趙美娜，張樹(shù)義，金 珩

(1. 渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院,遼寧 錦州 121013； 2. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

漸近偽壓縮映象迭代序列收斂的等價(jià)性

趙美娜1，張樹(shù)義1，金 珩2

(1. 渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院,遼寧 錦州 121013； 2. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

在沒(méi)有任何有界的條件下，在實(shí)Banach空間中研究依中間意義漸近非擴(kuò)張的漸近偽壓縮映象具混合誤差修正的Ishikawa和修正的Mann迭代序列收斂的等價(jià)性, 推廣和改進(jìn)了有關(guān)文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)果.

實(shí)Banach空間；漸近偽壓縮映象；依中間意義漸近非擴(kuò)張映象；具混合誤差修正的Ishikawa迭代序列；具混合誤差修正的Mann迭代序列

1 引言與預(yù)備知識(shí)

設(shè)E是實(shí)Banach空間,E*是E的對(duì)偶空間,正規(guī)對(duì)偶映象J:E→2E*定義為J(x)={f∈E*;〈x,f〉=‖x‖2=‖f‖2}，其中〈·,·〉表示E和E*的廣義對(duì)偶組.用D(T)和F(T)分別表示映象T的定義域和不動(dòng)點(diǎn)集.

顯然，若T:D(T)?E→E是漸近非擴(kuò)張映象，則T是漸近偽壓縮映象.但其逆一般不真，反例見(jiàn)文[1].

定義2設(shè)D是E的非空凸子集，T：D→D是一映象，x0,w0∈D是任意給定兩點(diǎn)，由下式定義的序列{xn}n≥0?D,{yn}n≥0?D,

(1)

由下式定義的序列{wn}n≥0?D，

wn+1=(1-αn-γn-μn)wn+αnTnwn+γnun+μnpn，?n≥0

(2)

稱(chēng)為具混合誤差修正的Mann迭代序列.

下面引理是已知的.

引理1設(shè)E是任意實(shí)Banach空間，J:E→2E*是正規(guī)對(duì)偶映象，則?x,y∈E，有

‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,j(x+y)〉,?j(x+y)∈J(x+y).

文[1]在Banach空間的框架下，研究了依中間意義漸近非擴(kuò)張的漸近偽壓縮映象具誤差修正的Ishikawa和修正的Mann迭代序列收斂的等價(jià)性問(wèn)題.文[2]推廣、改進(jìn)了文[1]中的結(jié)果.文[3-17]研究了一些非線(xiàn)性映象不動(dòng)點(diǎn)的存在性與迭代逼近.受上述工作啟發(fā)，本文進(jìn)一步研究漸近偽壓縮映象具誤差修正的Ishikawa和修正的Mann迭代序列收斂的等價(jià)性問(wèn)題,從以下4方面對(duì)文[2]中的定理2進(jìn)行推廣和改進(jìn)：

1)去掉{xn}有界性；

3)將一致光滑Banach空間擴(kuò)展到實(shí)Banach空間，并將

替換成

2 主要結(jié)果

(ii)αn→0，βn→0，δn→0(n→∞)；

設(shè)x0=w0∈D是一給定的點(diǎn)，q∈F(T)，{xn}n≥0，{wn}n≥0分別是由式(1)和(2)定義的具混合誤差修正的Ishikawa和修正的Mann迭代序列，若存在嚴(yán)格增加函數(shù)φ:[0,+∞)→[0,+∞)，φ(0)=0，使得

(3)

則xn→q∈F(T)和wn→q∈F(T)等價(jià).

由式(1)，(5)有

(6)

由式(1)，(6)有

(7)

其中ξn=αn(5+2M)+(3+M)(βn+δn)+(M+1)(γn+μn)→0(n→∞).

由于T：D→D是依中間意義漸近非擴(kuò)張的，記dn=max{0，supx,y∈D(‖Tnx-Tny‖-‖x-y‖)}，則dn→0(n→∞)，從而由式(7)，(8)有

類(lèi)似地，

于是

(9)

(10)

由式(1)和引理1知，存在j(xn+1-wn+1)∈J(xn+1-wn+1)，使

現(xiàn)在考慮式(11)右端各項(xiàng).右端第二項(xiàng)，使用式(3)有

(12)

其中fn={〈Tnxn+1-Tnwn+1,j(xn+1-wn+1)〉-kn‖xn+1-wn+1‖2+φ(‖xn+1-wn+1‖)}.右端第三項(xiàng)，使用式(4)，(9)，?n>n1，有

(13)

右端第四項(xiàng)，使用式(4)，(10)，?n>n1，有

(14)

其中ηn=dn+3αn+G(γn+μn)→0(n→∞).

將式(12)，(13)和(14)代入式(11)得

(15)

其中B=max{‖x1-w1‖,‖x2-w2‖,…,‖xN-wN‖}.下面證明?j≥1，有‖xN+j-wN+j‖<2B.當(dāng)j=1時(shí)，由式(15)有

‖xN+1-wN+1‖2≤ ‖xN-wN‖2+4αN[4G((2B)2+1)(ξN+dN+ηN)+

因此由歸納法可證?j≥1，有

即‖xN+j-wN+j‖<2B，從而?n≥1，‖xn-wn‖≤2B.于是由式(15),?n≥N，有

‖xn+1-wn+1‖2≤ ‖xn-wn‖2+4αn[4G((2B)2+1)(ξn+dn+ηn)+

(16)

(17)

‖xnj0+2-wnj0+2‖2≤‖xnj0+1-wnj0+1‖2+

[1] 張石生．Banach空間中Ishikawa迭代序列的穩(wěn)定性和收斂性問(wèn)題[J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2007，50(5)：1051-1062．

[2] 張樹(shù)義，宋曉光．關(guān)于修正的Ishikawa迭代序列的穩(wěn)定性和收斂性[J]．沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，30(4)：449-453．

[3] 張樹(shù)義，劉冬紅，李丹．k-次增生算子方程的迭代解[J]．北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，16(5)：574-578．

[4] 趙美娜，張樹(shù)義，趙亞莉．Banach空間中k-次增生算子方程解的迭代逼近[J]．北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，16(6)：720-724．

[5] 張樹(shù)義，宋曉光，萬(wàn)美玲，等．非Lipschitz漸近偽壓縮映象不動(dòng)點(diǎn)的迭代逼近[J]．北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，15(5)：581-587．

[6] 張樹(shù)義，萬(wàn)美玲，李丹．漸近偽壓縮型映象迭代序列的強(qiáng)收斂定理[J]．江南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，13(6)：726-730．

[7] 張樹(shù)義，趙美娜，李丹．漸近半壓縮映象具混合型誤差的迭代收斂性[J]．北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，16(3)：281-285．

[8] 萬(wàn)美玲，張樹(shù)義，鄭曉迪．賦范線(xiàn)性空間中φ-強(qiáng)增生算子方程解的迭代收斂性[J]．北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，17(3)：305-307．

[9] 谷峰．兩個(gè)有限族一致L-Lipschitz映象的平行迭代算法的強(qiáng)收斂定理[J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，53(6)：1209-1216．

[10] 張樹(shù)義，林媛．Φ-φ-型壓縮映象不動(dòng)點(diǎn)的存在性[J]．北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，17(1)：1-3．

[11] 張樹(shù)義，趙美娜，劉冬紅．弱相容映射的幾個(gè)新的公共不動(dòng)點(diǎn)定理[J]．江南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，14(6)：852-856．

[12] 張樹(shù)義，宋曉光，欒丹．Φ-壓縮映象的公共不動(dòng)點(diǎn)定理[J]．北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，15(2)：167-173．

[13] 張樹(shù)義，趙美娜，李丹．關(guān)于平方型Altman映象的公共不動(dòng)點(diǎn)定理[J]．江南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，14(4)：472-477．

[14] 張樹(shù)義．賦范線(xiàn)性空間中漸近擬偽壓縮型映象不動(dòng)點(diǎn)的修改的廣義Ishikawa迭代逼近[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2011，34(5)：886-894．

[15] 張樹(shù)義．一致Lipschitz漸近φi-型擬偽壓縮映象多步平行迭代算法的收斂性[J]．系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2013，33(10)：1233-1242．

[16] 宣渭峰，王元恒．雙復(fù)合修正的Ishikawa迭代逼近非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)[J]．浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，32(4)：401-405．

[17] 張樹(shù)義，衣立紅，邵穎．Altman型映象的公共不動(dòng)點(diǎn)[J]．杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，7(6)：401-404．

TheEquivalenceofConvergenceofIterativeSequencesforAsymptoticallyPseudocontractiveMappings

ZHAO Meina1, ZHANG Shuyi1, JIN Heng2

(1. College of Mathematics and Physics， Bohai University， Jinzhou 121013， China;2. College of Mathematics Sciences， Inner Mongolia Normal University， Hohhot 010022， China)

The equivalence of the convergence of modified Ishikawa and modified Mann iterative sequences with mixed errors for asymptotically nonexpanisive mappings in the intermediate sense and asymptotically pseudocontractive mappings in Banach spaces is studied without any bounded assumption, the results presented in this paper extend and improve the corresponding results in some references.

real Banach space; asymptotically pseudocontractive mapping; asymptotically nonexpanisive mappings in the intermediate sense; modified Ishikawa iterative sequences with mixed errors; modified Mann iterative sequence with mixed errors

2016-06-22

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11371070).

張樹(shù)義(1960-)，男，教授，主要從事非線(xiàn)性泛函分析及應(yīng)用研究.E-mail:jzzhangshuyi@126.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.06.015

O177.91MSC201047H06；47H10；47H17

A

1674-232X(2017)06-0653-06