王白王，賈巨民，許愛芬

(1.陸軍軍事交通學(xué)院 研究生管理大隊(duì)，天津 300161；2.陸軍軍事交通學(xué)院 軍事物流系，天津 300161)

● 基礎(chǔ)科學(xué)與技術(shù)BasicScience&Technology

基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型控制的球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)萬向平臺(tái)研制

王白王1，賈巨民2，許愛芬2

(1.陸軍軍事交通學(xué)院 研究生管理大隊(duì)，天津 300161；2.陸軍軍事交通學(xué)院 軍事物流系，天津 300161)

基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型控制的球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)萬向平臺(tái)，可用于對(duì)控制精度要求不高的場合，實(shí)現(xiàn)平面運(yùn)動(dòng)向球面運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換。在對(duì)球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)萬向平臺(tái)機(jī)械結(jié)構(gòu)和控制方法。最后利用ADAMS仿真驗(yàn)證了該平臺(tái)控制精度，能夠滿足實(shí)際應(yīng)用要求。

球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)；運(yùn)動(dòng)學(xué)方程；PLC控制；ADAMS仿真

球齒輪機(jī)構(gòu)是一種具有兩個(gè)自由度,可用來傳遞二維回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的新型齒輪機(jī)構(gòu)，在改變機(jī)構(gòu)傳動(dòng)方向上有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。當(dāng)一個(gè)球齒輪齒數(shù)為無窮多時(shí)，其分度球半徑將趨于無窮大，球齒輪機(jī)構(gòu)就演變成了球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)，它能夠?qū)崿F(xiàn)球面運(yùn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)之間的轉(zhuǎn)換。因此，凡是需要實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制和柔性連接的場合都可用該機(jī)構(gòu)作為傳動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)，可廣泛應(yīng)用在航空航天、武器制導(dǎo)和機(jī)器人等領(lǐng)域。

潘存云等[1-3]對(duì)漸開線環(huán)形齒球齒輪的基本概念、嚙合原理、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程等作了系統(tǒng)研究，對(duì)球齒輪的齒廓方程進(jìn)行了推導(dǎo)，提出了3種齒廓切制方法；姚齊水等[4]提出了一種簡便的球齒輪實(shí)體建模方法；李婷[5]研究了裝配誤差對(duì)球齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)定位精度的影響；高翔等[6]研究了球齒輪柔性軸的姿態(tài)算法；李強(qiáng)等[7]設(shè)計(jì)了一種利用動(dòng)力學(xué)模型精確控制的球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)定向平臺(tái)。上述文獻(xiàn)奠定了球齒輪機(jī)構(gòu)應(yīng)用研究的基礎(chǔ)。

由于球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)傳動(dòng)運(yùn)行速度較低，在一些對(duì)控制精度要求不高的場合，不需要使用復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行控制[7]。因此，本文設(shè)計(jì)一種基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型控制的球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)萬向平臺(tái)，該平臺(tái)由機(jī)械本體和控制系統(tǒng)兩部分組成。其中機(jī)械本體為球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)，控制系統(tǒng)為基于PLC的步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)。平臺(tái)運(yùn)行時(shí)，利用控制系統(tǒng)控制齒盤的運(yùn)動(dòng)輸入，相應(yīng)的球齒輪輸出與齒盤相嚙合的球面運(yùn)動(dòng)。該平臺(tái)電機(jī)輸出軸負(fù)載小，控制系統(tǒng)簡便，具有廣泛的應(yīng)用前景。

1 球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)基本原理

1.1 球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)的形成

如圖1(a)所示為一對(duì)圓柱齒輪嚙合，在圖示位置時(shí)兩齒輪中心連線與兩齒輪的極軸相重合。將這一對(duì)相互嚙合的圓柱齒輪剖面(圖中陰影部分)繞極軸旋轉(zhuǎn)360°便得到一對(duì)相互嚙合的球齒輪(如圖1(b)所示)，圓柱齒輪中有關(guān)的各種圓，相應(yīng)的此時(shí)全部演變?yōu)橄鄳?yīng)的球[8]。如圖1(c)所示，將兩齒輪分別安裝在一組兩自由度的萬向框架上，使其繞各自中心作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，就可以實(shí)現(xiàn)一對(duì)節(jié)球的純滾動(dòng)。如圖2所示，當(dāng)一個(gè)球齒輪的分度球半徑為無窮大時(shí)，球齒輪演變?yōu)橐粋€(gè)平面齒環(huán)，過齒環(huán)中心的剖面所截得的齒形為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)齒條，此時(shí)球齒輪機(jī)構(gòu)就演變成為球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)，其中球齒輪作球面運(yùn)動(dòng)，齒盤作平面運(yùn)動(dòng)。因此球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)平面運(yùn)動(dòng)和球面運(yùn)動(dòng)的相互轉(zhuǎn)換。

圖1 球齒輪機(jī)構(gòu)形成示意

圖2 球齒輪齒盤輪機(jī)構(gòu)示意

1.2 球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

如圖3所示，建立如下坐標(biāo)系：

(1)固定坐標(biāo)M10=[O10,x10,y10,z10]和M20=[O20,x20,y20,z20]。

圖3 球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系

(2)齒盤固連坐標(biāo)M1=[O1,x1,y1,z1]。

(3)球齒輪固連坐標(biāo)M2=[O2,x2,y2,z2]。

在球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)中，球齒輪的分度球與齒盤的節(jié)平面作純滾動(dòng)。設(shè)球齒輪的分度球半徑為r，則齒盤極軸末端初始位置的坐標(biāo)和球齒輪輸出軸末端C點(diǎn)初始位置坐標(biāo)均為(0,r,0)。當(dāng)球齒輪從初始位置往任意方向偏轉(zhuǎn)θ時(shí)，在包含該方向的截面內(nèi)，球齒輪齒盤的運(yùn)動(dòng)等同于普通圓柱齒輪與標(biāo)準(zhǔn)齒條的嚙合運(yùn)動(dòng)。球齒輪的偏轉(zhuǎn)角θ與齒盤的移動(dòng)距離S有如下關(guān)系:

S=rθ

(1)

當(dāng)齒盤為主動(dòng)構(gòu)件時(shí)，其輸入?yún)?shù)為x軸方向和z軸方向的位移sx和sz,輸出參數(shù)為輸出軸端點(diǎn)坐標(biāo)(xc,yc,zc)。齒盤移動(dòng)的距離S和方位角α分別為

(2)

輸出軸端點(diǎn)坐標(biāo)(xc,yc,zc)為

(3)

當(dāng)球齒輪作為主動(dòng)件時(shí)，其運(yùn)動(dòng)為球面的偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，該運(yùn)動(dòng)可以視作分別繞x軸和z軸的分轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。因此，其輸入?yún)?shù)為分別繞x軸和z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度βx和βz,輸出參數(shù)為齒盤的位移(sx,sz)。

根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式可得

(4)

式中Rx、Rz分別為繞x軸和繞y軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。

因?yàn)橥稽c(diǎn)在同一坐標(biāo)系下坐標(biāo)相同，因此式(3)與式(4)相等

(5)

解式(5)可得偏轉(zhuǎn)角θ和方位角α為

(6)

聯(lián)立式(1)、(2)、(6)可解出齒盤位移為

(7)

2 萬向平臺(tái)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.1 萬向平臺(tái)機(jī)械本體

萬向平臺(tái)結(jié)構(gòu)由機(jī)械本體和控制系統(tǒng)兩部分組成。圖4為該萬向平臺(tái)的機(jī)械本體實(shí)物。電機(jī)通過絲杠滾珠機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)，使滑塊a和b分別沿x軸和z軸方向滑動(dòng)；齒盤通過基座固連在滑塊a上，其運(yùn)動(dòng)為滑塊a和b的合成運(yùn)動(dòng)；圓環(huán)與支架鉸接，球齒輪通過橫軸與圓環(huán)鉸接，球齒輪可以在空間內(nèi)做兩自由度的轉(zhuǎn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)動(dòng)中心位于圓環(huán)的中心位置；齒盤與球齒輪相互嚙合，齒盤的平面運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化成球齒輪的球面運(yùn)動(dòng)；球齒輪輸出軸末端可以根據(jù)設(shè)計(jì)加裝不同類型的裝置，跟隨球齒輪做牽連運(yùn)動(dòng)。根據(jù)以上分析，可知該平臺(tái)自由度為2，原動(dòng)件與系統(tǒng)自由度相等，因此該平臺(tái)具有確定的運(yùn)動(dòng)。

圖4 萬向平臺(tái)機(jī)械本體實(shí)物

2.2 萬向平臺(tái)控制系統(tǒng)

如圖5所示，萬向平臺(tái)控制系統(tǒng)主要由計(jì)算機(jī)、PLC、步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)器和步進(jìn)電機(jī)組成。控制系統(tǒng)控制原理是利用計(jì)算機(jī)軟件編程控制PLC產(chǎn)生脈沖，通過脈沖的個(gè)數(shù)來控制電機(jī)角位移量，達(dá)到定位的目的；同時(shí)通過控制脈沖頻率來控制電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，達(dá)到調(diào)速的目的。

圖5 萬向平臺(tái)控制系統(tǒng)示意

3 萬向平臺(tái)控制方法設(shè)計(jì)

3.1 萬向平臺(tái)控制流程

萬向平臺(tái)主要功能是將平面運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換成球面運(yùn)動(dòng)，平臺(tái)運(yùn)行控制流程如圖6所示。

圖6 萬向平臺(tái)控制流程

3.2 萬向平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

萬向平臺(tái)控制的基礎(chǔ)是對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的求解，運(yùn)動(dòng)學(xué)模型包括正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是指在已知齒盤運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的條件下求解球齒輪輸出軸末端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是指在已知輸出軸末端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的條件下，確定齒盤的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由于萬向平臺(tái)是根據(jù)球齒輪輸出軸末端的運(yùn)動(dòng)軌跡來確定齒盤的運(yùn)動(dòng)輸入，因此關(guān)鍵是建立逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

以該平臺(tái)球齒輪輸出軸末端為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖4所示的坐標(biāo)系。設(shè)球齒輪中心至輸出軸末端點(diǎn)距離為l，分度球半徑為r，用s1表示齒盤沿x軸位移，s2表示沿z軸位移，根據(jù)式(1)和式(2)可算出球齒輪的偏轉(zhuǎn)角θ和方位角α

(8)

由式(7)、(8)可得

(9)

根據(jù)式(9)可計(jì)算出s1和s2，進(jìn)而可以計(jì)算出電機(jī)的驅(qū)動(dòng)參數(shù)。

3.3 電機(jī)驅(qū)動(dòng)參數(shù)計(jì)算

由于逆向運(yùn)動(dòng)模型求解出的僅僅是齒盤x軸方向和z軸方向上的位移，還需要將該位移換算成電機(jī)角位移和脈沖數(shù)。計(jì)算公式為

角位移=齒盤位移/螺距

脈沖數(shù)=角位移/(步距角×驅(qū)動(dòng)器細(xì)分?jǐn)?shù))

PLC通過位置控制功能控制對(duì)電機(jī)的脈沖輸入。位置控制是指從起始地址到目標(biāo)地址，地址表示每一時(shí)刻電機(jī)的位置，其值大小用脈沖數(shù)表示。位置控制功能有位置的絕對(duì)控制和位置的相對(duì)控制兩種運(yùn)行方式，不同的運(yùn)行方式對(duì)地址的計(jì)算方法有所區(qū)別。

(1)位置的絕對(duì)控制。這種方式需要指定原點(diǎn)地址，其在程序中寫入的是目標(biāo)地址。目標(biāo)地址是相對(duì)原點(diǎn)的有向距離，有正有負(fù)。電機(jī)的轉(zhuǎn)向決定于位置轉(zhuǎn)移量的符號(hào)，轉(zhuǎn)移量等于起始地址和目標(biāo)地址之差。如果開始地址<目標(biāo)地址，則轉(zhuǎn)移量為正，電機(jī)正轉(zhuǎn)；相反，如果開始地址>目標(biāo)地址，則轉(zhuǎn)移量為負(fù)，電機(jī)反轉(zhuǎn)。如圖7所示，起始地址是1 000，目標(biāo)地址是8 000，轉(zhuǎn)移量是8 000-1 000=7 000，符號(hào)為正，表示電機(jī)正轉(zhuǎn)7 000個(gè)脈沖控制的角位移量。

圖7 位置的絕對(duì)控制示意

(2)位置的相對(duì)控制。這種方式直接在程序中寫入位置的轉(zhuǎn)移量，轉(zhuǎn)移方向決定于轉(zhuǎn)移量的符號(hào)。如圖8所示，起始位置為5 000，轉(zhuǎn)移量為-7 000，表示電機(jī)反轉(zhuǎn)7 000個(gè)脈沖控制的角位移，所到達(dá)的目標(biāo)地址為5 000-7 000=-2 000。

圖8 位置的相對(duì)控制示意

選定位置控制方式之后可進(jìn)行計(jì)算機(jī)編程。

3.4 PLC編程

在計(jì)算機(jī)中對(duì)PLC進(jìn)行編程控制。由于電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)一般是非勻速的，無法直接通過編程實(shí)現(xiàn)連續(xù)控制，只能將其運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)離散化。離散化的思想是將電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)按一定的時(shí)間間隔，劃分為若干子區(qū)間，當(dāng)時(shí)間間隔足夠小時(shí)，可近似認(rèn)為在每個(gè)子區(qū)間內(nèi)電機(jī)作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。以位置的絕對(duì)控制為例說明利用離散化思想編程需要的基本參數(shù)：

(1)記ti時(shí)刻電機(jī)地址為L1,其中L0=0。

(2)時(shí)間間隔Δti=ti-ti-1，t0=0(i=0,1,…)。Δti要足夠小，保證在ti-1至ti內(nèi)能將電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)近似看作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)而不至引起太大誤差。

(3)轉(zhuǎn)移量ΔLi=Li-Li-1，L0=0，電機(jī)轉(zhuǎn)速vi=ΔLi/Δti(i=1,2,…)。

根據(jù)以上參數(shù)編寫梯形圖程序，圖9為控制程序流程。

圖9 控制程序流程

4 萬向平臺(tái)運(yùn)動(dòng)仿真分析

4.1 螺旋運(yùn)動(dòng)仿真

用SolidWorks構(gòu)建萬向平臺(tái)的實(shí)體模型，導(dǎo)入ADAMS中，添加相關(guān)約束，可得到如圖10所示的實(shí)體模型。

根據(jù)式(8)可以設(shè)計(jì)平臺(tái)輸出軸末端的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后將相關(guān)參數(shù)輸入ADAMS中進(jìn)行仿真，可以得到齒盤在x軸和z軸上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

設(shè)計(jì)輸出軸末端點(diǎn)作螺旋運(yùn)動(dòng):球齒輪極軸沿x軸正向偏轉(zhuǎn)30°，然后繞y軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)兩周，同時(shí)輸出軸末端點(diǎn)沿z軸正方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，最后回到原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖11所示。采用一般驅(qū)動(dòng)進(jìn)行仿真，可以得到齒盤在x軸和z軸上的位移，如圖12和圖13所示。

圖10 萬向平臺(tái)機(jī)構(gòu)實(shí)體模型

圖11 輸出軸末端點(diǎn)螺旋運(yùn)動(dòng)軌跡

圖12 齒盤x軸方向位移

圖13 齒盤z軸方向位移

4.2 仿真結(jié)果分析

將圖12與圖13中位移仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，其中實(shí)線代表理論值曲線，點(diǎn)劃線代表仿真值曲線?？煽闯鰞煞N曲線基本重合，說明齒盤位移的仿真值和理論計(jì)算值偏差較小。其中，齒盤在x軸方向上兩種位移曲線偏離程度最大的區(qū)間，是在運(yùn)行至約1 s時(shí)負(fù)向位移最大值點(diǎn)附近，最大偏離值為0.84 mm；齒盤在z軸方向上兩種曲線偏離最大的區(qū)間，在約4 s時(shí)負(fù)向位移最大值點(diǎn)附近，最大偏離值為1.27 mm。兩圖中曲線均在位移最大值點(diǎn)附近產(chǎn)生了較大程度的偏離，主要原因是由于在這些區(qū)間中速度方向發(fā)生改變，導(dǎo)致既有負(fù)向位移，又由于速度方向變化產(chǎn)生了方向相反的正向位移。而且這些區(qū)間內(nèi)平均速度較大導(dǎo)致正負(fù)位移在數(shù)值上均較大，而軟件在劃分運(yùn)行步時(shí)將速度方向變化的時(shí)刻劃分在了區(qū)間內(nèi)部，導(dǎo)致仿真值是被正負(fù)位移相互抵消后的結(jié)果，因而與理論值有較大偏差。除此之外，在其余區(qū)間內(nèi)兩種曲線只有微小程度的偏離，這種誤差的來源可能是由于ADAMS建模時(shí)球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)不夠精確產(chǎn)生的，也可能是對(duì)球齒輪中心至輸出軸末端點(diǎn)距離測量不準(zhǔn)確造成的。

通過計(jì)算可知，在x軸和z軸方向上位移理論值和仿真值的最大誤差僅占總位移值的1.12%和2.54%，符合一些對(duì)控制精度要求不高的低速傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的誤差標(biāo)準(zhǔn)，證明基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型控制的球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)萬向平臺(tái)是能夠滿足實(shí)際應(yīng)用要求的。

5 結(jié) 語

本文分析了球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)的形成原理，推導(dǎo)了球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型控制的球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)萬向平臺(tái)及其控制方法。通過ADAMS運(yùn)動(dòng)仿真，分析了仿真過程中誤差產(chǎn)生的原因，驗(yàn)證了基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型控制的球齒輪齒盤機(jī)構(gòu)萬向平臺(tái)是能夠滿足實(shí)際應(yīng)用精度要求的，為該平臺(tái)的實(shí)際應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

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DevelopmentofUniversalPlatformforSphericalGearandFlutedDiscMechanismBasedonKinematicsModel

WANG Baiwang1, JIA Jumin2, XU Aifen2

(1.Postgraduate Training Brigade, Army Military Transportation University, Tianjin 30061, China;2.Military Logistics Department, Army Military Transportation University, Tianjin 300161, China)

Universal platform of spherical gear and fluted disc mechanism based on kinematics model can be used in the areas with low requirement of control accuracy, and it can realize the transition from planar motion to spherical motion. After analyzing the kinematics of spherical gear and fluted disc mechanism, the paper designs the mechanical structure and control method of universal platform. Then, it verifies the control precision of the platform with ADAMS, which can meet the requirements of practical application.

spherical gear and fluted disc mechanism; kinematics equation; PLC control; ADAMS simulation

2017-04-17；

2017-06-05.

王白王(1992—)，男，碩士研究生；

賈巨民(1965—)，男，博士，教授，碩士研究生導(dǎo)師.

10.16807/j.cnki.12-1372/e.2017.12.017

TH132.41

A

1674-2192(2017)12- 0074- 06

(編輯：史海英)