王克亮

(江蘇省射陽縣教育局教研室 224300)

有效的數(shù)學(xué)教學(xué)離不開問題這一載體，沒有問題就談不上真正的數(shù)學(xué)教學(xué)，沒有好的問題就不會出現(xiàn)精彩的數(shù)學(xué)課堂. 為了透視當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課堂老師們所設(shè)計(jì)的問題存在著哪些不足，并尋找其優(yōu)化與改進(jìn)的策略，近期我縣舉行了兩次這樣的主題教研活動，依托“等差數(shù)列”和“圓與圓的位置關(guān)系”這兩節(jié)內(nèi)容分別開設(shè)了6節(jié)觀摩課，以下是我們的一些研討紀(jì)要與共識.

1 當(dāng)前課堂問題存在的一些不足

1.1 碎問

有些課堂問題接二連三出現(xiàn)，偏多偏碎，學(xué)生被動跟著老師走，思維沒有機(jī)會深入，學(xué)生的主體地位不能得到充分凸顯，問題的思維價值有點(diǎn)缺失.

案例1圓與圓的位置關(guān)系

在這節(jié)課上，就兩個圓有哪幾種位置關(guān)系，有的老師設(shè)置了如下一些問題：

問題1圓與圓的位置關(guān)系有哪幾種？

問題2圓與圓的位置關(guān)系與它們的公共點(diǎn)個數(shù)之間有何關(guān)系？

問題3兩圓的位置關(guān)系與它們的圓心距及兩個半徑之間有何關(guān)系？

問題4兩圓公切線的條數(shù)與它們的位置關(guān)系之間有何關(guān)系？

問題5兩圓相切時，切點(diǎn)與兩個圓心的位置有何特殊性？

問題6兩圓相交時，公共弦所在直線與兩圓心的連線的位置關(guān)系如何？

評注這里的6個問題都限于討論兩個圓的位置關(guān)系及其特征，不少問題比較接近，思維的跨度與發(fā)散度不大，顯得有些多而碎.

1.2 淺問

有些課堂問題簡單淺顯，學(xué)生一看便知，或者學(xué)生不需要作深入思考即可得到答案. 可有時這恰恰又是本節(jié)課的一個重要內(nèi)容，不得不為之專門設(shè)置一個問題.

案例2等差數(shù)列

對于等差數(shù)列概念的給出，在6節(jié)觀摩課上，老師們都是這樣處理的：即先列舉幾個實(shí)例，然后提出一個問題，引導(dǎo)學(xué)生從多個實(shí)例中抽象出等差數(shù)列的概念，如：

(1)第23屆到第28屆奧運(yùn)會舉行的年份依次為

1984，1988，1992，1996，2000，2004.

(2)一堆鋼管共5層，最下面一層是5根，上面一層總比下面一層少1根，則從下往上數(shù)，每層的根數(shù)分別為

5，4，3，2，1.

(3)某電信公司的一種計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：通話時間不超過3分鐘，收話費(fèi)0.2元，以后每分鐘收話費(fèi)0.1元，則通話費(fèi)按從小到大的次序依次為

0.2，0.2+0.1，0.2+0.1×2，0.2+0.1×3，….

(4)如果1年期儲蓄的月利率為1.65‰，那么將10 000元分別存1個月，2個月，3個月，……，12個月，所得的本利和依次為

10 000+16.5，10 000+16.5×2，10 000+16.5×3，…，10 000+16.5×12.

問題上面這些數(shù)列有什么共同的特點(diǎn)？

評注該問題是蘇教版教材中提供的范問，有較好的啟發(fā)性與過渡作用. 但該問只涉及到特征觀察與簡單抽象，尚未涉及到深層次的思維，因而相對比較淺顯. 教學(xué)中如果僅問于此，似乎還沒有發(fā)揮其應(yīng)有的價值.

1.3 浮問

有些課堂問題本身并不缺少思考與探究的價值，但在具體教學(xué)中，老師只是作一般性的處理就結(jié)束了，浮光掠影，未能將問題繼續(xù)引向深入.

案例3圓與圓的位置關(guān)系

在本節(jié)課上，明確了兩個圓具有哪幾種位置關(guān)系之后，接下來的任務(wù)就是借助解析幾何的方法來判斷兩個圓的位置關(guān)系了，這是本節(jié)課的核心內(nèi)容. 在6節(jié)觀摩課上，老師們都提出了如下問題或類似問題：

問題如何判斷兩個圓的位置關(guān)系？試以下面的兩題為例進(jìn)行探究.

(1)(x+2)2+(y-2)2=1與(x-2)2+(y-5)2=16；

(2)x2+y2+6x-7=0與x2+y2+6y-27=0.

對此，學(xué)生容易想到的方法是“判斷圓心距d與兩圓半徑R,r之間的關(guān)系”. 在一些觀摩課上，當(dāng)學(xué)生回答出這樣的方法之后，老師引導(dǎo)學(xué)生作了一般化就過去了.

評注解析幾何中處理與圓相關(guān)的問題通常有兩類方法，即幾何法與代數(shù)法. 因?yàn)閳A的特殊性，在運(yùn)算上通常是幾何法更為簡便，所以很多老師習(xí)慣上只重視幾何法的教學(xué)，對代數(shù)法往往只是提及，或者就略去不講. 事實(shí)上，代數(shù)方法更能體現(xiàn)解析幾何的本質(zhì)，可為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線打下伏筆，所以上述處理方法欠妥，未能將問題推向高潮，留下了一些遺憾.

1.4 缺問

有些課堂，教者有明確的問題意識，也能用問題貫穿整個課堂，但在一些需要升華的地方卻缺少問題的支撐，留下了遺憾.

案例4等差數(shù)列

在蘇教版教材中，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是本大節(jié)中第2小節(jié)的內(nèi)容，所以按教材的編寫意圖，在等差數(shù)列第1課時的教學(xué)中不一定要進(jìn)行通項(xiàng)公式的教學(xué).

但在6節(jié)觀摩課中，有5位老師講了通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法及公式的應(yīng)用，或許這些老師認(rèn)為，第1小節(jié)的內(nèi)容較少且較簡單，沒有什么嚼頭，只有講解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式才能上出精彩來.

評注事實(shí)上，所有與會老師都認(rèn)為，剩下的沒有講解第2小節(jié)內(nèi)容的那節(jié)課反而是最精彩的. 對比之后我們發(fā)現(xiàn)，上述5節(jié)課留有遺憾的原因是他們在一些可提升的點(diǎn)上沒有置問，未能對相關(guān)知識進(jìn)行及時升華.

2 提升問題思維價值的策略初探

2.1 多問融成一問

優(yōu)化碎問的策略是對一些零碎問題進(jìn)行恰當(dāng)整合，盡量把多個性質(zhì)相同或相近的問題融合成一個大問題. 問題變少變整了，其提示的因素就減少了，自然可發(fā)散學(xué)生的思維. 當(dāng)然，對一些問題進(jìn)行融合也是需要技巧的，要將它們的共同屬性抽出來.

案例5案例1的改進(jìn)

因?yàn)榘咐?中的6個問題都是關(guān)于兩個圓的位置關(guān)系及其幾何特性的，所以可將其融合為下面的一個問題：

問題兩個圓的位置關(guān)系有哪幾種？它們分別有哪些特性？

評注問題的前一半是按教學(xué)目標(biāo)而設(shè)定的，它起到了回顧作用，因?yàn)槌踔幸延懻撨^兩個圓的位置關(guān)系；問題的后一半融合了案例1中的問題2～問題6，因?yàn)樗鼪]有給學(xué)生指明回答的方向，所以在探究過程中學(xué)生可能會從多個角度來思考這個問題，甚至還可能出現(xiàn)上述幾個問題中沒有涉及到的幾何性質(zhì)，這樣就大大提高了問題的思維含量.

2.2 合理添加綴問

優(yōu)化淺問的策略自然是加深問題的難度，但如果某個淺問是經(jīng)典的，不便輕易改動，那么不妨在其后綴上一問，以提升思維含量. 當(dāng)然，綴上什么樣的問題是需要教者好好設(shè)計(jì)的，既要保證問題前后的和諧性，又要能引發(fā)學(xué)生的思考與探究.

案例6案例2的改進(jìn)

在列舉案例2中同樣幾個實(shí)例的基礎(chǔ)上，可提出如下問題：

問題上述數(shù)列有何共同特點(diǎn)？如何表示出這樣的特點(diǎn)？

評注因?yàn)榍耙话雴栴}是教材提供的范問，而且它又具有很好的引導(dǎo)作用，所以教學(xué)中應(yīng)該堅(jiān)持使用. 當(dāng)綴上 “如何表示出這樣的特點(diǎn)？”這個問題之后，就能給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一定的思考空間與探究空間，因?yàn)橹辽儆幸韵聨追N方法可表示出這樣的特點(diǎn)：

(1)文字表示法：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常數(shù). 這種表示方法可自然引出等差數(shù)列的定義.

(2)符號表示法：當(dāng)n∈N*時，an+1-an=d(常數(shù))；或者當(dāng)n∈N*且n≥2時，an-an-1=d(常數(shù)). 這種表示方法是等差數(shù)列定義的數(shù)學(xué)符號語言直譯形式，是證明一個數(shù)列為等差數(shù)列最直接的依據(jù).

(3)連等表示法：當(dāng)n∈N*時，an+1-an=an+2-an+1. 這種表示方法是等差數(shù)列定義的等價表示形式，是證明一個數(shù)列為等差數(shù)列的又一依據(jù).

2.3 適時進(jìn)行追問

既然浮問是對問題的處理不夠深入，蜻蜓點(diǎn)水，未能將問題的價值盡可能地發(fā)揮出來，因而其優(yōu)化的策略是在解決問題的過程中適時地加以追問，在不斷的追問中將問題的價值盡可能地釋放出來.

案例7案例3的優(yōu)化

在學(xué)生給出了解決問題的幾何方法之后，老師可作如下追問：

追問1類比直線與圓的位置關(guān)系的處理方法，還有其它想法嗎？

對于第(1)小題，可得Δ=0，即兩圓有且只有一個公共點(diǎn)，相切是肯定的，但還不能判定是外切還是內(nèi)切；類似的，當(dāng)Δ<0時，兩圓無公共點(diǎn)，但還不能判斷是外離還是內(nèi)含，即這兩種情況下位置關(guān)系的判定還要結(jié)合圖形的具體情況. 對于第(2)小題，因?yàn)棣?0，兩圓有兩個不同的交點(diǎn)，可斷定兩圓是相交的.

所以，代數(shù)法是可行的，但對于有些位置關(guān)系來說還要結(jié)合其它手段來判斷.

課堂上，如果僅提到這樣的代數(shù)法就結(jié)束了，還是有點(diǎn)遺憾，此時，我們可以作如下進(jìn)一步的追問：

追問2對于第(1)小題，兩圓方程相減，所得結(jié)果是一條直線，無論其代回到哪一個圓的方程中，結(jié)果都是相切的，說明該直線有什么樣的特殊性？

意圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這條直線就是兩圓的公切線，在此基礎(chǔ)上，可再作如下追問：

追問3在第(2)小題中，兩圓方程相減所得直線方程無論代回到哪個圓的方程中，所得結(jié)果都是相交的，此時你有什么樣的猜想？如何驗(yàn)證你的猜想？

意圖引導(dǎo)學(xué)生猜想這條直線是兩個圓的公共弦所在直線，并通過設(shè)出兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的方法來驗(yàn)證.

評注這里通過三次適時的追問，不僅介紹了代數(shù)法，完善了方法體系，體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)，還順利地過渡到了后面常用的結(jié)論中，可借機(jī)處理一下教材中的類似問題(如練習(xí)5，此略).

3 升華可處置問

改進(jìn)缺問的策略自然是補(bǔ)上重要一問，即當(dāng)課堂進(jìn)行到可以對相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行合理升華的時候，老師要及時置問，將研討引向更高境界. 當(dāng)然，在什么地方升華與置問，還是需要教者在課前備課時認(rèn)真研究與設(shè)計(jì)的.

案例8案例4的優(yōu)化

在等差數(shù)列的定義介紹之后，可從其定義的符號語言出發(fā)提出如下問題：

問題1你能判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列嗎？你從中發(fā)現(xiàn)了什么？

(1)an=0； (2)an=n2； (3)an=-2n+4； (4)an=3n+1.

意圖問題的前一半是想讓學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列定義的符號語言來判斷所給數(shù)列是否為等差數(shù)列；問題的后一半是想借機(jī)作一個升華，引導(dǎo)學(xué)生猜想出“an=pn+q(p,q為常數(shù))的數(shù)列一定是等差數(shù)列”這個結(jié)論.

為了給下節(jié)課作鋪墊，這里還可以順勢介紹如下結(jié)論：

事實(shí)上，反之也是成立的，即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一定也是an=pn+q(p,q為常數(shù))型的，所以其圖象是一群弧立且共線的點(diǎn). 下節(jié)課我們將要學(xué)習(xí)這個內(nèi)容，這里先了解一下.

另外，在課堂的總結(jié)階段也有升華的契機(jī)，可提出如下問題：

問題2通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，請總結(jié)一下，判斷等差數(shù)列的常用方法有哪些？

意圖將本節(jié)課的前后內(nèi)容串聯(lián)起來，明確判斷等差數(shù)列的三類常用方法：

(1)定義型方法：即驗(yàn)證an+1-an(n∈N*)或an-an-1(n∈N*且n≥2)是否為常數(shù)(與n無關(guān)的數(shù)).

(3)特征型方法：即看其通項(xiàng)公式是否為an=pn+q(p,q為常數(shù))型；或其圖象是否為直線型；(將來還可以看其前n項(xiàng)和是否為Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))型).

總之，碎問、淺問、浮問、缺問這些存在不足及其改進(jìn)的策略僅是筆者對當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課堂問題的膚淺認(rèn)識，更多存在不足的發(fā)現(xiàn)還有待于我們作進(jìn)一步的觀察與探討，其優(yōu)化的策略還有待于我們不斷地進(jìn)行思考與實(shí)踐.