王克亮

(江蘇省射陽縣教育局教研室 224300)

近期，我縣舉行了主題為“課堂問題的設(shè)計(jì)與解決”的高中數(shù)學(xué)教研活動(dòng)，筆者開設(shè)了課題為蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修4第1.2.3節(jié)“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(第1課時(shí))”的公開課. 期間，筆者的最大體會(huì)是課堂教學(xué)要凸顯知識(shí)本質(zhì).

1 為什么要凸顯知識(shí)本質(zhì)

通常，提到一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，特別是法則與公式類的知識(shí)，老師們的第一反應(yīng)往往是它們的作用. 正是基于這樣的認(rèn)知，平常所見的教學(xué)設(shè)計(jì)也大多數(shù)是從知識(shí)應(yīng)用的需要入手的. 比如，對(duì)于三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的教學(xué)，老師們往往會(huì)從任意角的三角函數(shù)的求解這一需要入手來進(jìn)行設(shè)計(jì)，通常會(huì)在課的開始直接提出“如何求390°的正弦、余弦、正切？”或者從學(xué)生熟悉的30°，45°，60°這幾個(gè)銳角的三角函數(shù)值，引出“390°，225°，-60°的三角函數(shù)值分別是多少？”這樣的問題，進(jìn)而給出各種類型的誘導(dǎo)公式.

應(yīng)該說，這樣做很適用，學(xué)生會(huì)知道怎么去運(yùn)用這些知識(shí). 但同時(shí)也會(huì)存在一個(gè)常見的缺憾，就是學(xué)生對(duì)這些知識(shí)是只知其然而不知其所以然，更談不上認(rèn)識(shí)的高度. 其表現(xiàn)出來的現(xiàn)象就是學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的記憶經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)偏差，而且是速記速忘. 比如，對(duì)于三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，很多學(xué)生只知道機(jī)械記憶“奇變偶不變，符號(hào)看象限”這個(gè)口訣，至于它怎么來的不太清楚，所以經(jīng)常出現(xiàn)符號(hào)上的錯(cuò)誤，而且一旦忘了，就不知如何去推導(dǎo).

反過來，如果我們從知識(shí)的本質(zhì)入手，在呈現(xiàn)知識(shí)的同時(shí)很自然地進(jìn)行運(yùn)用，則學(xué)生不僅知道了知識(shí)的來朧去脈，也掌握了它的用途，可謂一舉兩得. 而且，在這種背景下，即使學(xué)生出現(xiàn)了記憶上的暫時(shí)斷路，也因?yàn)樾闹杏械讱?，他們能夠很快地把這些知識(shí)自行推導(dǎo)出來. 比如，對(duì)于三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的知識(shí)本質(zhì)，蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材有一句很明確的表述：“誘導(dǎo)公式實(shí)質(zhì)是將終邊對(duì)稱的圖形關(guān)系‘翻譯’成三角函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系.” 教學(xué)中如果能凸顯這一本質(zhì)，學(xué)生在記憶這些公式時(shí)，腦海中自然會(huì)呈現(xiàn)出相應(yīng)的圖形，其相互關(guān)系就會(huì)很直觀地表現(xiàn)出來，既記得扎實(shí)，也能夠很快地再現(xiàn)推導(dǎo)過程，而且對(duì)誘導(dǎo)公式的認(rèn)識(shí)也會(huì)達(dá)到一個(gè)新的高度，可大大提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

所以筆者認(rèn)為，課堂教學(xué)應(yīng)該凸顯知識(shí)本質(zhì).

2 如何才能凸顯知識(shí)本質(zhì)

眾所周知，課堂問題的設(shè)計(jì)與解決是課堂教學(xué)的重中之重.那么，如何進(jìn)行課堂問題的設(shè)計(jì)與解決才能凸顯知識(shí)本質(zhì)呢？對(duì)此，筆者在本次公開課的教學(xué)中獲得了如下幾點(diǎn)啟示.

2.1 問題情境要選準(zhǔn)角度，便于切入知識(shí)本質(zhì)

為了凸顯知識(shí)本質(zhì)，宜弄清知識(shí)的來朧去脈及前后聯(lián)系，尋找合適的切入角度，以便在提出問題之時(shí)，創(chuàng)設(shè)貼合知識(shí)發(fā)生的情境.

在蘇教版教材中，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的發(fā)生背景是兩個(gè)角的終邊具有某些特殊的對(duì)稱關(guān)系，而這可以追溯到圓的對(duì)稱性上，所以教材中運(yùn)用了點(diǎn)在單位圓上的模型. 這一模型不僅貫穿了《三角函數(shù)》整章內(nèi)容，而且還是本節(jié)課所需鋪墊知識(shí)“任意角的三角函數(shù)”與“同角三角函數(shù)關(guān)系”的研究背景. 據(jù)于此，在本次公開課中，筆者選擇了圖1作為本節(jié)課的起點(diǎn)，并創(chuàng)設(shè)了回顧幾個(gè)相關(guān)知識(shí)的情境. 具體設(shè)計(jì)如下：

圖1

師：(出示圖1)請(qǐng)同學(xué)們看這張圖，相信大家都不陌生，從學(xué)習(xí)《三角函數(shù)》這一章開始，它就不停地和我們見面，這里我們不妨一起來回看一下它在教材中已經(jīng)出現(xiàn)的幾個(gè)身影.

回顧1章頭語片斷(如圖2所示)

圖2

意圖：明確“圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”這一模型的重要性.

回顧2任意角的三角函數(shù)片斷(如圖3所示)

圖3

意圖：感受上述模型的重要性，并反過來明確一個(gè)結(jié)論：若角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(cosα，sinα).

回顧3同角三角函數(shù)關(guān)系片斷(如圖4所示)

圖4

意圖：進(jìn)一步感受上述模型的重要性，并回顧同角三角函數(shù)關(guān)系.

師：看來，這張圖的作用真的不小. 所以，今天這節(jié)課我們?cè)俅位氐竭@張圖中，看能否有什么新的發(fā)現(xiàn)？在這張圖中，單位圓格外引人注目，因?yàn)樗浅?yōu)美！ 那么，你認(rèn)為圓它美在哪兒？

意圖：感悟圓既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，而且圓有無數(shù)條對(duì)稱軸.

師：既然圓有這么好的對(duì)稱性，那么下面我們就從圓的對(duì)稱性出發(fā)，看能得到哪些有用的結(jié)論？

意圖：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

2.2 問題設(shè)計(jì)要自然遞進(jìn)，始終緊扣知識(shí)本質(zhì)

問題是思維的載體，問題決定了思維的方向. 為了凸顯相關(guān)的知識(shí)本質(zhì)，課堂問題的設(shè)計(jì)應(yīng)始終圍繞知識(shí)本質(zhì)，層層遞進(jìn)，將學(xué)生的思維逐步引向深入.

剛才提到，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是圖形的對(duì)稱性，而這最終可歸結(jié)為圓的對(duì)稱性. 在本次公開課中，筆者就是基于這樣的認(rèn)識(shí)來設(shè)計(jì)課堂問題的. 首先將圓的對(duì)稱性化歸為圓上兩點(diǎn)的對(duì)稱性，并拎出圓上兩點(diǎn)重合這一特殊的對(duì)稱情形作為問題1的背景；然后啟發(fā)學(xué)生自己提出問題，并以圓上兩點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)這三種對(duì)稱情形作為問題2的背景，并將問題2細(xì)分為兩個(gè)子問題，以降低其探究難度. 具體設(shè)計(jì)如下：

圖5

師：如圖5所示，圓O關(guān)于它的一條直徑AB對(duì)稱，其本質(zhì)是這樣的：在圓O上任一點(diǎn)P，則點(diǎn)P關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)P′也一定在圓O上. 所以圖形的對(duì)稱性可歸結(jié)為點(diǎn)與點(diǎn)之間的對(duì)稱性.

追問如果點(diǎn)P恰好在點(diǎn)A處，那么它的對(duì)稱點(diǎn)P′在哪兒呢？

意圖：讓學(xué)生感悟到圓上兩點(diǎn)重合在任意位置上，它們都關(guān)于一條直徑對(duì)稱，為下面的問題1作鋪墊.

師：下面回到三角函數(shù)這個(gè)主題.現(xiàn)在給點(diǎn)P與點(diǎn)P′賦上角的位置，如圖6所示，設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)P′分別是角α、β的終邊與單位圓的交點(diǎn)，那么它們的坐標(biāo)分別為P(cosα，sinα)，P′(cosβ，sinβ).

圖6

圖7

問題1若點(diǎn)P′與點(diǎn)P恰好重合(如圖7所示)，你能得到什么結(jié)論？

意圖：生成誘導(dǎo)公式一(問題解決過程見后).

師：課上到這兒，在前面研究的基礎(chǔ)上，你打算提出什么樣的問題？

(見學(xué)生沒有反應(yīng)，老師作了如下引導(dǎo))

師：我們不妨把前面的研究思路再理一理：我們是從圓的對(duì)稱性出發(fā)來研究問題的，而圓的對(duì)稱性可歸結(jié)為圓上兩點(diǎn)間的對(duì)稱性，剛才的問題1研究了圓上兩點(diǎn)重合這一特殊的對(duì)稱情形. 那么這個(gè)時(shí)候，你打算提出什么樣的問題呢？

意圖：讓學(xué)生提到研究其它的對(duì)稱情形，順勢(shì)給出問題2.

問題2如圖6所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，你還想到了點(diǎn)P′與點(diǎn)P之間的哪幾種特殊的對(duì)稱關(guān)系？在這些對(duì)稱的條件下，又能得到哪些結(jié)論呢？(兩個(gè)問題逐一示出)

意圖：引出關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱這幾種情形.

師：這個(gè)問題比較復(fù)雜，我們先看其中的一種情況.

問題2.1若點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，能得到什么樣的結(jié)論？

意圖：生成公式三(問題解決過程見后).

問題2.2若點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，或關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又能得到什么樣的結(jié)論？

意圖：生成公式二與公式四(問題解決過程見后).

2.3 問題解決要循序漸進(jìn)，充分揭示知識(shí)本質(zhì)

有了好的課堂問題還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，問題價(jià)值的體現(xiàn)還要看問題解決的過程能否將其價(jià)值充分發(fā)揮出來，所以問題的解決也是課堂教學(xué)的重要一環(huán). 在問題解決的過程中我們要不斷追問，充分暴露思維過程，并將知識(shí)的本質(zhì)盡可能用醒目的形式展示出來. 在本次公開課的問題解決中，筆者設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)步驟，具體如下：

(1)初次探究 側(cè)重追問

給出問題1(見前，此略. 讓學(xué)生自行探究2—3分鐘后，請(qǐng)學(xué)生回答.)

這里，對(duì)于“點(diǎn)P′與點(diǎn)P坐標(biāo)相同，角β與α的終邊相同，2kπ+α(k∈Z)與α的正、余弦值相等，2kπ+α(k∈Z)與α的正切值相等”這四點(diǎn)，通常要經(jīng)過3次“追問：你還能得到什么結(jié)論”才能解決完備.

(2)及時(shí)提煉 形成思想

在解決問題1的同時(shí)，筆者作如下同步板書：

師：你能用一句話來概括一下這三個(gè)關(guān)系式嗎？

意圖：揭示公式一的實(shí)質(zhì)“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等”.

師：這些關(guān)系式用嗎？請(qǐng)舉例說明.

意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)其用途(舉例略).

師：所以，這組公式具有一種功能，它可以把一個(gè)角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為另一個(gè)角的三角函數(shù)值，進(jìn)而能化難為易，化繁為簡，化生為熟，所以我們稱之為“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”.(板書課題)通常，我們把這組公式稱為公式一(在公式后板書“公式一”三個(gè)字).

師：現(xiàn)在回頭反思一下，我們是怎樣得到公式一的？

(在學(xué)生回答的同時(shí)，筆者在上述板書的上面再用彩筆對(duì)應(yīng)板書)

(3)再度體驗(yàn) 強(qiáng)化思想

給出問題2.1(見前，此略).

(師生共同完成，繼續(xù)板書)

師：公式三又有什么用途？請(qǐng)舉例說明.

意圖：明確公式三常用的應(yīng)用方向(舉例略).

(4)獨(dú)立體驗(yàn) 運(yùn)用思想

給出問題2.2(見前，此略).

(讓學(xué)生自己探究，并由學(xué)生上黑板完成后續(xù)板書，具體如下)

師：公式二與公式四又有什么用途？

意圖：明確公式二與公式四常用的應(yīng)用方向.

2.4 問題解后要反思貫通，深度挖掘知識(shí)本質(zhì)

在問題解決的過程中，學(xué)生已初步體會(huì)了知識(shí)本質(zhì)，但認(rèn)識(shí)尚不清晰，還不能理解到位. 所以問題解決之后，特別是在課堂回顧階段，還要和學(xué)生一起進(jìn)一步挖掘知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵. 本節(jié)公開課中，在課的結(jié)尾，筆者引導(dǎo)學(xué)生從誘導(dǎo)公式的內(nèi)涵理解、相互聯(lián)系、后繼學(xué)習(xí)等幾個(gè)方面進(jìn)行了反思貫通. 具體設(shè)計(jì)如下：

師：今天我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，通過學(xué)習(xí)，我們知道了誘導(dǎo)公式是由多組公式構(gòu)成的.

提升1請(qǐng)結(jié)合誘導(dǎo)公式的作用及其形成過程，談?wù)勀闶窃鯓永斫庹T導(dǎo)公式的?

意圖：再度明確誘導(dǎo)公式的作用及其形成過程.

師：事實(shí)上，反過來誘導(dǎo)公式反映的也正是圓的對(duì)稱性. 比如，若點(diǎn)P(cosα，sinα)是單位圓上任一點(diǎn)，則它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為P′(cosα，-sinα)，而由公式二知，點(diǎn)P′的坐標(biāo)還可以寫成P′(cos(-α)，sin(-α))，所以點(diǎn)P′就是角-α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，即點(diǎn)P′也在單位圓上，從而由點(diǎn)P的任意性知單位圓是關(guān)于x軸對(duì)稱的，即公式二與單位圓關(guān)于x軸對(duì)稱相對(duì)應(yīng)；同理，公式三與公式四也與單位圓的其它對(duì)稱性相對(duì)應(yīng). 所以圓的對(duì)稱性與誘導(dǎo)公式是等價(jià)的，只不過一個(gè)是形的表現(xiàn)形式，而另一個(gè)是數(shù)的表現(xiàn)形式(如圖8所示).從而，誘導(dǎo)公式的實(shí)質(zhì)是將圖形的對(duì)稱關(guān)系“翻譯”成了三角函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系.

圖8

師：大家有沒有從中獲得啟發(fā)，這么多的誘導(dǎo)公式該如何記憶呢？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生按“兩角關(guān)系，對(duì)稱關(guān)系，坐標(biāo)關(guān)系，誘導(dǎo)公式”的順序來記憶.

提升2公式二、三、四之間有聯(lián)系嗎？

師：因?yàn)楣蕉?、三、四與圓的三種對(duì)稱性是等價(jià)的，所以我們不妨先從形的角度來找一下靈感.

形的結(jié)論單位圓關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)這三種對(duì)稱關(guān)系，其中任意兩種進(jìn)行組合可以推出第三種.

師：類比到數(shù)上，你能得到什么樣的結(jié)論?

意圖：得到如下結(jié)論：

數(shù)的結(jié)論將公式二、三、四中的任意兩組進(jìn)行組合，能推導(dǎo)另一組公式.

師：類比得到的結(jié)論不一定正確，但我告訴大家該結(jié)論是正確的，這里我們隨便選擇一種來驗(yàn)證一下(驗(yàn)證略).

師：課上到這兒，你又打算提出什么樣新的問題呢？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生提出其它的對(duì)稱情形，順勢(shì)給出如下問題.

新的問題如果點(diǎn)P′與點(diǎn)P滿足其它的特殊對(duì)稱關(guān)系，比如，關(guān)于第一、三象限平分線或第二、四象限平分線對(duì)稱，我們還能得到相應(yīng)的誘導(dǎo)公式嗎？

意圖：承上啟下，引出下節(jié)課將要研究的問題. 同時(shí)激勵(lì)有興趣的學(xué)生課后先行探究.

總之，筆者認(rèn)為，凸顯知識(shí)本質(zhì)，并沒有弱化知識(shí)的應(yīng)用；相反，是強(qiáng)化了知識(shí)的應(yīng)用. 因?yàn)橹挥姓嬲睦斫馀c掌握，才能將知識(shí)用得更主動(dòng)、更靈活、更到位.