張宗余 馮 斌

(浙江省象山中學(xué) 315700) (寧波市教研室 315000)

作為課標(biāo)修訂工作兩大重點(diǎn)突破之一，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂過程中提出了“六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，其包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析．2016年11月浙江省“疑難問題解決”研討活動(dòng)在杭州舉行，活動(dòng)將“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)觀下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)”作為本次研討的主題，引起與會(huì)者的濃厚興趣．“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象”[2]，“數(shù)學(xué)抽象”也是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中．本文筆者以“導(dǎo)數(shù)概念”教學(xué)片斷的設(shè)計(jì)為例，以“數(shù)學(xué)抽象”為切入點(diǎn)，談?wù)勅绾卧诟拍钫n教學(xué)中落實(shí)“數(shù)學(xué)抽象”這一核心素養(yǎng)的實(shí)踐與思考．

1 “導(dǎo)數(shù)的概念”教學(xué)中落實(shí)“數(shù)學(xué)抽象”的三個(gè)維度

“導(dǎo)數(shù)的概念”是高中新教材人教A版選修2-2第一章1．1．2的內(nèi)容，教科書沒有介紹形式化的極限定義及相關(guān)知識(shí)，而是從變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導(dǎo)數(shù)．導(dǎo)數(shù)的概念是從物體直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度等概念進(jìn)行高度抽象的結(jié)果，其蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想．所以在教學(xué)中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷這個(gè)過程，通過思考、討論、探究，理解瞬時(shí)速度的含義、感受逼近的思想．

1．1 維度一：“抽絲剝繭”，從具體到抽象的深化

具體是特定事物多方面屬性、特點(diǎn)、聯(lián)系和關(guān)系的統(tǒng)一．抽象是把研究的事物從某種角度看待的本質(zhì)屬性抽取出來進(jìn)行考察的思維方法．具體和抽象是一對(duì)哲學(xué)范疇，從具體到抽象，是“抽絲剝繭”，是尋找共性和規(guī)律的過程，是挖掘和深化．

教學(xué)片斷1：教學(xué)情景的設(shè)計(jì)

引言：生活中有許多需要研究物體某一時(shí)刻的速度，如運(yùn)動(dòng)員在百米沖刺時(shí)碰線的速度，對(duì)接衛(wèi)星的交會(huì)對(duì)接時(shí)的飛行速度．我們把物體在某一時(shí)刻的速度叫瞬時(shí)速度．

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在高一年級(jí)的物理課上學(xué)習(xí)過瞬時(shí)速度．因此，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)．所以“瞬時(shí)速度”的給出在某種意義上講不能算“數(shù)學(xué)抽象”．

思考1那么怎樣求一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度呢？我們請(qǐng)先同學(xué)們看下面一段新聞錄像(6·20南京寶馬肇事案)，人們紛紛質(zhì)疑寶馬闖紅燈車速到底有多快？南京交警認(rèn)定肇事寶馬速度為195．2km/h(通過附近的監(jiān)控錄像，鎖定發(fā)現(xiàn)寶馬車的兩個(gè)點(diǎn)，通過圖像之間的移動(dòng)位差，可以測算出當(dāng)時(shí)車速)．

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)抽象是指由具體事物中抽取出量的方面、屬性或關(guān)系．筆者通過南京寶馬肇事案引導(dǎo)學(xué)生了解現(xiàn)實(shí)中解決瞬時(shí)速度的方法，通過學(xué)生討論，從而形成對(duì)問題解決的思考．通過平均速度去估算瞬時(shí)速度，這樣將問題引導(dǎo)到用量的層面去解決，去關(guān)注區(qū)間的平均速度，從而達(dá)到“數(shù)學(xué)抽象”的目的．

教學(xué)片斷2：抽象引入Δt

教學(xué)片斷3：導(dǎo)數(shù)的概念

探究

3． 函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率怎樣表示?

概念(略)

設(shè)計(jì)意圖“抽象”通常有兩種，從特殊到一般的抽象是“弱抽象”，是縮小內(nèi)涵，擴(kuò)大外延的抽象．還有一種抽象是“強(qiáng)抽象”，是擴(kuò)大內(nèi)涵縮小外延的抽象，是從一般到特殊的抽象．例如，由平行四邊形概念出發(fā)，通過引入“鄰邊相等”或“一個(gè)角為直角”的特性，分別獲得較為特殊的棱形和矩形的概念．此處的抽象是顯然是“弱抽象”，從三個(gè)具體的探究抽象出概念，即由特殊到一般地抽象出函數(shù)瞬時(shí)變化率的概念，即導(dǎo)數(shù)的概念．

1．2 維度二：“作繭自縛”，從抽象到概括的具化

概括是把抽象出來的若干事物的共同屬性歸結(jié)出來進(jìn)行考察的思維方法，以抽象為基礎(chǔ)，是抽象的發(fā)展．[1]從不同角度考察同一事物會(huì)得到不同性質(zhì)的抽象，而概括則必須從多個(gè)對(duì)象的考察中尋找共同的相通性質(zhì)．“作繭自縛”可以理解為數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性是聯(lián)想和發(fā)散，是由抽象到概括是一種普遍原理在各方面的具體體現(xiàn)和應(yīng)用．

教學(xué)片斷4 瞬時(shí)速度概念的給出

1．3 維度三：“化蛹成蝶”，從量變到質(zhì)變的脫化

量變質(zhì)變規(guī)律揭示了事物發(fā)展變化形式上具有的特點(diǎn)，量變是質(zhì)變的前提，質(zhì)變是量變的必然結(jié)果．在導(dǎo)數(shù)概念的形成中，尤其是在感悟運(yùn)用逼近思想來達(dá)成概念時(shí)，體現(xiàn)了量變到質(zhì)變的辯證思想．“化蛹成蝶”一種升華，是一種涅槃和再造．

教學(xué)片斷5： 數(shù)學(xué)逼近

教學(xué)片斷6：課堂小結(jié)

結(jié)束語“實(shí)現(xiàn)取差，然后再把它揚(yáng)棄，這不是簡單地導(dǎo)致，而是帶來了實(shí)際結(jié)果，這個(gè)結(jié)果就是新的函數(shù)，即導(dǎo)數(shù)．理解微分運(yùn)算的全部困難(正像理解否定之否定本身時(shí)那樣)恰恰就在這里．”(馬克思)

設(shè)計(jì)意圖“思維方法的教育=數(shù)學(xué)思想+思維經(jīng)驗(yàn)”[2]，所以要特別重視利用數(shù)學(xué)抽象形成數(shù)學(xué)方法和思想，在某種意思上講數(shù)學(xué)方法和思想是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括．

2 在課堂教學(xué)中實(shí)踐”數(shù)學(xué)抽象”的反思

2．1 搞好概念教學(xué)是實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)抽象”的落腳點(diǎn)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維的基本形式．概念的獲得有兩種基本方式：概念的形成與概念的同化．概念的形成是指從一些具體例證出發(fā)，抽取一類事物的共同屬性，從而形成概念;概念同化是指用定義的方式直接揭示概念，學(xué)生利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)理解新概念．可見，概念的形成過程就是對(duì)概念進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、概括的過程．“導(dǎo)數(shù)的概念”形成如下：

這里要說明的是，瞬時(shí)速度的概念從屬于運(yùn)動(dòng)這一特定的問題，而導(dǎo)數(shù)概念則由于舍棄了其他成分而僅僅著眼于量的關(guān)系的分析獲得了更為普遍的意義．所以重視概念教學(xué)，提升概念教學(xué)水平，其中最切實(shí)的是抓數(shù)學(xué)核心概念形成的教學(xué)，選取學(xué)生熟悉的典型實(shí)例，提供豐富材料，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)抽象過程，熟悉數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”，在概念形成的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象．[3]

2．2 “數(shù)學(xué)抽象”要關(guān)注數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)

作為思維的基礎(chǔ)和一種基本而重要的思維方法，數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)教育的價(jià)值主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練方面，所以掌握數(shù)學(xué)抽象的方法和原則，努力提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象這一核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵．?dāng)?shù)學(xué)抽象思維能力主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)上，教師要不失時(shí)機(jī)地抓住機(jī)會(huì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力．真正實(shí)現(xiàn)“過程教育”，讓學(xué)生親身經(jīng)歷、實(shí)際操作，在不斷地?cái)?shù)學(xué)抽象過程中提升數(shù)學(xué)抽象能力．

在驗(yàn)證的過程中，同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)，無論取何值平均速度都趨近于一個(gè)確定的常數(shù)-13．1，教師適當(dāng)引導(dǎo)，為今后引入拉格朗日中值定理的學(xué)習(xí)提供鋪墊，同時(shí)也可引進(jìn)更為一般的概念：即

(Δx>0，m、n∈N)．

培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力必須設(shè)法創(chuàng)設(shè)出一些相對(duì)應(yīng)的情境，盡可能重現(xiàn)這種概念抽象的整個(gè)過程，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、抽象，提煉數(shù)學(xué)概念，歸納數(shù)學(xué)結(jié)論、抽象數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生體驗(yàn)過程、熟悉過程并學(xué)會(huì)應(yīng)用．

2．3 “數(shù)學(xué)抽象”要關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)在的魅力

“要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待事物”[2]．身邊的事物數(shù)學(xué)問題很多，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生把生活中的問題抽象為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)一步揭示具體事物和抽象概念的聯(lián)系，既加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，又有助于提高解決問題的能力．另外，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重保護(hù)和培養(yǎng)學(xué)生的直覺意識(shí)，講一些數(shù)學(xué)的發(fā)展史，數(shù)學(xué)史上有許多經(jīng)典數(shù)學(xué)抽象故事，生動(dòng)而智慧，如哥尼斯堡七橋問題、笛卡爾與坐標(biāo)法、微積分發(fā)明的英德之爭等，將數(shù)學(xué)家們進(jìn)行的數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行“再現(xiàn)”，故事的隱喻性較易讓人感受到數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的長處、優(yōu)點(diǎn)和有力武器，從而改變數(shù)學(xué)枯燥、難學(xué)、乏味的印象，用數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)在魅力使學(xué)生從內(nèi)心深處喜歡上數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)．

數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)概念教學(xué)抹不開的情愫．它歸根到底是一種文化素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教育也就是一種文化素質(zhì)的教育，它的養(yǎng)成不是一朝一夕之事，我們教師貴在重視和堅(jiān)持．要通過學(xué)習(xí)使學(xué)生感受到，數(shù)學(xué)不僅僅是一系列抽象的知識(shí)，更多的則是一種方法，一種文化，一種思想，甚至于一種精神和態(tài)度，從而讓學(xué)生滿懷樂趣和憧憬地去學(xué)習(xí)它．