伍春蘭 張 勃

(北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100120) (北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)第二中學(xué) 102488)

在多次教師培訓(xùn)中，筆者曾就概念教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)教師調(diào)查．100%的教師堅(jiān)稱(chēng)非常重視概念教學(xué)，而對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)出現(xiàn)的最大問(wèn)題，也常歸因于他們概念不清，或沒(méi)有掌握概念．矛盾現(xiàn)象表明：辛苦認(rèn)真地?cái)?shù)學(xué)概念教學(xué)的效益不高．

盡管人們從哲學(xué)、心理學(xué)和生理學(xué)等角度，闡釋的“思維”定義并不一致，但通俗而言，思維就是動(dòng)腦筋進(jìn)行思考．我們平常所說(shuō)的“想”、“思考”、“考慮”等就是思維活動(dòng)．[1]

筆者主張的學(xué)生思維參與的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，就是學(xué)生將思維貫穿到概念學(xué)習(xí)過(guò)程的始終，逐步養(yǎng)成其思維參與學(xué)習(xí)的自覺(jué)意識(shí)，從而不斷提升其思維品質(zhì)．參與數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的思維方法包括觀察、比較、分類(lèi)、分析、綜合、抽象、概括、類(lèi)比、歸納、聯(lián)想、猜想、—般化、特殊化等．

下面以“圓心角”和“圓周角”引入的個(gè)案，探求數(shù)學(xué)概念教學(xué)中學(xué)生思維參與的可行路徑．

1 學(xué)習(xí)內(nèi)容簡(jiǎn)析

追求數(shù)學(xué)概念教學(xué)學(xué)生思維參與，首先需要對(duì)教學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)地思考．

“圓中有關(guān)的角”包括圓心角、圓周角、圓內(nèi)角、圓外角和弦切角等，這些概念既可以算作約定式定義，也可以視為關(guān)系定義．從關(guān)系考慮，它們可看成圓和角兩種幾何基本圖形組合形成的具有研究?jī)r(jià)值的特殊角．因此，在理解圓中有關(guān)角的概念時(shí)，依據(jù)角的元素(頂點(diǎn)、兩條邊)，可從角的頂點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和角的兩邊與圓的位置關(guān)系兩方面考察．同時(shí)還要關(guān)注到概念引入的必要性：值得研究且可以研究．盡管圓內(nèi)角、圓外角和弦切角不是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的“規(guī)定動(dòng)作”，但是其內(nèi)容在教師的引導(dǎo)下學(xué)生可輕松了解，所以教科書(shū)有相應(yīng)的習(xí)題讓學(xué)生研習(xí)，這樣不僅有利于他們?cè)谡w建構(gòu)“圓中有關(guān)的角”的知識(shí)體系中理解圓心角和圓周角，而且在此建構(gòu)過(guò)程中經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思考．

圓是初中學(xué)習(xí)的最后一個(gè)基本平面圖形，一般教材安排在九年級(jí)學(xué)習(xí)，因此圓心角和圓周角內(nèi)容教學(xué)中橫向和縱向地系統(tǒng)思考是合理的，也是必要的．

2 圓心角第一課時(shí)設(shè)計(jì)分析

2．1 設(shè)計(jì)

教師U、V和W教齡分別是4年、11年和19年，他們都是普通學(xué)校的初中數(shù)學(xué)教師．

教師U結(jié)合示意圖(見(jiàn)圖1)，給出圓心角的定義；然后拖動(dòng)角的頂點(diǎn)(在圓內(nèi)、圓上和圓外)演示，學(xué)生辨識(shí)圓心角．

教師V讓學(xué)生看教材圓心角概念，然后學(xué)生畫(huà)圖舉例說(shuō)明什么是圓心角，教師再補(bǔ)充出示辨析題(正例及反例)．

教師W讓學(xué)生邊觀看課件邊思考，初始狀態(tài)如圖2，正方形ABCD的中心與圓心O重合，點(diǎn)A、B、C、D在圓上，思考：

(1)正方形ABCD繞圓心O旋轉(zhuǎn)90°，你發(fā)現(xiàn)了什么？⊙O繞圓心O旋轉(zhuǎn)90°呢？

(2)正方形ABCD繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意角度α(α不是90°、180°、270°、360°)，你又發(fā)現(xiàn)了什么？當(dāng)⊙O繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意角度α呢？

(3)如圖3，請(qǐng)標(biāo)出正方形ABCD繞圓心O旋轉(zhuǎn)的角α，并嘗試給這類(lèi)角起個(gè)名字并用文字語(yǔ)言描述這類(lèi)角．

圖1

圖2

圖3

圖4

在上述3個(gè)問(wèn)題基礎(chǔ)上，學(xué)生了解了圓的旋轉(zhuǎn)不變性，標(biāo)出旋轉(zhuǎn)角(如圖4)，了解了圓心角概念．

2．2 訪(fǎng)談

筆者詢(xún)問(wèn)教師U和教師V：概念引入的方法，您一般都是采用這種模式嗎？?jī)晌焕蠋煼Q(chēng)“基本上”．

接著筆者與三位教師交流了如下四個(gè)問(wèn)題：

(1)您認(rèn)為不先告知學(xué)生圓心角的定義，學(xué)生能猜出圓心角的內(nèi)涵，并用圖形語(yǔ)言表示嗎？

(2)反過(guò)來(lái)，如果只給若干圓心角的圖形，學(xué)生能用文字語(yǔ)言概括并恰當(dāng)命名嗎？

(3)上述兩種引入方法，會(huì)很費(fèi)時(shí)間嗎？

(4)教師提供的辨析練習(xí)改換為學(xué)生編題活動(dòng)，學(xué)習(xí)效果會(huì)更好嗎？

對(duì)于前三個(gè)問(wèn)題，三位教師都明確表示大部分學(xué)生可以做到，兩種引入方法不會(huì)太費(fèi)時(shí)間．對(duì)于問(wèn)題(4)三位教師認(rèn)為學(xué)生編題活動(dòng)可以提高學(xué)生的參與，教師V和教師W都表示以后可以嘗試一下，而教師U擔(dān)憂(yōu)自己的學(xué)生太差，大部分學(xué)生會(huì)有問(wèn)題．

筆者又向教師W探尋：您怎么想到用“圓的旋轉(zhuǎn)不變性”引入圓心角．教師W說(shuō)：我用的人教版教材在引入圓心角概念前，有個(gè)探究“圓的旋轉(zhuǎn)不變性”活動(dòng)，但是教材設(shè)計(jì)的那個(gè)活動(dòng)，只是讓圓繞圓心旋轉(zhuǎn)，沒(méi)有一個(gè)參照物，感覺(jué)做不做這個(gè)活動(dòng)對(duì)學(xué)生理解“圓的旋轉(zhuǎn)不變性”沒(méi)什么區(qū)別．于是我想嵌入一個(gè)圓內(nèi)接正四邊形(圓內(nèi)接多邊形概念教材是在圓周角概念后才介紹的，但這不影響什么，我先不出此概念就行了嘛)幫助學(xué)生理解，也順便引入了圓心角概念．

2．3 評(píng)析

對(duì)于圓心角概念，教師V讓學(xué)生看教科書(shū)，可是給學(xué)生的時(shí)間不足以讓學(xué)生思考，而多數(shù)學(xué)生也不知怎樣思考，所以只是掃視一下點(diǎn)到為止，這與教師U直接告知的教法沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，然后兩位教師通過(guò)正反例辨識(shí)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)概念，達(dá)到了快速了解圓心角的目的．

其實(shí)稍微改變以下兩點(diǎn)，學(xué)生思維參與的機(jī)會(huì)就能增加．第一，揭示圓心角內(nèi)涵前，先讓學(xué)生從文字語(yǔ)言及圖形語(yǔ)言合情猜想什么是圓心角，或給出若干圖形讓學(xué)生為其命名并用文字語(yǔ)言概括(下定義)．第二，將教師提供的辨析題改換為學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)畫(huà)出不是圓心角且與圓相關(guān)的角，并分類(lèi)．此活動(dòng)是學(xué)生能完成又具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，因此他們樂(lè)于參與，不僅思維得到鍛煉，而且對(duì)“圓中有關(guān)的角”也有了整體認(rèn)識(shí)．通過(guò)訪(fǎng)談，教師基本認(rèn)可上述觀點(diǎn)．但是由于教學(xué)習(xí)慣，以及自己學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)差和學(xué)生學(xué)習(xí)能力低的現(xiàn)實(shí)，教師會(huì)以低認(rèn)知的活動(dòng)教學(xué)，降低思維難度．筆者曾在若干生源較弱的學(xué)校，以上述方式借班進(jìn)行概念教學(xué)，他們感受到思考的魅力，學(xué)生云：“這節(jié)課讓我感受到了數(shù)學(xué)的開(kāi)心快樂(lè)和其中的奧妙”．這從另一個(gè)方面佐證了以學(xué)生學(xué)習(xí)水平低而忽視學(xué)生在學(xué)習(xí)中的思考的教法是誤區(qū)．

教師W借助圓內(nèi)接正四邊形，使學(xué)生不僅容易理解圓的旋轉(zhuǎn)不變性，也充分暴露了旋轉(zhuǎn)角——繞圓心旋轉(zhuǎn)的角，這樣圓心角引入的必要性得以展現(xiàn)．圓心角引入的必要性除了可從圓的旋轉(zhuǎn)不變性入手，也可以從圓弧的角度(或弧度)考量．圓弧是一條曲線(xiàn)，當(dāng)兩條圓弧長(zhǎng)度相等，這兩條圓弧不一定能重合，這意味著兩條圓弧未必相等．因此圓弧的特征量除了長(zhǎng)度以外，還需要其它量．角度制規(guī)定周角的1/360是1度，因此把圓周等分成360份，每一份這樣的圓弧規(guī)定為1°(度)的弧是合理的，即圓弧的另一個(gè)特征量用其度數(shù)刻畫(huà)就順理成章了，而且弧的度數(shù)等于圓心角的度數(shù)．其實(shí)用角的另一種度量單位——弧度制的弧度數(shù)來(lái)說(shuō)明就更好理解了，只是弧度制不是初中的學(xué)習(xí)內(nèi)容．這樣用圓心角的大小來(lái)刻畫(huà)圓弧，說(shuō)明引入圓心角的必要性，以及圓弧在研究圓中有關(guān)角的關(guān)系時(shí)所起的橋梁作用(圓弧把圓心角、圓周角、圓內(nèi)角、圓外角和弦切角聯(lián)系起來(lái))，還是值得讓學(xué)生思考的．

3 圓周角第一課時(shí)設(shè)計(jì)分析

3．1 設(shè)計(jì)

教師甲、乙和丙教齡分別是5年、7年和20年，他們都是普通學(xué)校的初中數(shù)學(xué)教師．

教師甲首先創(chuàng)設(shè)情境：射門(mén)游戲中，大門(mén)在AB，分別在⊙O上的C、D、E處射門(mén)(見(jiàn)圖5)時(shí)，形成3個(gè)張角∠ACB，∠ADB，∠AEB，這3個(gè)張角大小有什么關(guān)系？接著指出這3個(gè)張角叫做圓周角．然后讓學(xué)生給圓周角下定義，學(xué)生回答頂點(diǎn)在圓上的角叫圓周角．教師甲出示圖6和圖7，讓學(xué)生進(jìn)一步完善圓周角概念，并讓學(xué)生思考圓心角概念為什么不附加“兩邊和圓相交”這一條件？

教師乙在復(fù)習(xí)圓心角的基礎(chǔ)上，指出今天學(xué)習(xí)另一種與圓相關(guān)的角——圓周角，然后讓學(xué)生看教材圓周角概念，并完成導(dǎo)學(xué)案的2個(gè)問(wèn)題：(1)頂點(diǎn)在，并且和圓的角叫圓周角；(2)與圓心角定義比較，圓周角概念不附加后面的條件行不行？

教師丙先給出一組圖(見(jiàn)圖6—圖12)，讓學(xué)生猜想7個(gè)∠ACB共性是什么？學(xué)生回答共性是頂點(diǎn)在圓上．教師丙追問(wèn)：圖8—圖12中5個(gè)∠ACB共性還有什么？學(xué)生有些疑惑，教師丙提示觀察角的兩邊，學(xué)生馬上回答角兩邊和圓相交．教師又進(jìn)一步提問(wèn)：能給這類(lèi)角起個(gè)名字嗎？學(xué)生起名為圓周角，也有個(gè)別學(xué)生起名為圓上角．教師丙肯定了學(xué)生的命名，讓學(xué)生給圓周角下定義，同時(shí)與圓心角概念比較．最后讓學(xué)生將圓周角分類(lèi)，并說(shuō)明分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)．

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

3．2 訪(fǎng)談

筆者：您(教師甲)創(chuàng)設(shè)射門(mén)游戲引入圓周角的意圖是什么？

教師甲：新課程倡導(dǎo)從實(shí)際出發(fā)，這個(gè)情景我是參考×版的教材改編的，就是想讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中處處有數(shù)學(xué)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣．

筆者：您(教師乙)的導(dǎo)學(xué)案有關(guān)概念教學(xué)基本都是這樣設(shè)計(jì)？

教師乙：對(duì)，通過(guò)挖掉概念的關(guān)鍵字、詞，教會(huì)學(xué)生抓住概念的重點(diǎn)．

筆者：您(教師丙)認(rèn)為不給出學(xué)生圓周角圖形，讓他們自己通過(guò)畫(huà)圖將圓周角分類(lèi)，并尋找分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，是否可行．

教師丙：可行，就是開(kāi)始會(huì)很亂，時(shí)間也許會(huì)多些．

3．3 評(píng)析

教師甲、乙和丙的教法省時(shí)，學(xué)生學(xué)得明白，但學(xué)生的思維參與不夠．相比較3位教師的設(shè)計(jì)，教師丙的教法，學(xué)生思維參與的多些，但還是有些代替．

圓周角概念是繼圓心角概念之后學(xué)習(xí)的，兩個(gè)概念某種意義而言是并列的，所以研究圓周角概念，讓學(xué)生獨(dú)立探究：什么是圓周角？哪些不是圓周角？圓周角如何劃分？圓周角與圓心角的區(qū)別與聯(lián)系？

圓周角的內(nèi)涵有兩條，一個(gè)是頂點(diǎn)與圓的關(guān)系，一個(gè)是角的兩邊與圓的關(guān)系．頂點(diǎn)在圓上學(xué)生基本都能自然想到，而角兩邊與圓相交不經(jīng)提示會(huì)忽略．如果在學(xué)習(xí)圓心角時(shí)讓學(xué)生思考過(guò)角兩邊與圓的關(guān)系(雖然圓心角概念不必提及角兩邊)，這樣學(xué)生不僅經(jīng)歷思考問(wèn)題的全過(guò)程，也促使學(xué)生學(xué)習(xí)圓周角時(shí)，能主動(dòng)思考角兩邊與圓的關(guān)系．

教師甲創(chuàng)設(shè)射門(mén)游戲是編造的，還需要新的概念“張角”，而且課堂觀察發(fā)現(xiàn)此情景也沒(méi)有引發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的熱情，因此這樣引出圓周角概念并不是最佳的．事實(shí)上，弧面黑板、弧面屏幕、大會(huì)議室弧形擺放的桌椅等，都是與“圓中有關(guān)的角”相關(guān)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題．好的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題引入，應(yīng)該是真實(shí)的，適切學(xué)生并能引發(fā)其積極思考的，如果達(dá)不到這一目標(biāo)舍棄反而更好．

教師丙讓學(xué)生劃分圓周角，為后面學(xué)習(xí)圓心角與圓周角關(guān)系定理證明時(shí)，突破分類(lèi)討論的難點(diǎn)做了鋪墊，也加深了對(duì)圓周角的認(rèn)識(shí)．但教師丙先提供了各類(lèi)圓周角示意圖，降低了思維難度，而這個(gè)難度學(xué)生是能夠挑戰(zhàn)的．如果嘗試讓學(xué)生自己畫(huà)圖將圓周角分類(lèi)，為學(xué)生提供多角度思維空間：以角的大小(銳角、直角、鈍角)、圓心與角的兩邊關(guān)系(圓心在兩邊內(nèi)、圓心在邊上、圓心在兩邊外)、角所對(duì)的弧(優(yōu)弧、劣弧、半圓)等劃分圓周角．

4 概念教學(xué)建議

上述6位教師的概念課片段，是從筆者不同培訓(xùn)項(xiàng)目或活動(dòng)中遴選的．在概念教學(xué)第一課時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)下列現(xiàn)象司空見(jiàn)慣：教師先展示一個(gè)似與概念相關(guān)的情景(有時(shí)此環(huán)節(jié)省略)，再照本宣科地拋出概念，或?qū)W生看教科書(shū)中概念的表述，然后教師提出該概念的注意事項(xiàng)，最后是理解概念的相關(guān)練習(xí)，比如通過(guò)關(guān)鍵字、詞設(shè)計(jì)的填空題，正例反例判斷題，簡(jiǎn)單的應(yīng)用等．這種被教師牽引的僅圍繞概念“是什么”展開(kāi)的教學(xué)，學(xué)生的思維參與及情感投入都是低水平的，很難和概念形成親密關(guān)系，對(duì)概念的理解是膚淺的在所難免．因此，提高學(xué)生的思維參與，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)急需解決的問(wèn)題．

4．1 并聯(lián)設(shè)計(jì)章節(jié)內(nèi)的概念，為學(xué)生提供更多的思維活動(dòng)

章節(jié)內(nèi)如果涉及幾個(gè)概念，教材編排順序是第一個(gè)概念及相關(guān)命題(性質(zhì)、判斷等)，接著是第二個(gè)概念及相關(guān)命題……，這樣的線(xiàn)性結(jié)構(gòu)，邏輯清楚流暢，難度?。?dāng)概念間關(guān)系密切，可打破這種串聯(lián)方式，為學(xué)生提供高認(rèn)知的思維活動(dòng)．比如從角與圓位置關(guān)系，將圓心角、圓周角，甚至圓內(nèi)角和圓外角并聯(lián)引入，再研究它們的若干性質(zhì)．這樣學(xué)生更多地經(jīng)歷觀察、比較、分析、歸納、概括、抽象等思維活動(dòng)，而且從結(jié)構(gòu)上將學(xué)習(xí)內(nèi)容聯(lián)在一起，有利于知識(shí)的掌握．

4．2 拉長(zhǎng)概念引入和建立的思維鏈條，讓學(xué)生的思維參與更深入

數(shù)學(xué)概念教學(xué)通常分為引入、建立、鞏固和運(yùn)用等四個(gè)階段，觀察發(fā)現(xiàn)很多教師概念的引入和建立匆匆忙忙，而概念的鞏固和運(yùn)用扎扎實(shí)實(shí)，這是一個(gè)誤區(qū)．概念的快速和盤(pán)托出，失去了引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的契機(jī)，也失去了沿著數(shù)學(xué)家形成概念的路徑再創(chuàng)造的時(shí)機(jī)．

拉長(zhǎng)概念引入和建立的思維鏈條，可通過(guò)下列途徑實(shí)現(xiàn)：了解概念的來(lái)龍去脈；從實(shí)際或其他學(xué)科及數(shù)學(xué)角度，探究概念建立的必要性和合理性；嘗試給概念命名、下定義，特別是約定式定義，及關(guān)系定義；對(duì)定義的進(jìn)一步反思等．

4．3 尋找新概念可利用的前概念，給學(xué)生的思維參與以方向

對(duì)于上下位概念、并列概念、類(lèi)比概念等，當(dāng)其中之一已學(xué)習(xí)過(guò)，再學(xué)習(xí)相應(yīng)的概念就應(yīng)該給學(xué)生更多地自主空間．當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí)，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想相應(yīng)前概念研習(xí)的方法和結(jié)論．

4．4 指導(dǎo)研究概念的方法，使學(xué)生思維參與成為自覺(jué)

學(xué)習(xí)了新的概念，學(xué)生往往自覺(jué)沒(méi)有問(wèn)題，教師卻提出了一系列注意問(wèn)題．這說(shuō)明學(xué)生還缺少獨(dú)立研究概念的能力，所以教學(xué)初期要暴露教師是怎樣發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的，滲透研究概念的方法，

以后再逐漸放手，養(yǎng)成學(xué)生思維參與的自覺(jué)意識(shí)．

數(shù)學(xué)概念既是我們思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的邏輯起點(diǎn)，其本身也是飽含思維含量的學(xué)習(xí)資源．因此在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，提高學(xué)生的思維參與，既是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的剛性需求，也是以學(xué)生發(fā)展為本教育觀的專(zhuān)業(yè)體現(xiàn)．