張格波

(南京市江寧高級(jí)中學(xué) 211100)

人們通過(guò)對(duì)話實(shí)現(xiàn)信息的傳遞、思想的交流和情感的表達(dá)．就這個(gè)角度而言，我們可以認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是老師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的深度對(duì)話．通過(guò)深度對(duì)話，可以讓學(xué)生經(jīng)歷表達(dá)一步步完善的過(guò)程；通過(guò)深度對(duì)話，可以讓學(xué)生的思考層層深入，逐步抓住本質(zhì)；通過(guò)深度對(duì)話，可以讓數(shù)學(xué)課堂充分發(fā)揮出自己的教育價(jià)值．本文試借助于蘇教版《函數(shù)周期性》的教學(xué)過(guò)程，闡述筆者的理解．

1 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是深度對(duì)話

事實(shí)上，由于各個(gè)學(xué)生的生活經(jīng)歷、體驗(yàn)都不相同，關(guān)于周期現(xiàn)象的前概念也不相同，因此即使面對(duì)相同的情景，他們說(shuō)出的理解也不相同．這樣恰好為多角度地理解周期現(xiàn)象提供了可能，教師通過(guò)不斷的追問(wèn)：還可以怎么看？使得學(xué)生不斷轉(zhuǎn)換思路，在不斷的對(duì)話中，學(xué)生對(duì)周期現(xiàn)象的理解走向了深入，逐步完成對(duì)函數(shù)周期性概念的建構(gòu)．以下是對(duì)話的片段．

1.1 還可以怎么看？——引領(lǐng)對(duì)話走向深入

教學(xué)環(huán)節(jié)1：展現(xiàn)周期現(xiàn)象與周期函數(shù)圖像

1)周期現(xiàn)象很多：時(shí)針、天干、地支、屬相、寒來(lái)暑往、潮起潮落等．山海關(guān)城門(mén)對(duì)聯(lián)刻畫(huà)的也是這種現(xiàn)象：海水朝 朝朝朝 朝朝朝落；浮云長(zhǎng) 長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng) 長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)消．

2)函數(shù)作為對(duì)實(shí)際生活的一種數(shù)學(xué)表達(dá)，也具有周期性，比如正余弦函數(shù)．

3)問(wèn)題：這些現(xiàn)象有何共同的特點(diǎn)？

學(xué)生1：很多出現(xiàn)了重復(fù)．

師：什么意思？

學(xué)生1：有些現(xiàn)象一段一段地出現(xiàn)了重復(fù)．

師：什么是一段一段地出現(xiàn)重復(fù)？

學(xué)生1：……

師：還可以怎么看？

學(xué)生2：周而復(fù)始．

師：好，一句話高度概括，簡(jiǎn)潔明了，抓住了關(guān)鍵．

師追問(wèn)：周而復(fù)始中的關(guān)鍵詞是什么？

學(xué)生2：周，就是間隔；復(fù)，就是重復(fù)，再次出現(xiàn)．

師追問(wèn)：很好，能否說(shuō)得更加具體呢？比如周是一個(gè)間隔，它具有何種特征？

學(xué)生3：它是固定的，不變的．

師：什么意思？相對(duì)誰(shuí)不變？

學(xué)生3：相對(duì)于整個(gè)變化過(guò)程是不變的，也就是說(shuō)它是一個(gè)常數(shù)，常量．

師追問(wèn)：很好，周是一個(gè)常量，常數(shù)．還能認(rèn)識(shí)到其它特征吧？

學(xué)生4：它不能等于零，等于零沒(méi)有意義．

師追問(wèn)：大家的認(rèn)識(shí)越來(lái)越深入，還可以認(rèn)識(shí)到什么？

學(xué)生4：周的整數(shù)倍還是周，比如海水漲潮，一天是周期，一月也是周期，整數(shù)倍都是周期．

師：他的結(jié)論正確嗎？大家都是這樣認(rèn)識(shí)的？

學(xué)生(眾)：是的．

師：看另一關(guān)鍵詞：復(fù)，還可以進(jìn)一步地理解吧？比如，是什么在重復(fù)？是怎樣重復(fù)的？

學(xué)生5：是某種現(xiàn)象，全部重復(fù)出現(xiàn)．

師追問(wèn)：進(jìn)一步解釋清楚，對(duì)函數(shù)來(lái)說(shuō)：1)你這里“全部”什么意思？2)是什么在重復(fù)？

學(xué)生5：所有函數(shù)值都重復(fù)．就是說(shuō)，所有函數(shù)值每間隔一個(gè)周期后，就重復(fù)一次．

師：好，我們將剛才的結(jié)論匯總一下，填寫(xiě)在這張表中再來(lái)體會(huì)一下．

周期現(xiàn)象關(guān)于周的認(rèn)識(shí)關(guān)于復(fù)的認(rèn)識(shí)周是什么?誰(shuí)在重復(fù)?怎樣重復(fù)?潮起潮落寒來(lái)暑往正弦函數(shù)余弦函數(shù)

評(píng)析在此教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師通過(guò)展現(xiàn)生活中的周期現(xiàn)象與熟悉的周期函數(shù)圖像，激活學(xué)生原有的生活經(jīng)驗(yàn)與前概念；通過(guò)在師生之間、生生之間的對(duì)話讓學(xué)生形成了整體的、模糊的、粗略的認(rèn)識(shí)——周而復(fù)始．在這個(gè)過(guò)程中間，我們發(fā)現(xiàn)口頭語(yǔ)言其實(shí)是學(xué)生數(shù)學(xué)思維外顯的載體．讓學(xué)生“對(duì)話”，就是讓學(xué)生通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)他們的思維．

1.2 這可以作為一般性的判斷依據(jù)嗎？——在質(zhì)疑中，抓住本質(zhì)

學(xué)生6：雖然我們畫(huà)不出它的圖像，但我們還是可以判斷出它是周期函數(shù)．

師：為什么呢？

師：這能作為一般性的判斷依據(jù)嗎？外函數(shù)是周期函數(shù)的時(shí)候，原函數(shù)就是周期函數(shù)？

學(xué)生：……

師：前面的經(jīng)驗(yàn)是什么？這個(gè)函數(shù)有“周而復(fù)始”的現(xiàn)象嗎？

師：你怎么就看出來(lái)函數(shù)值相等的？

學(xué)生7：計(jì)算后發(fā)現(xiàn)的．

師：我想問(wèn)的是，你怎么想到去看函數(shù)值是否相等的？

師追問(wèn)其他人：他的判斷方法能作為一般性的判斷依據(jù)嗎？

學(xué)生8：不行，他列舉的只是一些特例，不能說(shuō)明所有都有這種特征．

學(xué)生7：我找不到反例．

師：找不到反例，說(shuō)明這個(gè)函數(shù)可能真的是周期函數(shù)，但如何進(jìn)行一般性的說(shuō)明呢？

學(xué)生7：……

學(xué)生9：我想起來(lái)了，這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，周期就是2π．

師：怎么說(shuō)？

日語(yǔ)形容詞“旨い”可表示多個(gè)義項(xiàng)，如①表示美味，香甜，好吃，飲食物的味道好；②好，巧，善于，順利。對(duì)自己有利，自己所期望的狀態(tài)；③用于慣用句“旨い汁を吸う”中表示揩油，占便宜，不勞而獲，自己不付出辛苦而得到利益等。④用于慣用句“旨い話し”中表示有利可圖的事情，條件合適和非常方便的事。對(duì)于日語(yǔ)形容詞的多個(gè)義項(xiàng)現(xiàn)象，學(xué)者們進(jìn)行過(guò)較充分的研究。例如，武藤(2001)從認(rèn)知語(yǔ)言學(xué)視角出發(fā)，分析了形容詞“甘い”的語(yǔ)義拓展方式，指出其各個(gè)義項(xiàng)并非彼此孤立存在而是相互關(guān)聯(lián)，拓展義基本上都是通過(guò)隱喻或轉(zhuǎn)喻等認(rèn)知機(jī)制對(duì)原型義進(jìn)行的拓展。本文將以“旨い”的多個(gè)義項(xiàng)為基礎(chǔ)，通過(guò)考察其后續(xù)名詞的詞性來(lái)進(jìn)行分析。

師：沒(méi)有反例？每個(gè)人都這樣認(rèn)為的？

學(xué)生10：沒(méi)有反例，上述等式中的自變量可以是任意的，即它是一個(gè)恒等式．

學(xué)生11：周期還可以改為π．因?yàn)?/p>

師：其他人的認(rèn)識(shí)呢？有不同意見(jiàn)嗎？

學(xué)生：……

師：受此啟發(fā)，回頭看，能否從恒等式的角度來(lái)說(shuō)明y=sinx，(x∈R)是周期函數(shù)呢？

學(xué)生12：能，因?yàn)閟in(x+2π)=sinx，所以y=sinx，(x∈R)是周期函數(shù)，周期是2π．

師(追問(wèn))：那函數(shù)y=cosx，(x≠π)是周期函數(shù)嗎？

學(xué)生12：是，因?yàn)閏os(x+2π)=cosx，所以y=cosx是周期函數(shù)，周期也是2π．

師(追問(wèn))：其他人的認(rèn)識(shí)呢？有不同意見(jiàn)嗎？

學(xué)生13：不對(duì)，它不是周期函數(shù)．因?yàn)閏os(-π)=cosπ，但x≠π，也就是說(shuō)有一個(gè)點(diǎn)無(wú)法被重復(fù)，因此它不應(yīng)該是周期函數(shù)．

師(追問(wèn))：那將函數(shù)y=cosx，(x≠π)的定義域怎樣修改，又變成了周期函數(shù)呢？

學(xué)生(眾)：去掉限制，定義域改為R．

師(追問(wèn))：還可以怎樣呢？

學(xué)生：……

學(xué)生14：把那一串都去掉，改為y=cosx，(x≠kπ，k∈Z)．

師(追問(wèn))：為什么呢？

學(xué)生14：這樣就沒(méi)有反例，也就是說(shuō)cos(x+2π)=cosx，對(duì)定義域任意自變量恒成立．

師(總結(jié))：所以說(shuō)，周而復(fù)始，是指所有函數(shù)值都要重復(fù)，就是等式要恒成立．

評(píng)析在本教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師通過(guò)讓學(xué)生判斷一個(gè)暫時(shí)畫(huà)不出圖像的函數(shù)是否是周期函數(shù)，逼著學(xué)生從抽象的解析式這個(gè)角度來(lái)研究周期性．這樣，學(xué)生就必須要想辦法實(shí)現(xiàn)用符號(hào)化的代數(shù)恒等式來(lái)刻畫(huà)“周而復(fù)始”．在學(xué)生尋找辦法的過(guò)程中，教師反復(fù)用“這能作為一般性的依據(jù)嗎？”、“其他人的認(rèn)識(shí)呢？有不同意見(jiàn)嗎？”、“為什么？”引導(dǎo)發(fā)言者表述自己的思維過(guò)程，同時(shí)也引導(dǎo)其他學(xué)生去理解、去質(zhì)疑別人的表述，從而使得所有學(xué)生深入理解．因此，“對(duì)話”不僅僅意味著讓學(xué)生講出不同的想法給他人聽(tīng)，更重要的是要在理解他人的想法中做出比較和判斷．實(shí)際上學(xué)習(xí)就是在一個(gè)群體中互動(dòng)的體驗(yàn)過(guò)程，就是一個(gè)具有“社會(huì)協(xié)商”性質(zhì)的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程[1]．

1.3 我們都知道了什么？——在概括中建立概念，形成理性思維意識(shí)

師：從上述過(guò)程來(lái)看，關(guān)于周期函數(shù)，我們都知道了什么？

學(xué)生11：就是周而復(fù)始，其中“周”是一個(gè)常數(shù)，不能為零，它的整數(shù)倍也是周期；“復(fù)”就是函數(shù)值出現(xiàn)重復(fù)，就是自變量增加周期后，函數(shù)值不變．

師：還有補(bǔ)充的嗎？

學(xué)生12：要全部重復(fù)，即自變量要能取遍定義域內(nèi)的每一個(gè)值．

師：很好，那么一般地，函數(shù)y=f(x)要滿足什么條件才能是周期函數(shù)呢？

學(xué)生13：滿足f(x+T)=f(x)恒成立，其中T是一個(gè)非零常數(shù)即可．

師：很好，在尋找周期函數(shù)的本質(zhì)特征的過(guò)程中，你有什么收獲？

學(xué)生14：透過(guò)現(xiàn)象抓本質(zhì)．

師：具體一點(diǎn)呢？

學(xué)生14：就是要看出“周而復(fù)始”就是等式f(x+T)=f(x)恒成立．

師：還有呢？

學(xué)生14：判斷時(shí)，必須要有一個(gè)一般性的依據(jù)，要以理說(shuō)話．

評(píng)析經(jīng)過(guò)前兩個(gè)階段的對(duì)話、討論，學(xué)生對(duì)于函數(shù)周期性已經(jīng)積累了一定的認(rèn)識(shí)，初步完成了對(duì)本質(zhì)的抽象．因此，本教學(xué)環(huán)節(jié)主要就是讓學(xué)生將周期函數(shù)的各個(gè)方面性質(zhì)聯(lián)合起來(lái)考察，也就是進(jìn)行概括．教師通過(guò)“我們都知道了什么？”、“還有補(bǔ)充嗎?”來(lái)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行概括．事實(shí)上，在教師的啟發(fā)下，學(xué)生不僅完成了對(duì)知識(shí)的概括，還談到了對(duì)整個(gè)思維過(guò)程的體驗(yàn)——要以理說(shuō)話，這就是理性思維意識(shí)．

2 深度對(duì)話就是學(xué)生與數(shù)學(xué)本質(zhì)的對(duì)話

從上述過(guò)程我們可以看出，通過(guò)對(duì)話，學(xué)生的表達(dá)一步步走向完善；通過(guò)對(duì)話，學(xué)生的思考層層深入，逐步抓住本質(zhì)．因此，數(shù)學(xué)課堂上的對(duì)話就不僅僅表現(xiàn)為學(xué)生與教師、學(xué)生與學(xué)生之間的語(yǔ)言交流，更是學(xué)生與數(shù)學(xué)本質(zhì)的一種對(duì)話[1]．換句話說(shuō)，就是因?yàn)閷?duì)話走向了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，我們才稱之為深度對(duì)話．

我們知道，周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是等式f(x+T)=f(x)恒成立．要形成這種認(rèn)識(shí)，學(xué)生必須要經(jīng)歷兩次抽象．第一次是形成對(duì)周期函數(shù)的初步抽象——周而復(fù)始．第二次抽象，就是建立形式化、符號(hào)化的數(shù)學(xué)表征——等式恒成立．在第二階段，學(xué)生需要突破三個(gè)思維上的關(guān)鍵點(diǎn)，第一個(gè)就是為什么要進(jìn)一步形式化．作為教師，我們知道只有達(dá)到這種符號(hào)化、形式化的程度，才可以進(jìn)行推理論證．但是怎樣才能讓學(xué)生也體會(huì)到呢？第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是要將生活中的“重復(fù)出現(xiàn)”改用數(shù)學(xué)中的等式來(lái)表達(dá)．第三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是學(xué)生要認(rèn)識(shí)到等式是恒成立的，定義域中的每一個(gè)自變量都要滿足這個(gè)等量關(guān)系．

這兩次抽象，是一個(gè)認(rèn)識(shí)上的飛躍，如果讓學(xué)生獨(dú)立地、完全自主地去完成，是困難的．雖然“重復(fù)”本身蘊(yùn)涵相等的含義，但如果教師不點(diǎn)撥，不讓學(xué)生給予關(guān)注，學(xué)生往往意識(shí)不到．于是，對(duì)話與交流就為思維的展開(kāi)提供了基礎(chǔ)．在第一階段抽象中，教師借助于周期現(xiàn)象與周期函數(shù)圖像，讓學(xué)生談自己的認(rèn)識(shí)，通過(guò)“還可以怎么說(shuō)？”，讓學(xué)生多角度闡述自己的觀點(diǎn)，在多角度的對(duì)話中學(xué)生形成了“周而復(fù)始”的初步印象．通過(guò)對(duì)“周而復(fù)始”關(guān)鍵詞的辨析，更進(jìn)一步能清楚了細(xì)節(jié)：周是什么；誰(shuí)重復(fù)，怎樣重復(fù)？雖然都是用自然語(yǔ)言表達(dá)的，但為第二次抽象做好了準(zhǔn)備．

在第二階段，教師通過(guò)讓學(xué)生判斷一個(gè)暫時(shí)畫(huà)不出圖像的函數(shù)是否是周期函數(shù)，使他們意識(shí)到自己能力上的缺陷，從而引發(fā)了認(rèn)知上的不平衡，感受到有必要用抽象的解析式來(lái)表達(dá)出函數(shù)的“周而復(fù)始”．這時(shí)，學(xué)生也不是一下子就成功的，而是在不斷的嘗試與對(duì)話中，相互啟發(fā)、質(zhì)疑，才使得學(xué)生逐步意識(shí)到為了用解析式來(lái)刻畫(huà)“重復(fù)”，必須要用數(shù)學(xué)中的等式來(lái)表達(dá)“重復(fù)”．學(xué)生先是從外函數(shù)的角度來(lái)試探，由于無(wú)法深入，教師及時(shí)糾正了方向：能否從周而復(fù)始的已知經(jīng)驗(yàn)來(lái)說(shuō)明？然后，學(xué)生想到了特殊值檢驗(yàn)函數(shù)值是否相等，這樣，數(shù)學(xué)本質(zhì)出現(xiàn)了．后來(lái)再通過(guò)反例，教師的追問(wèn)，這樣大部分學(xué)生才認(rèn)識(shí)到這個(gè)等式還必須是恒成立的，從而讓學(xué)生不斷地接近于符號(hào)化，形式化．顯然，沒(méi)有前面的對(duì)話，這個(gè)學(xué)生不可能直接想到它．這一場(chǎng)對(duì)話就是要讓學(xué)生多角度理解自然界中的“周而復(fù)始”與數(shù)學(xué)恒等式之間的關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)用“代數(shù)恒等式”來(lái)形式化地刻畫(huà)“周而復(fù)始”．這場(chǎng)對(duì)話就是學(xué)生與數(shù)學(xué)本質(zhì)的對(duì)話，在此過(guò)程中學(xué)生也體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)抽象的意義與價(jià)值．

3 深度對(duì)話需要教師的引導(dǎo)

學(xué)習(xí)就是學(xué)生與數(shù)學(xué)本質(zhì)逐步對(duì)話的過(guò)程，在此過(guò)程中，學(xué)生要將模糊的思維理順后再清晰表達(dá)出來(lái)，要讓自己的認(rèn)識(shí)不斷條理化、清晰化，逐步走向概念的本質(zhì)．那如何組織好數(shù)學(xué)課堂上的對(duì)話，以促進(jìn)學(xué)生思維走向深入，逐步接近于數(shù)學(xué)的本質(zhì)呢？結(jié)合本人的教學(xué)實(shí)踐，我覺(jué)得可以努力做好以下幾點(diǎn)．

3.1 做好深度對(duì)話的主持人

第一、通過(guò)激勵(lì)，形成平等、積極的對(duì)話氛圍．1)我們要理解學(xué)習(xí)的心理機(jī)制，給予學(xué)生表達(dá)的機(jī)會(huì)．就數(shù)學(xué)概念而言，學(xué)生要面對(duì)大量的實(shí)例，通過(guò)觀察，比較，分析和綜合，抽象與概括等思維過(guò)程，才能將感性的認(rèn)識(shí)上升為理性，這個(gè)過(guò)程就包括討論，交流，互動(dòng)等組織活動(dòng)．沒(méi)有對(duì)話，就沒(méi)有思想的相互啟發(fā)；沒(méi)有社會(huì)協(xié)商，就沒(méi)有深度理解．2)學(xué)會(huì)等待，做好平等中的首席．我們知道問(wèn)題是有挑戰(zhàn)性的，解決它是需要時(shí)間的，給足時(shí)間，才能使學(xué)生的發(fā)言是經(jīng)過(guò)充分準(zhǔn)備的，主動(dòng)性才能得到保護(hù)．3)學(xué)會(huì)評(píng)價(jià)，呵護(hù)學(xué)生的自尊．教師對(duì)學(xué)生的對(duì)話要及時(shí)點(diǎn)評(píng)，好在什么地方，錯(cuò)在什么地方，要用簡(jiǎn)潔、明了的語(yǔ)言給與評(píng)價(jià)．同時(shí)要學(xué)會(huì)救場(chǎng)，為回答不出的學(xué)生提供適度的支持與幫助．

第三、引導(dǎo)歸納、總結(jié)．本節(jié)課中，教師先是通過(guò)一張表來(lái)讓學(xué)生進(jìn)行知識(shí)上的總結(jié)，形成初步的認(rèn)識(shí)；后來(lái)，又通過(guò)提出問(wèn)題“我們都知道了什么？”讓學(xué)生再次進(jìn)行概括，從而建立了概念．當(dāng)然，我們不能忘記讓學(xué)生對(duì)認(rèn)識(shí)過(guò)程進(jìn)行表達(dá)，只有這樣，才能讓學(xué)生逐步形成理性認(rèn)識(shí)方式．

3.2 關(guān)注深度對(duì)話的教育價(jià)值

從教學(xué)過(guò)程可知，師生通過(guò)對(duì)話，拉長(zhǎng)了“抽象”過(guò)程，完成了 “社會(huì)協(xié)商”，實(shí)現(xiàn)了意義建構(gòu)，對(duì)話的作用是顯著的．首先在對(duì)話的過(guò)程中學(xué)生獲得了啟發(fā)：對(duì)話就是思想的交換，學(xué)生在理解了別人的交流后，就多了一個(gè)理解數(shù)學(xué)的角度．其次，在交流與討論中理會(huì)越辯越明：學(xué)生通過(guò)質(zhì)疑、對(duì)比、推敲是否能推廣到一般，加深了對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解；同時(shí)通過(guò)對(duì)事物多方面性質(zhì)的概括，抓住了概念的本質(zhì)．

但我們不僅要關(guān)注對(duì)話的內(nèi)容，更要關(guān)注深度對(duì)話的教育價(jià)值．比如，學(xué)生通過(guò)對(duì)整個(gè)思維、對(duì)話過(guò)程的概括、內(nèi)省，提高了理性思維的意識(shí)．再者，在對(duì)話過(guò)程中學(xué)生也逐步學(xué)會(huì)表達(dá)：為了說(shuō)明自己的想法，為了更好地表達(dá)自己，必須要深思，力爭(zhēng)抓住關(guān)鍵，在表達(dá)過(guò)程中，還要注意到語(yǔ)言的邏輯性，縝密性，簡(jiǎn)潔性．所有這些，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的教育價(jià)值．因此，在引導(dǎo)進(jìn)行總結(jié)、概括時(shí)，我們不能僅僅滿足于讓學(xué)生進(jìn)行知識(shí)上的總結(jié)與對(duì)話，還要對(duì)整個(gè)思維過(guò)程進(jìn)行交流，表達(dá)自己對(duì)思維過(guò)程的感受、體驗(yàn)，以形成穩(wěn)定的認(rèn)識(shí)方式，建立理性思維意識(shí)．

總之，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一場(chǎng)深度對(duì)話，就是學(xué)生與數(shù)學(xué)本質(zhì)的對(duì)話，在對(duì)話的過(guò)程中學(xué)生建立了對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解，發(fā)展了理性思維意識(shí)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的教育價(jià)值．