的優(yōu)化、推廣與再應(yīng)用

廣東省佛山市第一中學(xué)(528000) 吳統(tǒng)勝

清華大學(xué)自動(dòng)化系(100084) 李家昊(學(xué)生)

筆者在貴刊2017年第6期(上半月)刊出的“例談妙用函數(shù)型不等式巧解導(dǎo)數(shù)壓軸題”一文,在文末方法優(yōu)化再拓展中提及了將y=ex,y=lnx(x＞0),y=xlnx(x＞0)放縮為一次函數(shù)形式的三個(gè)放縮的“一般式”,但因篇幅所限,當(dāng)時(shí)未展開舉例說明其應(yīng)用.現(xiàn)本文將從一道函數(shù)型不等式高考?jí)狠S題的不同解法出發(fā),對(duì)解法進(jìn)行了較深入的探究、優(yōu)化、拓展推廣、原創(chuàng)了該類函數(shù)型不等式壓軸題的一般化、“套路化”的解法,并對(duì)該原創(chuàng)解法進(jìn)行了舉例應(yīng)用.

一、問題提出

例1(2013年課標(biāo)II理科21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn),求m,并討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)m≤2時(shí),證明：f(x)＞0.

解析 (1)略;(2)當(dāng)m≤2時(shí),f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2).

證法一(構(gòu)造函數(shù)法)構(gòu)造函數(shù)φ(x)=ex-ln(x+2),轉(zhuǎn)化為求φ(x)min=φ(x0)＞0.

設(shè)φ(x)=ex-ln(x+2),則在 (-2,+∞)上單調(diào)遞增.又φ′(-1)＜0,φ′(0)＞0,所以φ(x)=0在(-2,+∞)上有唯一實(shí)根,且x0∈(-1,0).

當(dāng)x∈(-2,x0)時(shí),φ′(x)＜0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),φ′(x)＞0,所以φ(x)min=φ(x0).由φ′(x0)=0得

證法二 (利用“公切線”法,轉(zhuǎn)化為證明ex≥kx+b≥ln(x+2).)設(shè)φ(x)=ex,h(x)=ln(x+2)的的公切線為y=kx+b(k/=0).設(shè)兩切點(diǎn)分別為M(m,em),N(n,ln(n+2)),利用切線斜率相等得

當(dāng)n=-1時(shí),所以M(0,1),N(-1,0),對(duì)應(yīng)公切線為y=x+1.

(當(dāng)n=e-2時(shí),所以對(duì)應(yīng)公切線為

我們不妨取公切線為y=x+1.利用構(gòu)造函數(shù)法易證：

但兩不等式不同時(shí)取等號(hào),所以ex＞ln(x+2).所以當(dāng)

證法三 利用常見函數(shù)型不等式ex≥1+x或ln(x+1)≤x,(x＞-1)(見人教版教材《選修2-2》P32題1.3B組第1題).

因?yàn)閘nx≤x-1(x＞0),所以ln(x+2)≤x+1(x＞-2)當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào).又因?yàn)閑x≥x+1當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)m≤2時(shí),f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)＞x+1-(x+1)=0.所以f(x)＞0.因?yàn)閮傻忍?hào)不同時(shí)取,所以當(dāng)m≤2時(shí),f(x)＞0.

點(diǎn)評(píng) 證法一轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值,思路雖簡單,但由于最小值φ(x0)對(duì)應(yīng)的x0不可求,需利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理及設(shè)而不求法才可以較巧妙地解決證明問題,對(duì)思維及轉(zhuǎn)化能力的要求相當(dāng)高.證法二利用“公切線”法證明函數(shù)型不等式,可以化曲為直,方法相當(dāng)精妙,也可實(shí)現(xiàn)對(duì)不等式的精準(zhǔn)放縮,證明方向相當(dāng)明確.此方法適用于一凸、一凹函數(shù)類型,若兩函數(shù)同為凸函數(shù)或凹函數(shù),則該方法不可用,但可對(duì)原不等式作適當(dāng)變形,轉(zhuǎn)化為不等式兩邊分別為一凸、一凹函數(shù)類型,再用“公切線”法證明,但求公切線的過程計(jì)算稍顯麻煩!證法三利用常見函數(shù)型不等式證明,過程簡單,但放縮的“度”不好把握,不一定恰好成功!

能不能找到更好、更簡潔明了的方法,可以快速直接地把ex,lnx,xlnx放縮為以下類型ex≥kx+m,lnx≤kx+m,xlnx≤kx+m?答案是肯定的!

下面把證法二、三的方法優(yōu)化、整合拓展一下,可得如下一般性的放縮公式.

二、方法的優(yōu)化、拓展、一般化

常見的函數(shù)y=ex,y=lnx,y=xlnx(x＞0)我們均可以把它們放縮為如下一次函數(shù)形式：

函數(shù)型不等式1 ex≥kx+k-k lnk,(k＞0).

簡析 設(shè)f(x)=ex-kx(k＞0),易得x0=lnk是f(x)的極小值點(diǎn).

函數(shù)型不等式2 lnx≤kx-lnk-1(x＞0,k＞0).

函數(shù)型不等式3 xlnx≥kx-ek-1(x＞0,k∈R).

簡析 設(shè)f(x)=xlnx-kx(x＞ 0,k∈R),易證, x0=ek-1是f(x)的極小值點(diǎn).

三、優(yōu)化解法的再應(yīng)用

1.函數(shù)型不等式1的再應(yīng)用

例1(2013年課標(biāo)II理科21)已知函數(shù)f(x)=exln(x+m).(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn),求m,并討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)m≤2時(shí),證明 f(x)＞0.

解析 (1)略;(2)當(dāng)m≤2時(shí),

即證ex≥ln(x+2).由函數(shù)型不等式1得,

即只需證：kx+k-k lnk≥ln(x+2).設(shè)φ(x)=ln(x+2)-[kx+k-k lnk],所以時(shí)φ′(x)＞0,φ(x)遞增;當(dāng)時(shí)φ′(x)＜0,φ(x)遞減.所以所以不妨取k=1或利用ex≥x+1或者均可得證原不等式!以下證明過程同證法二、三.

點(diǎn)評(píng) 本放縮方法完美地克服了證法二、證法三中的不足之處,思路清晰明確,可操作性強(qiáng),按部就班,考生容易掌握!在實(shí)際解題中,我們只需通過觀察得到k,使k滿足即可,可以說該解法是快速解決此類函數(shù)型不等式壓軸題的通性通法!

2.函數(shù)型不等式2的再應(yīng)用

例2 求證：ex＞2x+lnx(x＞0).

解析 由函數(shù)數(shù)型不等式2得,lnx≤kx-lnk-1(k＞0),所以 lnx+2x≤ (k+2)x-lnk-1,即證 ex≤ (k+2)x-lnk-1,設(shè)h(x)=ex-[(k+2)x-lnk-1],(x＞0,k＞0),h′(x)=ex-(k+2),當(dāng)x＞ln(k+2)時(shí)h′(x)＞0, h(x)遞增;當(dāng)0＜x＜ln(k+2)時(shí),h′(x)＜0,h(x)遞減.所以h(x)min=h(ln(k+2))=(k+2)[1-ln(k+2)]+lnk+1,只需取即可使

原不等式即可得證!

整理該證明過程如下：原不等式可轉(zhuǎn)化為證明

易證 φ(x)max= φ(e)=0.再證明,設(shè)所以易證,所以φ(x)max＜g(x)min,所以ex＞2x+lnx,(x＞0).

點(diǎn)評(píng) 該解法是解決此類函數(shù)型不等式壓軸題的通性通法!此題其實(shí)可利用常見函數(shù)型不等式進(jìn)行放縮即可得證,若用lnx≤ x-1,(x＞ 0)進(jìn)行放縮,則放得稍大了,證明不了!另外該題也可對(duì)要證不等式進(jìn)行適當(dāng)變形,轉(zhuǎn)化為證明設(shè)(x＞0).易得：f(x)min=f(1)=所以f(x)min＞g(x)max,所以ex＞2x+lnx,(x＞0).即轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最大值、最小值的大小比較,利用構(gòu)造函數(shù)的通法證明,證明過程相對(duì)較簡便,但此類嘗試往往不一定恰好成功!故要注意題型、方法的總結(jié)感悟,提升解決此類壓軸題的能力!

3.函數(shù)型不等式3的再應(yīng)用

例3求證：ex+ex-3＞1-x(1+lnx).(x＞0)

解析 原不等式即證,

由函數(shù)型不等式1得,ex≥kx+k-k lnk,(k＞0).

由函數(shù)型不等式3得,xlnx≥tx-et-1,(x＞0,t∈R).

由一次函數(shù)性質(zhì),要證

其中,易證k-klnk≤1當(dāng)且僅當(dāng)k=1取等號(hào),不妨取k=1,即只需

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)證明思路不易找尋時(shí),可采用該一般性的證明方法找尋解題思路,但可采用綜合法書寫證明過程.另外該題也可利用構(gòu)造函數(shù)法直接證明,其證明過程如下：

所以f(x)＞g(x).所以原不等式得證!解題時(shí)要不斷總結(jié)感悟解題思路和方法,提升解決此類函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式壓軸題的解題能力!

常見函數(shù)型不等式如下：

圖1

(見人教版教材《選修2-2》P32習(xí)題1.3B組第1題)

可結(jié)合圖2加深學(xué)生對(duì)不等式的理解記憶.

圖2

圖3

(可結(jié)合下圖3加深學(xué)生對(duì)不等式的理解記憶)

四、總結(jié)

函數(shù)型不等式壓軸題的證明方法主要有構(gòu)造函數(shù)法(有時(shí)需對(duì)要證不等式進(jìn)行適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值大小比較,再利用構(gòu)造函數(shù)法證明)、主元法、利用常見函數(shù)型不等式放縮法、利用放縮的“一般式”證明等方法,主要考查考生利用導(dǎo)數(shù)的工具研究函數(shù)的圖像和性質(zhì),對(duì)思維要求高,綜合性、方法性強(qiáng),解題突破口不易找尋,需要考生在平時(shí)解題中不斷總結(jié)、感悟題型和方法,尤其是解題思路的感悟反思,提升解決此類函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式壓軸題的解題能力,正所謂“題海無涯,感悟是岸”!

五、反饋練習(xí)

1.(2017年佛山二模理科21)設(shè)函數(shù)f(x)=aex-xlnx,其中a∈R,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(I)若函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(II)若證明f(x)＞0.

2.(2017年廣州一模理科21)已知函數(shù)f(x)=lnx+(I)若函數(shù)f(x)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(II)若時(shí),證明

3.(2014年全國I理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+曲線y=f(x)在點(diǎn) (1,f(1))處的切線為y=e(x-1)+2.(I)求a,b;(II)證明f(x)＞1.

4.(2016廣州一模理科題21題改編)求證：ex＞lnx+ 2(x＞0).

5.求證：ex≥x+lnx(x＞0).