張曜光

(金華市教育局教研室 321017)

1 引言

平面向量數(shù)量積是向量理論中的一個(gè)重要概念，在學(xué)習(xí)了平面向量的基本概念，平面向量的線性運(yùn)算，平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算之后，再學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積，向量將完全展現(xiàn)“如果沒有運(yùn)算，向量只是一個(gè)‘路標(biāo)’，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限.[注]劉紹學(xué)主編. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4 A版[M].北京：人民教育出版社，2007”

對(duì)于平面向量數(shù)量積的教學(xué)，2003年課標(biāo)要求：“通過物理中‘功’等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義.”修改中的新課標(biāo)增加了“會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積”.更早的大綱要求也大致相同.

從我國教材引入向量教學(xué)起，教師對(duì)引入數(shù)量積的必要性、數(shù)量積究竟是什么等一直存在疑惑.能否給它一個(gè)數(shù)學(xué)化的表達(dá)和完整的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)？本文對(duì)此進(jìn)行一些探討，不當(dāng)之處敬請(qǐng)批評(píng)指正.

2 困惑的成因

2.1 物理背景作用的困擾

向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景.向量既是幾何研究對(duì)象，也是代數(shù)研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.

在向量的教學(xué)中，在物理背景下學(xué)習(xí)平面向量的基本概念、平面向量的線性運(yùn)算是必要的，數(shù)學(xué)的學(xué)科邏輯與學(xué)生的認(rèn)知邏輯可以達(dá)到完美的融合.

而到了平面向量數(shù)量積的教學(xué)，兩種邏輯就都顯得尷尬了.

從學(xué)科邏輯來看：

1)這里需要來個(gè)元概念嗎？

2)這里還是物理的需要，不是數(shù)學(xué)的必然嗎？

從認(rèn)知邏輯來看：

1)與前面學(xué)習(xí)的平面向量的線性運(yùn)算聯(lián)系不上了；

2)物理是實(shí)證科學(xué)，類如“力對(duì)物體所做的功”的物理模型應(yīng)該數(shù)學(xué)演繹佐證，難道是來一個(gè)“物理模型”就給它一個(gè)數(shù)學(xué)定義，成為一個(gè)數(shù)學(xué)的新起點(diǎn)？

物理背景在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值應(yīng)該是便于在背景中進(jìn)行“數(shù)學(xué)抽象”，也就是從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)語言予以表征.但這次不是抽象而是強(qiáng)加，很不自然.

2.2 數(shù)學(xué)的思維方式的斷裂

數(shù)學(xué)的思維方式可以概括成：觀察客觀現(xiàn)象，從中抓住主要特征，抽象出概念或數(shù)學(xué)模型；然后進(jìn)行探索，探索時(shí)常用的是直覺判斷、歸納、類比和聯(lián)想；探索后可以做出某種猜想, 但是需要證明, 這要進(jìn)行深入分析、邏輯推理和計(jì)算；之后才可以揭示出事物的內(nèi)在規(guī)律. 這就是數(shù)學(xué)思維方式的全過程[注]丘維聲. 代數(shù)學(xué)的發(fā)展與數(shù)學(xué)的思維方式[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006，45(12).

沿革至今的平面向量數(shù)量積教材和教學(xué)，只是做了一次“物理模型”的抽象表達(dá)，不是從數(shù)學(xué)內(nèi)部需要而產(chǎn)生，沒有體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的必然性，沒有遵循數(shù)學(xué)的思維方式，不利于學(xué)生對(duì)平面向量數(shù)量積內(nèi)涵的理解和后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí).

3 平面向量數(shù)量積的數(shù)學(xué)發(fā)生方案

3.1 回歸知識(shí)序

在進(jìn)行平面向量數(shù)量積教學(xué)時(shí)，平面向量的教學(xué)已經(jīng)走了：平面向量的基本概念平面向量的線性運(yùn)算平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算的路徑，兩個(gè)向量的加法運(yùn)算可以是平面向量數(shù)量積教學(xué)的出發(fā)點(diǎn).

3.2 兩個(gè)非零向量關(guān)系的探究

圖1

3.3 幾何問題的提出[注]項(xiàng)武義. 基礎(chǔ)幾何學(xué)[M]. 北京，人民教育出版社，2004

我們知道，在平面幾何中，三角形是一個(gè)精簡的基本圖形.用向量來表達(dá)三角形，則它的三個(gè)有向邊就可以分別表達(dá)為a,b和a+b.如圖2-1，由平面幾何中所熟知的SSS，△ABC由其三邊|a|,|b|,|a+b|所唯一確定，a與b的夾角θ也隨之唯一確定.

由勾股定理，若θ=90°，則有|a+b|2=|a|2+|b|2(如圖2-2).

若θ≠90°，則|a+b|2-|a|2-|b|2≠0.例如當(dāng)a=b時(shí)，|a+b|2-|a|2-|b|2=4|a|2-|a|2-|b|2=2|a|2.

3.4 幾何模型的提出

圖2-1

圖2-2

3.5 “投影”的概念

考察以a,b和a+b為有向邊的△ABC，表面上看“|a+b|2-|a|2-|b|2”的值，由|a|,|b|,|a+b|所決定，但考慮到a+b由a,b決定，可以猜測(cè)“|a+b|2-|a|2-|b|2”的決定要素為：a,b，也就是|a|,|b|和θ.

接下去的工作是設(shè)法把f(a,b)用|a|,|b|和θ來表示，這樣的工作事實(shí)上就是要解△ABC，但目前的工具只有勾股定理，所以面對(duì)銳角三角形、鈍角三角形的情形，有必要構(gòu)造出直角三角形的問題來加以處理.為此我們引入“投影”的概念.

就θ為銳角、鈍角、直角作圖如下：

圖3-1

圖3-2

圖3-3

定義1：|b|cosθe叫做向量b在a方向上的投影?修訂中的課標(biāo)把投影明確為是一個(gè)向量，本文把一直沿用的|b|cosθ 另定義為標(biāo)量投影.，其中e為a方向上的單位向量.

定義2：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的標(biāo)量投影.

投影是一個(gè)向量，而標(biāo)量投影是一個(gè)數(shù)量，當(dāng)θ為銳角時(shí)標(biāo)量投影為正值；當(dāng)θ為鈍角時(shí)標(biāo)量投影為負(fù)值；當(dāng)θ為直角時(shí)標(biāo)量投影為0；當(dāng)θ= 0°時(shí)標(biāo)量投影為|b|；當(dāng)θ= 180°時(shí)標(biāo)量投影為-|b|.

3.6 幾何模型的提煉

接下去的工作是解三角形(不再考慮θ為直角的情形)，考慮到AD邊的不同構(gòu)成方式，分以下圖示三種情形：

圖4-1

圖4-2

圖4-3

在三種情形下，都過C作CD⊥AB于D，

在Rt△ADC中，由勾股定理，有|AC|2=|AD|2+|DC|2.

即 |a+b|2=(|a|+|b|cosθ)2+(|b|sinθ)2=|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2(cos2θ+sin2θ)=|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2

所以 |a+b|2-|a|2-|b|2=2|a||b|cosθ.

在Rt△ADC中，由勾股定理，有|AC|2=|AD|2+|DC|2.

即 |a+b|2=(|a|+|b|cosθ)2+(|b|sinθ)2=|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2(cos2θ+sin2θ)=|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2

所以 |a+b|2-|a|2-|b|2=2|a||b|cosθ.

在Rt△ADC中，由勾股定理，有|AC|2=|AD|2+|DC|2.

即 |a+b|2=(-|a|-|b|cosθ)2+(|b|sinθ)2=|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2(cos2θ+sin2θ)=|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2

所以 |a+b|2-|a|2-|b|2=2|a||b|cosθ.

事實(shí)上，以上的解三角形的過程，就是余弦定理的推導(dǎo)過程.f(a,b)與余弦定理有內(nèi)在聯(lián)系，這也就提示我們后續(xù)用向量的方法推導(dǎo)正、余弦定理必然會(huì)是簡潔的.

3.7 平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫a與b的數(shù)量積，記作a·b，即有a·b= |a||b|cosθ，(0≤θ≤π).并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.

在這里只不過是把f(a,b)代換一個(gè)新符號(hào)，平面向量數(shù)量積“a·b”就是f(a,b)，如3.5所述，a·b是兩個(gè)向量a、b上的函數(shù)并返回一個(gè)標(biāo)量的二元運(yùn)算.

3.8 平面向量數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積a·b等于a的長度與b在a方向上標(biāo)量投影|b|cosθ的乘積.

3.9 平面向量數(shù)量積的物理背景

圖5

物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,力F所做的功W.W=|F||s|cosθ.

在這里功W就是今天學(xué)習(xí)的數(shù)量積F·s.

在完成平面向量數(shù)量積的數(shù)學(xué)抽象之后，再來看平面向量數(shù)量積的物理背景，學(xué)生對(duì)“功”的理解必然得到深化，也顯現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量.

3.10 關(guān)于運(yùn)算律

在3.7已經(jīng)指出數(shù)量積是一個(gè)對(duì)稱的二元函數(shù)，而不是向量的運(yùn)算.既然不是運(yùn)算，當(dāng)然也就不存在運(yùn)算律.是函數(shù)應(yīng)該有的是函數(shù)的性質(zhì)，按照北大丘維聲教授的觀點(diǎn)，數(shù)量積具有正定性、對(duì)稱性和雙線性性，即：a·a=|a|2≥ 0，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)“=”號(hào)成立；a·b=b·a；a·(b+c) =a·b+a·c；

a·(kb) =ka·b.應(yīng)該是理所當(dāng)然的.

3 結(jié)語

對(duì)數(shù)學(xué)的理解是一個(gè)長期、艱難、反復(fù)、不可窮盡的過程，但理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提[注]數(shù)學(xué)通報(bào) 2015年第54卷第1期章建躍《理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提》.從數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程角度分析面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，從內(nèi)蘊(yùn)于數(shù)學(xué)知識(shí)中的認(rèn)識(shí)視角、思想與方法等角度全面解析數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，由此生發(fā)教育上的見解并付之于數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐，是一條很好的自我修煉的途徑.在此基礎(chǔ)上，才能更好地“理解學(xué)生”、“理解教學(xué)”，從而更好地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).