胡 磊，伊國(guó)興，南 熠

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

滾動(dòng)時(shí)域狀態(tài)估計(jì)中極小化問(wèn)題的求解

胡 磊，伊國(guó)興，南 熠

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

滾動(dòng)時(shí)域狀態(tài)估計(jì)(MHSE)方法的基本思想是：將控制系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限時(shí)域內(nèi)的優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)獲得的優(yōu)化解對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。針對(duì)帶約束的線(xiàn)性離散系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，介紹了MHSE方法的研究及應(yīng)用現(xiàn)狀。基于懲罰函數(shù)法建立懲罰因子，將約束條件融合到適應(yīng)度函數(shù)中，通過(guò)粒子群優(yōu)化(PSO) 算法求解MHSE方法中的極小化問(wèn)題?；贛atlab編程，實(shí)現(xiàn)了二階仿真算例。仿真結(jié)果表明，PSO算法能夠有效地求解MHSE方法中的極小化問(wèn)題，使得2種狀態(tài)的估計(jì)值和真實(shí)值之間的均方差分別為0.075 0、 0.204 1。PSO算法能夠有效地求解二階仿真算例，以獲取滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)方法中極小化問(wèn)題的最優(yōu)解，為基于MHSE方法進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)的研究與應(yīng)用提供了參考。下一步的研究方向是提高估計(jì)精度，以及復(fù)雜約束條件下高階系統(tǒng)的極小化問(wèn)題的求解。

狀態(tài)估計(jì)； 適應(yīng)度函數(shù)； 滾動(dòng)窗口； 約束； 極小化； 粒子群優(yōu)化算法； 懲罰函數(shù)

0 引言

許多控制系統(tǒng)往往需要通過(guò)狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，以達(dá)到性能指標(biāo)要求。然而，并非所有的系統(tǒng)狀態(tài)變量均易于直接檢測(cè)，有些狀態(tài)變量甚至根本無(wú)法檢測(cè)[1]。此外，在實(shí)際系統(tǒng)中，外部干擾往往存在約束，例如干擾具有下界或者在某個(gè)范圍內(nèi)波動(dòng)。為了優(yōu)化上述類(lèi)型的控制系統(tǒng)，研究帶約束的系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)是十分有意義的。

滾動(dòng)時(shí)域狀態(tài)估計(jì)(moving horizon state estimation，MHSE)方法自提出以來(lái)，受到了工程界眾多學(xué)者的關(guān)注。MHSE方法對(duì)于工業(yè)過(guò)程的參數(shù)估計(jì)和狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，具有良好的效果[2]。該方法將估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題，同時(shí)又能包含系統(tǒng)的約束條件，利用在線(xiàn)滾動(dòng)優(yōu)化原理進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)[3]。文獻(xiàn)[4]將MHSE方法應(yīng)用于具有不確定性的冰山漂移預(yù)測(cè)。文獻(xiàn)[5]將MHSE方法應(yīng)用于帶有未知輸入的線(xiàn)性離散系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)。文獻(xiàn)[6]將MHSE方法應(yīng)用于具有參數(shù)不確定系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)。但以上文獻(xiàn)都未具體指出MHSE方法中極小化問(wèn)題的求解方法。因此，研究其求解方法是十分有意義的。針對(duì)上述問(wèn)題，建立懲罰因子，對(duì)具有上下界的狀態(tài)約束進(jìn)行處理；采用粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)算法對(duì)MHSE方法中的極小化問(wèn)題進(jìn)行求解，得出系統(tǒng)的初始狀態(tài)和擾動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計(jì)。

1 滾動(dòng)時(shí)域狀態(tài)估計(jì)方法

MHSE方法基于測(cè)量輸出來(lái)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)?？紤]如式(1)所示的線(xiàn)性離散系統(tǒng)。系統(tǒng)滿(mǎn)足條件xk∈X、uk∈U、ωk∈W、vk∈V，域W、X、V、U為凸集。

(1)

式中：xk∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)；uk∈Rg為系統(tǒng)輸入；yk∈Rp為測(cè)量輸出；ωk∈Rm為外部干擾；vk∈Rp為測(cè)量噪聲。

(2)

式中：j為粒子數(shù)。

全信息MHSE方法將線(xiàn)性離散系統(tǒng)(1)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題描述為如下所示的數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題1。

問(wèn)題1[6]：

(3)

式(3)滿(mǎn)足時(shí)域約束條件和動(dòng)力學(xué)方程，分別為：

式中：D為單個(gè)粒子的維數(shù)。

近似MHSE方法將線(xiàn)性離散系統(tǒng)(1)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題描述為如下所示的數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題2。

問(wèn)題2[6]：

(4)

式(4)滿(mǎn)足時(shí)域約束條件和動(dòng)力學(xué)方程，分別為：

Πk+1=BQB′+A(Πk-ΠkC′(R+CΠkC′)-1CΠk)A′

2 粒子群優(yōu)化算法

PSO算法的基本思想是：基于迭代所積累的自身經(jīng)驗(yàn)以及全局經(jīng)驗(yàn)，更新粒子的速度和位置，將當(dāng)代粒子代入適應(yīng)度函數(shù)中求值，并與歷史最佳適應(yīng)度函數(shù)值相比較，選取滿(mǎn)足目標(biāo)問(wèn)題且使之最優(yōu)的解。PSO算法易于實(shí)現(xiàn)、參數(shù)較少，能有效解決復(fù)雜優(yōu)化任務(wù)[7-9]。因此，針對(duì)外部擾動(dòng)有下界的線(xiàn)性離散系統(tǒng)，在基于MHSE方法實(shí)現(xiàn)其狀態(tài)估計(jì)時(shí)，選擇PSO算法對(duì)MHSE方法中的極小化問(wèn)題進(jìn)行求解，以期獲得包含初始狀態(tài)和干擾的最優(yōu)解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)。

粒子的速度和位置更新公式如下：

式中：t為迭代次數(shù)；粒子數(shù)j=1,2，…，n，n為整個(gè)種群的大??；α1和α2為(0,1)中隨機(jī)抽取的均勻隨機(jī)數(shù)；η為慣性權(quán)重；μ1和μ2為加速度權(quán)重系數(shù)；Xj=[xj,1,xj,2,…,xj,D]為第j個(gè)粒子的位置；vj=[vj,1，vj,2,…,vj,D]為第j個(gè)粒子的速度；Sj=[sj,1，sj,2,…,sj,D]為第j個(gè)粒子的歷史最佳位置。

第(t+1)次迭代時(shí)，粒子的歷史最佳位置的計(jì)算公式如下：

式中：f(·)為適應(yīng)度函數(shù)。

第(t+1)次迭代時(shí)，粒子群體歷史最佳位置的計(jì)算公式如下：

式中：S0=[s0,1,s0,2,…，s0,D]為群體的歷史最佳位置。

3 模型建立

針對(duì)式(1)所示的線(xiàn)性離散系統(tǒng)，假設(shè)輸入u(k)=0，測(cè)量輸出集合為Y=[y0，y1，…，yT-1]T，分別考慮外部干擾沒(méi)有約束條件以及外部干擾在某個(gè)給定范圍內(nèi)波動(dòng)這一約束條件，建立了無(wú)約束條件模型和有約束條件模型。

3.1 無(wú)約束條件模型

當(dāng)T≤N時(shí)，定義X=[x0,ω0,ω1,…,ωT-1]T，由式(4)定義如下適應(yīng)度函數(shù)。

推導(dǎo)得：

(5)

當(dāng)T>N時(shí)，定義X=[xT-N，ωT-N，ωT-N+1，…,ωT-1]T，由式(4)定義如下適應(yīng)度函數(shù)。

推導(dǎo)得：

(6)

3.2 有約束條件模型

約束優(yōu)化問(wèn)題是科學(xué)研究和工程應(yīng)用中普遍存在的一類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題[10]。通常，處理約束優(yōu)化問(wèn)題的方法主要有修理法、丟棄法和懲罰函數(shù)法等。懲罰函數(shù)法將約束優(yōu)化問(wèn)題中的違反約束項(xiàng)乘以懲罰項(xiàng)并加到目標(biāo)函數(shù)中，從而構(gòu)造出帶參數(shù)的增廣目標(biāo)函數(shù)[11]。針對(duì)約束條件ωk≥0，懲罰函數(shù)法能夠更好地處理約束條件，求取優(yōu)化目標(biāo)解。

因此，本文選取懲罰函數(shù)法對(duì)約束進(jìn)行處理。具體過(guò)程是：建立懲罰因子δ，將約束優(yōu)化問(wèn)題中的約束條件ωk≥0融合到適應(yīng)度函數(shù)中，進(jìn)而用粒子群優(yōu)化方法來(lái)求解。構(gòu)造如下懲罰函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)。

(7)

F(X,δ)=f(X)+δ×P(X)

(8)

式中：δ為懲罰因子，取正數(shù)，大小視實(shí)際仿真情況而定；f(X)來(lái)自式(5)、式(6)。

以F(X,δ)作為新的適應(yīng)度函數(shù)：當(dāng)X是目標(biāo)解時(shí)，P(X)=0，F(xiàn)(X,δ)=f(X)；當(dāng)X不是目標(biāo)解時(shí)，P(X)>0，δP(X)>0，F(xiàn)(X,δ)>f(X)，使得X代入目標(biāo)函數(shù)所得的解不是最小值，需要進(jìn)一步迭代尋優(yōu)。

4 估計(jì)系統(tǒng)仿真試驗(yàn)

作為驗(yàn)證PSO算法能夠求解極小化約束問(wèn)題的仿真示例，考慮約束條件為ω(k)≥0、輸入u(k)=0的線(xiàn)性離散系統(tǒng)為[6]：

(9)

圖1 仿真結(jié)果(無(wú)約束,N=1)

取滾動(dòng)時(shí)域窗口長(zhǎng)度N=1，對(duì)有約束條件下線(xiàn)性離散系統(tǒng)(9)的狀態(tài)x1和x2進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖2所示。圖2中，估計(jì)值和真實(shí)值之間的均方差為σ1=0.091 4、σ2=0.317 4。

圖2 仿真結(jié)果(有約束,N=1)

取滾動(dòng)時(shí)域窗口長(zhǎng)度N=4，對(duì)有約束條件下線(xiàn)性離散系統(tǒng)(9)的狀態(tài)x1和x2進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖3所示。圖3中，估計(jì)值和真實(shí)值之間的均方差為σ1=0.075 0、σ2=0.204 1。

圖3 仿真結(jié)果(有約束,N=4)

從圖1～圖3及其對(duì)應(yīng)的σi值可以看出，針對(duì)二階線(xiàn)性離散系統(tǒng)(9)，可基于PSO 算法求解MHSE方法中的極小化問(wèn)題，得出系統(tǒng)的初始狀態(tài)和干擾，進(jìn)而求出當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)線(xiàn)性離散系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，深入分析了滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)方法，通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到了適應(yīng)度函數(shù)表達(dá)式，并研究了無(wú)約束條件的線(xiàn)性離散系統(tǒng)。采用PSO優(yōu)化算法對(duì)適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，并研究了有約束條件的線(xiàn)性離散系統(tǒng)。采用懲罰函數(shù)法來(lái)處理該約束條件，將約束條件融合到增廣目標(biāo)函數(shù)中，生成新的適應(yīng)度函數(shù)，并采用PSO優(yōu)化算法求解?；贛atlab編程,實(shí)現(xiàn)了對(duì)1個(gè)二階實(shí)例的仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，PSO算法能夠?qū)HSE方法中的極小化問(wèn)題進(jìn)行求解，PSO算法結(jié)合懲罰函數(shù)法能夠?qū)τ邢陆绲耐獠扛蓴_進(jìn)行處理。

盡管PSO算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)MHSE方法中極小化問(wèn)題的求解，但是對(duì)于如何提高估計(jì)精度，以及對(duì)復(fù)雜約束條件下高階系統(tǒng)的極小化問(wèn)題的求解，仍需要進(jìn)一步探討和研究。

[1] 王紅,吳險(xiǎn)峰,張友.離散時(shí)間模糊控制系統(tǒng)的新型狀態(tài)觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2015,45(16):152-158.

[2] ZAVALA V M,BIEGLER L T.Optimization-based strategies for the operation of low-density polyethylene tubular reactors:moving horizon estimation[J].Computers & Chemical Engineering,2009:33(1):379-390.

[3] ANGELO A,MAURO G.Moving-horizon estimation for discrete-time linear and nonlinear systems using the gradient and Newton methods[C]//Conference on Decision and Control(CDC).Las Vegas:IEEE,2016:2906-2911.

[4] LEIFERIK A,FRANCESCO S,LARS I.The moving horizon estimator used in iceberg drift estimation and forecast[C]//European Control Conference(ECC).Denmark:IEEE,2016:1271-1277.

[5] BOULKROUNE B,DAROUACH D,ZASADZINSK M.Moving horizon estimation for discrete time linear systems with unknown inputs[C]//Proceedings of the European Control Conference 2007.Greece:IEEE,2007:2875-2878.

[6] 趙海燕.時(shí)域約束系統(tǒng)的滾動(dòng)時(shí)域狀態(tài)估計(jì)方法研究[D].長(zhǎng)春:吉林大學(xué),2007:14-21.

[7] 王東,風(fēng)孟麗,趙文杰.基于自適應(yīng)搜索中心的骨干粒子群算法[J].計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào),2016,39(12):2652-2667.

[8] 鄧麗,蔣婧,費(fèi)敏銳.基于免疫粒子群算法的PID參數(shù)整定與自適應(yīng)[J].自動(dòng)化儀表,2013,34(2):65-67.

[9] 楊琳,孔峰.嵌入粒子群優(yōu)化算法的混合人工蜂群算法[J].自動(dòng)化儀表,2013,34(1):50-53.

[10]劉云連,伍鐵斌,王俊年,等.改進(jìn)罰函數(shù)法與蝙蝠算法在約束優(yōu)化中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2015,9(9):62-67.

[11]蔡海鸞.懲罰函數(shù)法在約束最優(yōu)化問(wèn)題中的研究與應(yīng)用[D].上海:華東師范大學(xué),2015:5-6.

SolutionoftheMinimizationinMovingHorizonStateEstimation

HU Lei,YI Guoxing,NAN Yi

(School of Astronautics,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001，China)

The basic idea of moving horizon state estimation(MHSE) method is to convert the state estimation of the control system into the optimization in the finite time domain,and obtain the optimal solution to implement estimation of system state.In order to solve the state estimation of linear discrete systems with constraints,the research and current status of application of MHSE method are presented.The penalty factor is established based on the penalty function method,the constraint condition is integrated into the fitness function,and the minimization in the MHSE method is solved by the particle swarm optimization(PSO) algorithm.On the basis of Matlab programming,the second order simulation case is realized. The simulation results show that the PSO algorithm can effectively solve the minimization in the MHSE method,so that the mean square error between the estimated value and the true value of the state andis 0.075 0 and 0.204 1.The PSO algorithm can effectively solve the second-order simulation case,to obtain the optimal solution of the minimization in the moving horizon state estimation method,which provides reference for the research and application of state estimation based on MHSE method.The next step is to improve the estimation accuracy and solve the minimization of the high order system with complex constraints.

State estimation; Fitness function; Moving window; Constraint; Minimization; PSO algorithm; Penalty function

修改稿收到日期:2017-07-26

胡磊(1993—)，男，在讀碩士研究生，主要從事智能算法的研究，E-mail：maple_hsjz@163.com；伊國(guó)興(通信作者)，男，博士，教授，主要從事先進(jìn)導(dǎo)航與無(wú)人機(jī)智能控制等方向的研究,E-mail：ygx@hit.edu.cn

TH-3；TP13

A

10.16086/j.cnki.issn1000-0380.201712011