陳 亮 何健健 高為壯 李月奇 姚斌斌

(1. 河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室， 南京 210098； 2. 河海大學 江蘇省巖土工程技術工程研究中心，南京 210098)

單孔反稀釋模型理論與試驗研究

陳 亮1,2何健健1,2高為壯1,2李月奇1,2姚斌斌1,2

(1. 河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室， 南京 210098； 2. 河海大學 江蘇省巖土工程技術工程研究中心，南京 210098)

針對前人在反稀釋模型公式推導過程中的不足，將反稀釋模型和滲流場畸變理論相結合，重新推導了反稀釋模型相關公式，在推導過程中仔細區(qū)分孔水流速、含水層達西流速等相關量的差異，有助于消除誤解．采用自主設計的試驗裝置，利用兩種不同粒徑的均勻砂，在不同水頭差下對反稀釋模型進行室內試驗驗證，對由土層不均性產生的誤差，采用流速二次修正參數(shù)較好地消除了該誤差，試驗結果表明反稀釋模型是正確的．將模型應用于含水層達西流速的計算，計算得到的模型值與試驗值相差不大．

反稀釋模型； 理論推導； 驗證試驗； 電導率； 滲流速度

地下水流速流向可揭示堤壩滲漏通道，為病險水庫的治理提供依據(jù)，同時也是核電站建設選址的重要參考因素之一．基于稀釋原理的人工示蹤法是獲取地下水流速常用且行之有效的方法．1957年Moser[1-2]首次提出單井測定地下水流速的示蹤劑點稀釋定理．Ogilvi等[3]選擇生理鹽水作為示蹤劑，既避免了先前采用放射性同位素作為示蹤劑對環(huán)境產生的污染，也為現(xiàn)今使用食鹽作為示蹤劑提供了思路．在國內，陳建生[4-7]在示蹤理論方面做了系統(tǒng)細致的研究，取得了良好的結果．但稀釋示蹤法主要適用于地下水鹽離子濃度低的地區(qū)，在地下水鹽離子濃度高的沿海地區(qū)往往收效甚微．因此，針對沿海地區(qū)地下水鹽離子濃度高的特點，李月奇等[8]提出采用反稀釋示蹤法來探測沿海地區(qū)地下水流速，并建立了單孔反稀釋模型，推導了利用單孔反稀釋模型測定含水層水平流速的公式．但文獻[8]在模型推導時并未明確區(qū)分孔中流速、含水層達西流速等相關量的差異，在引入流場畸變系數(shù)時也未闡明理由，容易產生分歧和誤導，同時也未對模型進行室內試驗驗證．因此，本文將反稀釋模型與滲流場畸變理論相結合，改進模型推導過程，同時利用自主設計的試驗裝置對該模型進行室內試驗驗證，為今后反稀釋示蹤法的應用提供理論和試驗依據(jù)．

1 滲流場畸變效應

研究表明[9]，含水層中鉆孔的存在會干擾原有滲流場，即鉆孔會使原有滲流場產生畸變，但可利用流場畸變校正系數(shù)α修正孔內流速與離鉆孔較遠處未受鉆孔影響的含水層達西流速之間的差異，從而利用孔內流速得到含水層的真實達西流速．流場畸變校正系數(shù)α的定義為孔內與含水層相等的截面之間流量的比值[9]，即

式中，Qh為單位時間內通過鉆孔的流量，Qa為單位時間內通過含水層相等截面的流量．

2 單孔反稀釋模型再推導

2.1 模型假定

用于地下水流速探測的反稀釋模型滿足以下假定：a.含水層是均質的；b.在測試期間，水流方向不變，且只有水平流，無垂向流(下文所指流速皆為水平流速)；c.測孔內的水與流入測孔的水瞬時混合；d.注入孔內的水不會引起孔內及地下水位的改變；e.水中只含有Na+、Cl-兩種示蹤元素；f.被帶出測孔外的示蹤劑不引起孔內示蹤劑探測儀器的響應．

2.2 反稀釋模型再推導

針對文獻[8]中推導過程的不足，本文對反稀釋模型再推導．如圖1所示，含水層厚度為H，兩端為不透水層，其中有一揭露含水層的鉆孔，孔徑為d=2r．鉆孔上游含水層的水中示蹤劑濃度恒為C．在任意時刻t，任意深度h的孔水中示蹤劑濃度為Ct．現(xiàn)推導Ct隨時間t的變化規(guī)律．

沿任意深度h向下取一微元段dh．假設在微元段dh內，孔水流速、流量及示蹤劑濃度等一切指標均與深度h處相同：孔水流速為vw，單位時間dh微元段內流經測孔水的體積為Qw，該微元段所對應的孔水體積為V．由于流場畸變效應，該微元段所對應含水層中單位時間水的流量為Qs，流速為vs．

圖1 反稀釋模型推導示意圖

經過dt時間，該微元段孔水中示蹤劑的濃度變化為dCt，根據(jù)質量守恒原理，可得方程：

變形得：

對式(3)兩邊積分得：

式中，φ為積分常量，由邊界條件確定．

對式(4)兩邊取指數(shù)冪得：

在單孔反稀釋模型中：t=0時，孔中水為清水，因此Ct=0，故φ=C，即

式(6)即為用孔內流量Qw表達的單孔反稀釋模型孔水中示蹤劑濃度隨時間的變化規(guī)律．

將Qw=2rvw·dh，V=πr2·dh代入式(6)，得用孔內流速vw表達的單孔反稀釋模型孔水中示蹤劑濃度隨時間的變化規(guī)律：

由式(6-2)求得孔水流速：

根據(jù)流場畸變校正系數(shù)的定義，得：

將式(8)代入式(7)，求得考慮滲流場畸變的含水層達西流速為：

為了利用式(9)求解含水層達西流速，可引入電導率法來探測孔水中示蹤劑濃度的變化．根據(jù)水中示蹤劑濃度與電導率的關系：N=kC、Nt=kCt，(N為電導率本底值，Nt為任意t時刻電導率，k為比例系數(shù))．可得基于反稀釋模型的流速求解公式：

以及單孔反稀釋模型中孔水電導率隨時間變化的規(guī)律，由孔內流量Qw表達：

由含水層達西流速vs表達

3 模型驗證試驗

3.1 試驗儀器

3.1.1 試驗槽

圖2示出了試驗所用的試驗槽，試驗槽各部分尺寸在圖中已標明(尺寸皆為內部尺寸)．下面分部分介紹試驗槽．

圖2 試驗裝置示意圖(單位：mm)

1)I部分：Ⅰ1、Ⅰ2分別為上游水頭調節(jié)水箱和下游水頭調節(jié)水箱．Ⅰ1進水孔在頂部，水箱右側一面上有5個水位調節(jié)口，分別相距25 mm，用來控制上游水頭；Ⅰ2出水孔在底部，水箱左側一面上有1個水位調節(jié)口，用來控制下游水頭．

2)Ⅱ部分：Ⅱ1、Ⅱ2分別為上游供水緩沖區(qū)和下游出水緩沖區(qū)，Ⅱ1、Ⅱ2右、左側各有一面滿布細孔的透水墻，可使水流均勻、等速地進出土樣．

3)Ⅲ部分：Ⅲ為試樣室．Ⅲ1試樣室用來裝砂土樣，用來模擬含水層．Ⅲ2試樣室用來裝粘土樣，用來模擬不透水層．

4)土樣填筑時，試驗槽中心有一根長為800 mm，內徑為17 mm的PVC管，600 mm插入土樣中，其余部分露空，用以模擬土層中的鉆孔．PVC管插入Ⅲ1部分長450 mm，孔壁開孔率為30%，其余部分不開孔，同時整根PVC管外部包裹兩層滲透系數(shù)大于10-1cm/s的濾網，以隔離細砂進入測試管．

3.1.2 數(shù)據(jù)采集量測裝置

電導率數(shù)據(jù)量測采用DJS-1C系列電導電極，電導率測量范圍為0～3×104μS/cm，數(shù)據(jù)采集采用與其相配套的DDBJ-350型便攜式電導率儀．試驗前，先電導電極放置在距離試驗槽底部200 mm處．

3.2 試驗材料

3.2.1 上覆土層材料

本試驗選擇高嶺土作為上覆層材料，用來模擬不透水層，其物理參數(shù)為干密度1.72 g/cm3，滲透系數(shù)為1.93×10-4cm/s，液限WL為29%，塑限Wp為17%．

3.2.2 含水層材料

本試驗采用的含水層材料為兩種不同粒徑的砂土．各粒徑砂土的滲透系數(shù)是使用70型滲透儀根據(jù)常水頭試驗規(guī)范試驗測得．其中，粒徑范圍為0.075～0.25 mm砂樣的滲透系數(shù)為2.20×10-3cm/s；粒徑范圍為0.25～0.5 mm砂樣的滲透系數(shù)為1.92×10-2cm/s．

為模擬實際工程中含水層土已經歷長期鹽水浸泡的現(xiàn)象，本試驗對試驗砂樣使用電導率為3×104μS/cm的鹽水浸泡72 h．

3.2.3 其他材料

本試驗中的循環(huán)水采用電導率為3×104μS/cm的鹽水，用來模擬沿海地區(qū)地層中高濃度鹽離子地下水．通入測孔的稀釋水采用電導率較低的自來水．經測試，測試用自來水電導率基本穩(wěn)定在270 μS/cm，相對于循環(huán)水源的電導率大小可以忽略不計．

3.3 試驗方案

本文為驗證反稀釋模型在不同滲透性含水層及不同水力條件下的正確性，分別針對2種不同粒徑砂和5種水力條件進行試驗，試驗分組見表1．試驗所用水頭差及對應的水力梯度見表2．

表1 試驗分組

注：編號中數(shù)字下標代表該組試樣所承受的水頭差．

表2 試驗所用水頭差及對應水力梯度

3.4 試驗步驟

試驗按以下步驟進行：1)采用水下拋填法裝樣，裝樣完成后，持續(xù)通鹽水飽和24 h；2)飽和完成后，提升上游水頭，產生穩(wěn)定水平滲流；3)向測孔中投放示蹤劑，并間隔一定時間采集測孔內鹽水的電導率；4)在電導率采集期間對下游出水流量進行量測，求取真實西流速．

4 試驗數(shù)據(jù)與分析

4.1 流場畸變校正系數(shù)取值

目前，濾水管外無填礫時常采用Ogilui等[3]推導得出的流場畸變校正系數(shù)α計算公式進行取值，公式如下：

式中，α為流場畸變系；r1為濾水管內半徑；r2為濾水管外半徑；k1為套管的滲透系數(shù)；k2為含水層的滲透系數(shù)．在本試驗中，由于水管的壁很薄，可認為r1=r2，故流場畸變校正系數(shù)α=2．

4.2 反稀釋模型驗證

4.2.1 A組

圖3示出了A組孔水電導率隨時間變化的理論模型值與室內試驗值．理論模型值按公式(11-2)計算，其中r=1.7 cm，N=3×104μS/cm，vs按試驗實測達西流速取值．其中，A組各試樣(A25～A125)對應的實測達西流速(單位：×10-4cm/s)分別為1.214、3.015、4.903、7.811、9.852．

由圖3可以發(fā)現(xiàn)：在A組所對應的粒徑組中，反稀釋模型理論值可以較好地擬合反稀釋示蹤法實測孔水電導率隨時間的變化規(guī)律，尤其隨著水頭差的增加，模型的擬合效果越佳，因此A組試驗證明公式(11-1)是正確的，即證明反稀釋模型是正確的．

圖3 A組孔水電導率隨時間變化規(guī)律對比

4.2.2 B組

圖4示出了B組孔水電導率隨時間變化的理論模型值與室內試驗值．理論模型值按公式(11-2)計算，其中r=1.7 cm，N=3×104μS/cm，vs按試驗實測達西流速取值．其中，B組各試樣(B25～B125)對應的實測達西流速(單位：×10-3cm/s)分別為1.413 0、3.027 0、4.618 0、6.113 0、7.521 2．

由圖4可以發(fā)現(xiàn)：在B組所對應的粒徑組中，孔水電導率隨時間的實測變化規(guī)律與反稀釋模型所表達的理論變化規(guī)律在形式上是類似的，但在數(shù)值上，理論模型值與室內試驗值有一定差異．筆者分析產生上述差異的主要原因并不是理論模型不適用于實測規(guī)律，而是試驗本身誤差所造成，因此需仔細分析產生以上誤差的原因，并進行修正．

圖4 B組孔水電導率隨時間變化規(guī)律對比

4.2.3 B組誤差分析及修正

分析整個試驗過程可以發(fā)現(xiàn)：理論模型計算所采用的實測達西流速是整個土層的平均達西流速，而不是探頭所處位置對應的達西流速．但本文根據(jù)試驗實際情況假設：在流場畸變區(qū)外，達西流速處處相等．實際上，流場畸變區(qū)外各處的達西流速存在著差異，因此上述假設存在誤差，這主要是由于土層的不均勻性引起的．當砂土顆粒較細時，土層制樣的均勻性較好，畸變區(qū)外各處的達西流速相差不大，因此A組的理論模型值和試驗值可以較好地吻合，但當砂土顆粒粒徑增大時，土層的制樣不均勻性會加劇，導致B組流場畸變區(qū)外各處的達西流速的不均性加劇，從而導致B組的理論模型值和試驗值吻合不佳，因此必須對此加以修正．

式中，β為流速二次校正參數(shù)，只與試驗土樣相關．

4.2.4 流速二次校正參數(shù)β的計算

1)A組

由4.2.1、4.2.2可知，采用反稀釋示蹤法測定地下水流速時孔內電導率隨時間的變化規(guī)律是滿足式(11-2)，因此可用函數(shù)y=a(1-e-bt)來擬合電導率實測數(shù)據(jù)，其中a=3×104μS/cm固定不變，擬合可得參數(shù)b=2αvs/πr(單位s-1)，由b可以計算得到探頭對應深度處土層達西流速vs．

圖5 A組擬合

2)B組

圖6 B組擬合

4.2.5 B組修正后數(shù)據(jù)對比

選取B組兩組未參與擬合的試驗數(shù)據(jù)，將流速二次校正參數(shù)β=1.2代入式(11-3)，并與室內試驗值及修正前的理論模型值進行對比，得到圖7．由圖7可以發(fā)現(xiàn)：修正后的理論模型值與室內試驗值吻合良好．通過B組試驗，也驗證了反稀釋模型的正確性．

圖7 B組孔水電導率隨時間變化規(guī)律對比(修正后)

4.3 達西流速求解

在反稀釋模型得到驗證后，可通過式(10)，利用反稀釋示蹤法來求解含水層實際的達西流速．求解步驟如下：

第1步：繪制ln[N/(N-Nt)]～t散點圖；

第2步：采用線性擬合法擬合各散點，并得到該擬合直線的斜率k(單位：s-1)；

第3步：根據(jù)k=2αvs/πr得達西流速vs=πrk/2α；

第4步：在本試驗中，考慮到由于土層不均勻性產生的誤差，還需進行流速的二次修正，得到含水層的平均達西流速：vs=πrk/2αβ．

表3、4示出了利用反稀釋模型得到的各次試驗的含水層平均達西流速，從表中可以發(fā)現(xiàn)模型值與真實值處于相同數(shù)量級，且相差不大．

表3 A組達西流速對比

表4 B組達西流速對比

5 結 論

1)將反稀釋模型和滲流場畸變理論相結合，重新推導得到了反稀釋模型相關公式．

2)利用自主設計的試驗裝置對反稀釋模型進行室內試驗驗證，對于由土層不均勻性產生的誤差，采用流速二次校正參數(shù)較好地消除了該誤差．試驗結果表明：反稀釋模型是正確的，可用于反稀釋示蹤法的理論計算．

3)將反稀釋模型用于土層達西流速的計算，計算得到的模型值與試驗值相差不大．

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TheoreticalandExperimentalStudyofAnti-dilutionModelofSingleHole

Chen Liang1,2He Jianjian1,2Gao Weizhuang1,2Li Yueqi1,2Yao Binbin1,2

(1. Key Laboratory of Ministry of Education for Geomechanics & Embankment Engineering, Hohai Univ., Nanjing 210098, China; 2.Jiangsu Research Center for Geotechnical Engineering Technology, Hohai Univ., Nanjing 210098, China)

First of all, in order to eliminate the deficiencies in the previous derivation process of anti-dilution model, combining the anti-dilution model with the seepage field distortion theory to re-derived the ant-dilution model and distinguished the hole water's velocity with the aquifer's Darcy velocity carefully during the derivation process. Secondly, laboratory tests are carried out to verify the model using the self-designed experimental device. For the errors caused by soil heterogeneity, the second amendment parameter of velocity which can eliminate the errors is carried out. After eliminating the errors, the results from the anti-dilution indoor test show that the anti-dilution model is correct. Finally, the model is used to calculate the soil's Darcy velocity; and the model values of soil's Darcy velocity are close to its experimental values.

anti-dilution model; theoretical derivation; laboratory verification test; electric conductivity; seepage velocity

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.05.013

2017-04-09

江蘇省自然科學基金面上項目(BK20151495)

陳 亮(1976-)，男，博士，教授，研究方向為巖土滲流理論與測試等．E-mail：chenliang@hhu.edu.cn

TU411.99

A

1672-948X(2017)05-0063-06

[責任編輯周文凱]