馮靜

不知道同學(xué)們有沒有注意到：蘇科版教科書《數(shù)學(xué)》九年級下冊第57頁的例1，“如圖1，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，DE∥BC.試說明△ADE與△ABC相似的理由.”

例1是這一章的基礎(chǔ)，通過對例1的學(xué)習(xí)，我們得到了一個重要的結(jié)論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似.這為我們推證相似三角形的判定定理奠定了基礎(chǔ)，也是我們今后尋找相似三角形的基本圖形之一.

教科書在第65頁習(xí)題6.4中還安排了第3題：如圖2，在△ABC中，點D、E、F分別在BC、AB、AC上，EF∥BC，交AD于點G.（1）圖中有幾對相似三角形？是哪幾對？（2）[EGBD]與[FGCD]相等嗎？

解：（1）由上面的例1所得的結(jié)論可得：

△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC；

（2）由△AEG∽△ABD，得[EGBD]=[AGAD]；

由△AGF∽△ADC，得[FGCD]=[AGAD]；

所以[EGBD]=[FGCD].

【點評】本題的第（1）問直接由例1所得，而第（2）問則又為我們提供了一個基本結(jié)論，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中如能發(fā)現(xiàn)這樣的類似圖形可嘗試運(yùn)用.

應(yīng)用1：如圖2，在△ABC中，AD為△ABC的邊BC上的中線，E、F分別是AB、AC上的點，且EF∥BC，AD與EF相交于點G，求證：EG=FG.

證明：因為EF∥BC，所以△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，

由△AEG∽△ABD，得[EGBD]=[AGAD]，

由△AGF∽△ADC，得[FGCD]=[AGAD]，

所以[EGBD]=[FGCD].

因為AD為△ABC的邊BC上的中線，所以BD=CD，所以EG=FG.

應(yīng)用2（2004·濟(jì)寧）：在一次數(shù)學(xué)活動課上，一位同學(xué)提出：“誰能幫我用一副沒有刻度的三角板找出線段AB的中點？”小華說：“我能做到.我的做法是，用這副三角板任作一條直線MN∥AB；在直線AB、MN的同一側(cè)任取一點P，連接PA、PB，分別交直線MN于C、D；再連接AD、BC，相交于點E；畫射線PE交線段AB于點O，如圖3，點O就是線段AB的中點.”你認(rèn)為點O是線段AB的中點嗎？并說明理由.

解：點O是線段AB中點.

因為MN∥AB，所以△PFD∽△POB，△PCD

∽△PAB，

由△PFD∽△POB，得[FDOB]=[PDPB]，

由△PCD∽△PAB，得[CDAB]=[PDPB]，

所以[FDOB]=[CDAB].

因為MN∥AB，所以△ECD∽△EBA，△EFD

∽△EOA，

由△ECD∽△EBA，得[CDAB]=[EDAE]，

由△EFD∽△EOA，得[EFOE]=[EDAE]，

所以[CDAB]=[EFOE].

所以[FDOB]=[EFOE].

由△EFD∽△EOA，得[FDOA]=[EFOE]，

所以[FDOB]=[FDOA].所以O(shè)B=AO.

【點評】本題貌似復(fù)雜，但實質(zhì)上還是反復(fù)在用教科書第54頁例1得到的結(jié)論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似.

應(yīng)用3（2015·鎮(zhèn)江）：某興趣小組開展課外活動.如圖4，A，B兩地相距12米，小明從點A出發(fā)沿AB方向勻速前進(jìn)，2秒后到達(dá)點D，此時他（CD）在某一燈光下的影長為AD，繼續(xù)按原速行走2秒到達(dá)點F，此時他在同一燈光下的影子仍落在其身后，并測得這個影長為1.2米，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2秒到達(dá)點H，此時他（GH）在同一燈光下的影長為BH（點C，E，G在一條直線上）.

（1）請在圖中畫出光源O點的位置，并畫出他位于點F時在這個燈光下的影長FM（不寫畫法）；

（2）求小明原來的速度.

解：（1）如圖5.

（2）設(shè)小明原來的速度為xm/s，

則AD=CE=DF=2x（m），

AM=AF-MF=（4x-1.2）m，

EG=FH=2×1.5x=3x（m），

BM=AB-AM=12-（4x-1.2）=（13.2-4x）m.

因為點C，E，G在一條直線上，CG∥AB，

所以△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，

由△OCE∽△OAM，得[CEAM]=[OEOM]，

由△OEG∽△OMB，得[EGBM]=[OEOM]，

所以[CEAM]=[EGBM]，

即[2x4x-1.2]=[3x13.2-4x]，

解得x=1.5，經(jīng)檢驗x=1.5為方程的解，所以小明原來的速度為1.5m/s.

答：小明原來的速度為1.5m/s.

【點評】第（1）問利用中心投影的定義畫圖；第（2）問從實際問題中抽象出幾何圖形后，立即聯(lián)想到教科書在第65頁習(xí)題6.4的第3題，得出[CEAM]=[EGBM]，然后通過解方程計算相應(yīng)線段的長.

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學(xué)）endprint