王玉宏

(江蘇省揚州市教育科學研究院 225000 )

1 問題的提出

當前時代，人類的知識總量呈幾何級數(shù)增長，人工智能技術飛速發(fā)展，如果課堂教學僅僅關注知識的積累和技能的訓練，那么人類在知識記憶貯量和技能熟練程度上，現(xiàn)在連一部智能手機都比不上．因此，學生學習的最大任務是學會思維、學會創(chuàng)新．當前，作為思維科學的數(shù)學學科，課堂教學夯實基礎有余，重視創(chuàng)新不足．為此，課程標準(2011年版)將創(chuàng)新意識作為核心概念之一，并將傳統(tǒng)“雙基”擴充為“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，將傳統(tǒng)“兩能”擴充為“四能”，即分析和解決問題的能力、發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力．隨著課程改革的深入實施，數(shù)學學科應該而且可以在培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力上作出本學科應有的貢獻．

2 關于創(chuàng)新思維的教學課例

筆者曾參與蘇科版義務教育數(shù)學教材八年級下冊第九章第五節(jié)“三角形中位線”一課的磨課活動，本節(jié)課著力培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力，現(xiàn)將教學流程簡述如下．

2.1 板塊一：認識三角形的中位線

問題1三角形中除了組成三角形的三條邊，我們還學過哪些與之相關的重要線段？它們有哪些特殊性質(zhì)？

逐步投影出示相關圖形，師生共同結合圖形回憶三角形的三條重要相關線段：三角形的角平分線、中線、高及其性質(zhì)．

問題2除了三角形的角平分線、中線和高，你認為還有哪些與三角形相關的重要特殊線段？嘗試畫一畫．

學生先獨立嘗試，再小組交流，最后大班展示，學生展示的成果有三角形面積三等分線、連接三角形兩高垂足的線段、連接三角形兩邊中點的線段等，教師揭示課題及中位線的概念：今天我們就來研究連接三角形兩邊中點的線段——三角形的中位線，這是大家新發(fā)現(xiàn)的一條與三角形相關的重要特殊線段．

【設計意圖】這里沒有以教材中“三角形剪拼平行四邊形”來引入課題，而是以學生已經(jīng)學過的與三角形相關的重要線段為知識生長點，讓學生學會自己提出新的研究對象，解決教材引入“不是做不到，而是想不到”的問題．

問題3(投影出示△ABC)三角形的中位線有幾條？請把它們?nèi)慨嫵鰜恚切蔚闹形痪€與三角形的中線有何異同？

【設計意圖】這里通過變式與反例促進概念的深化理解．學生嘗試畫出三角形的所有中位線，既在動手操作中鞏固應用了概念，又自己發(fā)現(xiàn)三角形中位線的各種變式圖形．比較三角形的中位線與中線的異同，通過反例(中線)深化對概念內(nèi)涵的理解．

2.2 板塊二：研究三角形的中位線

問題4研究一個幾何對象，我們一般按照什么思路去研究？我們已經(jīng)獲得了一個新的幾何對象——三角形的中位線，對它我們下面將要研究什么？

教師舉例并引導學生回憶過去研究幾何對象的一般思路，展望三角形中位線后續(xù)研究的路徑，聚焦三角形中位線的性質(zhì)．

【設計意圖】這里向?qū)W生滲透研究一個幾何對象的一般路徑：概念—性質(zhì)—應用，讓學生學會自己規(guī)劃研究路徑、自己發(fā)現(xiàn)和提出研究問題．

問題5研究三角形中位線的性質(zhì)，我們可以先從一些特殊的三角形入手，請嘗試畫一些特殊三角形及其中位線，你有什么發(fā)現(xiàn)？再研究一般情況，嘗試畫一個一般三角形及其中位線，你的發(fā)現(xiàn)在一般三角形中成立嗎？

學生先小組合作，從特殊(如圖1所示的等邊三角形△ABC和等腰直角三角形△ABC)到一般研究三角形中位線的性質(zhì)，再大班交流展示，引導學生猜想得到結論：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．

圖1

問題6猜想經(jīng)過嚴格證明才能成為定理，如何證明我們的猜想？

圖2

【設計意圖】問題5、問題6讓學生經(jīng)歷了一個幾何性質(zhì)探究的全過程：先歸納推理，從特殊到一般發(fā)現(xiàn)結論，再演繹推理，運用轉化思想證明結論，從而向?qū)W生滲透科學探究的一般方法．學習三角形中位線定理的作用，除了定理所具備的計算或證明其它問題的工具性，還有定理本身證明過程附載轉化數(shù)學思想和截長補短數(shù)學方法的載體性，兩者不能偏廢．

2.3 板塊三：應用三角形的中位線

問題7(投影圖形略)如圖，A、B兩棵樹被池塘阻隔，如何運用三角形中位線定理測量A、B兩棵樹間的距離？

追問：如果中位線的兩端也被阻隔、不能直接測量，如何測量AB長？

學生先獨立思考，再交流匯報．

【設計意圖】問題7是三角形中位線定理在實際生活中的應用，體現(xiàn)數(shù)學與生活的聯(lián)系，需要學生會將實際問題抽象成數(shù)學問題，并運用轉化思想將測量AB長轉化為測量其對應的中位線長．通過追問可以檢測學生是否掌握解決這類問題的實質(zhì)．

問題8如圖3，請分別畫出四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點E、F、G、H，并順次連接E、F、G、H四點．試判斷中點四邊形EFGH的形狀．

圖3

追問1：四邊形ABCD是一般四邊形，其中點四邊形EFGH是平行四邊形，由此你能聯(lián)想到什么，或能提出哪些問題？

追問2：特殊四邊形ABCD的中點四邊形EFGH僅是平行四邊形嗎？為什么？

追問3：中點四邊形EFGH要是菱形，原四邊形ABCD必須是矩形嗎？

追問4：中點四邊形EFGH要是矩形，原四邊形ABCD需滿足什么條件？

問題及追問逐步投影出示，每個問題都讓學生先獨立思考，再交流匯報，最后教師小結：一個常用輔助線——遇中點構造三角形中位線，一個規(guī)律——中點四邊形的形狀決定于原四邊形對角線之間的關系．

【設計意圖】問題8是三角形中位線定理在數(shù)學內(nèi)部的應用，讓學生嘗試先猜想再證明的探究歷程．追問1、追問2遵循“一般性寓于特殊性之中”的哲學原理，引導學生由一般四邊形發(fā)散、拓展到特殊四邊形，由一個命題得到一組命題，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，發(fā)展學生的問題意識．追問3、追問4通過追問揭示決定中點四邊形形狀的本質(zhì)因素，有利于學生養(yǎng)成追根求源、深入思考的良好習慣，培養(yǎng)學生思維的深刻性．

2.4 板塊四：小結與反思

問題9今天我們研究了什么？我們是如何研究的，你有何體會和感悟？

學生交流匯報，教師適時通過追問予以強調(diào)和明晰．

【設計意圖】通過問題9引導學生小結本課所學的基礎知識和基本的思想方法，更重視對研究歷程、研究方法的反思感悟，提升學生的元認知水平．

3 關于創(chuàng)新思維的教學思考

在數(shù)學教學過程中，要培養(yǎng)學生的“創(chuàng)新思維”，就要讓學生敢于提出研究對象、讓學生學會規(guī)劃研究路徑、讓學生掌握科學探究方法、讓學生感悟基本數(shù)學思想.

(1) 讓學生敢于提出研究對象

甘做十年冷板凳的青年科學家韓春雨在基因編輯技術領域的研究經(jīng)歷非常曲折，先是做跟隨研究，但不斷被別人搶先取得成功，后來開辟新的基因編輯技術途徑，通過努力終于取得諾獎級成果．這充分說明開辟新的研究領域、提出新的研究對象的重要性，課堂教學應讓學生敢于自己提出研究對象．

三角形中位線的引入，過去有以下幾種典型做法：“餡餅”式引入，讓學生將三角形剪拼成平行四邊形從而引入三角形中位線，這樣的引入學生會生發(fā)“怎樣才能想到這樣操作就能發(fā)現(xiàn)三角形中位線及其性質(zhì)”的疑問，學生做得到但想不到；“圈套”式引入，讓學生按步驟取中點、畫中位線、測量角度和長度、發(fā)現(xiàn)結論，這樣的過度牽引除了動手操作毫無思維含量；“倒敘”式引入，由三角形中位線的應用引入，這樣的引入除了激發(fā)興趣還是不能解決如何想到的問題．本文課例將“三角形的相關線段(中線等)”作為三角形中位線的知識生長點，引導學生繼續(xù)“發(fā)現(xiàn)”三角形的相關線段，從而提出新的研究對象．從學生的已有認知基礎生發(fā)，順應學生知識發(fā)生、發(fā)展的邏輯線索[1]，是學生想得到、提得出新的研究對象的關鍵．

(2)讓學生學會規(guī)劃研究路徑

成語“南轅北轍”充分說明研究對象確定后規(guī)劃研究路徑的重要性，課堂教學應讓學生學會自己規(guī)劃研究路徑．

本文課例在引入三角形中位線后，師生共同回憶過去已有研究經(jīng)驗，以已經(jīng)研究過的幾何對象為先行組織者，引導學生規(guī)劃、設計三角形中位線的研究路徑：概念—性質(zhì)—應用，增強學生數(shù)學研究的路徑規(guī)劃意識，從而提升研究效率．先行組織者的使用是規(guī)劃研究路徑的關鍵．

(3) 讓學生掌握科學探究方法

科學發(fā)現(xiàn)有其自身規(guī)律，一般先由個別現(xiàn)象猜想一般規(guī)律，再實驗驗證(自然科學)或嚴格證明(數(shù)學科學)，課堂教學應讓學生掌握基本的科學探究方法．

本文課例在探究三角形中位線的性質(zhì)時，先引導學生從特殊三角形(等邊三角形和等腰直角三角形)入手探究三角形中位線所具有的性質(zhì)，從而猜想一般結論，再嚴格證明猜想在一般情況下也成立，從而得到三角形中位線的性質(zhì)定理，讓學生經(jīng)歷了一個科學探究的全過程．從特殊到一般猜想結論是歸納推理，嚴格證明猜想成立是演繹推理，推理是科學探究的基本方法．兩種推理不能偏廢，因為歸納推理是發(fā)現(xiàn)結論，演繹推理是證明結論，它們是科學發(fā)現(xiàn)的雙翼[2]．

(4)讓學生感悟基本數(shù)學思想

數(shù)學思想是人們在建立數(shù)學理論和解決數(shù)學問題時所應用的基本思想．但數(shù)學思想從來就不是數(shù)學家的專利，也不是只有在數(shù)學領域中才能發(fā)揮它的作用．科學研究早已經(jīng)走向定量化，數(shù)學思想隨著數(shù)學幾乎滲透到了各個科學領域．可以毫不夸張地說，數(shù)學思想幾乎存在于人類的各種思維活動中，具有最大的廣泛性和深刻性[3]，課堂教學應讓學生感悟基本的數(shù)學思想．

本文課例中對三角形中位線的研究充分應用了推理的基本思想，如由特殊到一般猜想結論，這是推理思想下一般化的轉化方法；由一般四邊形到特殊四邊形研究中點四邊形，這是推理思想下特殊化的轉化方法；定理證明中將線段之間的平行和倍分關系轉化為加倍后線段之間的平行且相等關系，從而將三角形問題轉化為平行四邊形問題，這是推理思想下的命題轉化方法，這些推理思想和具體轉化方法在科學研究中應用廣泛．數(shù)學基本思想應有意識地不斷向?qū)W生滲透，課堂教學時讓學生在應用中感悟，課堂小結時讓學生在反思中明晰，后續(xù)學習時讓學生在有意識的應用中強化．

(5)讓學生養(yǎng)成深入思考習慣

一個自然或社會現(xiàn)象在研究清楚它們之前總是讓人們感覺紛繁復雜、茫然無緒，需要研究者能撥開迷霧、抽絲剝繭看到問題的本質(zhì)，從而抓住本質(zhì)解決問題，課堂教學應讓學生養(yǎng)成深入思考、追尋本質(zhì)的習慣．

本文課例中，問題8后變式追問：中點四邊形要是菱形，原四邊形必須是矩形嗎？中點四邊形要是矩形，原四邊形需滿足什么條件？讓學生探究決定中點四邊形形狀的本質(zhì)因素，可以讓學生意識到許多現(xiàn)象不能只看到表象，而應看到表象背后的本質(zhì)，許多問題不能就題論題，而應多問一句究竟是什么、為什么，或反過來再多想一下，提升學生思維的深刻性，養(yǎng)成追根求源、深入思考的良好習慣．