顧恩國，羅阿木，盧俊波

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

截距同號且存在一個排斥不動點的
分段線性映射的動力學分析

顧恩國，羅阿木*，盧俊波

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

為補充和完善前人對分段線性映射動力學行為的研究，首先，對參數(shù)進行了初步的分類；然后分別分析每一種情況下系統(tǒng)的動力學行為，探討了BCB分叉、flip分叉、接觸分叉以及混沌等現(xiàn)象，并研究了共存吸引子、吸引域的定界和分叉；最后，結合數(shù)值模擬對理論結果進行了驗證.

分段線性映射；BCB分叉；flip分叉；接觸分叉；混沌

分段線性映射模型在電子電路模型、非線性振子模型、基因組序列模型等方面有著直接應用，也在工程和物理學[1-3]、電子和機械[4,5]、社會科學、經濟學、生物學[6]等方面有著廣泛應用.所以很多學者開始重視分段線性映射的研究[1-6].

本文研究的不連續(xù)分段線性映射系統(tǒng)為：

(1)

該映射中含有4個參數(shù)aL,aR,μL,μR，原點0是唯一不連續(xù)點,對于有其他不連續(xù)點的情況也可通過坐標變換將不連續(xù)點變換為原點進行分析.文獻[7]研究了映射在00條件下的動力學行為，文獻[8]研究了映射在aL>0,aR>0,μL>0,μR<0條件下的動力學行為，文獻[9]研究了映射在aLaR<0,μLμR<0條件下的動力學行為.本文基于這三篇文章的分析，將對該映射在aL≥1,aR<0,μLμR>0條件下的動力學行為進行研究，并重點分析該情況下映射系統(tǒng)產生共存吸引子、混沌的條件以及它們吸引域的定界和分叉.

分叉現(xiàn)象在動力系統(tǒng)的研究中具有重要意義，它使得系統(tǒng)動力學行為隨參數(shù)變化，本文將研究不連續(xù)的分段線性映射系統(tǒng)(1)的BCB分叉(由不變集和映射系統(tǒng)定義的邊界發(fā)生碰撞產生)、flip分叉、接觸分叉，并給出BCB曲線，BCB曲線最先由Leonov于1959年提出，文獻[10]、[11]中也給出了詳細的闡述.

在本文中，首先對所要研究分段線性映射的一般性質進行簡要分析，然后分兩種情況計算了BCB曲線，給出了flip分叉、共存吸引子和混沌吸引子的存在條件，并對有界吸引子進行定界，最后分析了混沌產生的條件.

1 分段線性映射的一般性質

考慮的分段線性映射族為(1)式，4個參數(shù)滿足約束條件：

aL≥1,aR<0,μLμR>0.

(2)

該線性映射g(x)滿足鏡面對稱性：

g(x,aL,aR,μL,μR)=-g(-x,aL,aR,-μL,-μR).

本文僅討論左邊不動點為排斥的且截距為正即μL,R>0的情況，右邊不動點為排斥的且截距為負的情況可由對稱性得到.

若aL>1,aR<0,μL,R>0，那么該線性映射具有兩個不動點在Y軸的兩側分別為：

圖1 分段線性映射圖Fig.1 Diagram of piecewise linear map

2 分段線性映射的動力學行為

2.1 aL=1,aR=-1條件下的動力學行為

當aL=1,aR=-1時，映射變?yōu)椋?/p>

命題1 假設aL=1,aR=-1，則映射滿足：

(a) 若μL<μR，吸收區(qū)間I=[0,μR]中除中點外任意點均為二周期點，I的吸引域為(-∞,+∞)；

(b) 若μL>μR，吸收區(qū)間D=[-μL+μR,μL]中有兩類吸引子，在I中除中點外任意點均為二周期點，在DI=[-μL+μR,0)∪(μR,μL]中除[-μL+μR,0)及(μR,μL]的中點外任意點均為四周期點，D的吸引域為(-∞,+∞).

不妨令?x0∈[-μL+μR,0]，由：

x1=gL(x0)=x0+μL,

x2=gR°gL(x0)=-x0-μL+μR,

x3=gL°gR°gL(x0)=-x0-μL+μR+μL=

-x0+μR,

x0=gR°gL°gR°gL(x0)=x0-μR+μR=x0,

圖2(a)給出了假四周期軌即二周期軌的情況，如圖2(b)給出了任意一種四周期軌的情況.取參數(shù)0<μL,μR<4作出二維分叉圖，如圖3，次對角線下方即μL<μR時只有二周期軌，與上述分析一致.在次對角線上方即μL>μR時，從圖中可以看出，映射系統(tǒng)僅有二、四周期的周期軌.根據以上分析可知，所取的初始點x0=-2可能在吸收區(qū)間D之外，所以當-μL+μR<-2+kμL<0,k∈N*時有四周期軌存在，因此二周期軌向四周期軌過渡的BCB曲線為：-μL+μR=-2+kμL，四周期軌向二周期軌過渡的BCB曲線為：-2+kμL=0，由該解析式可知BCB曲線是水平的較為簡單，故而在圖中不作注明.取k=1,2,3,4作出部分BCB曲線如圖4，再與圖3對比可知剛好是灰色和淺灰色兩種不同顏色區(qū)域的邊界.

圖2 二周期和四周期軌線圖Fig.2 Diagram of two cycle and four cycle trajectory

圖3 二維分叉圖Fig.3 Diagram of two-dimensional bifurcation

圖4 BCB曲線Fig.4 BCB curve

2.2 aL>1,aR<0條件下的動力學行為

2.2.1aL>1,-1

圖5 一維分叉圖 Fig.5 Diagram of one-dimensional bifurcation

圖6 二維分叉圖Fig.6 Diagram of two-dimensional bifurcation

圖6二維分叉圖給出了形成穩(wěn)定二周期軌的邊界條件，對于該吸引的二周期軌，記作：O(2)={x0,x1},aRμL+μR

圖7 共存吸引子吸引域Fig.7 Basin of attraction for coexistence attractors

以下通過數(shù)值模擬對以上分析進行驗證，取aR=-0.6，可計算出一個穩(wěn)定二周期軌為：O(2)={-0.74413866,2.8848114}，恰為圖7中閉合的矩形.

I0=(0,5/8),I1=(-8/3,-9/4),
I2L=(-40/9,-25/8),I2R=(65/12,55/9).

O{4}={-1.2538227,2.1100917,-0.41794088,3.374108}.

圖8 無窮吸引子吸引域圖 Fig.8 Diagram for basin of infinite attractor

圖9 二維分叉圖Fig.9 Diagram of two-dimensional bifurcation

當-1μR情況的臨界過渡，映射化為分段光滑的帳篷映射，可參考文獻[12].

綜上所述，我們得到如下命題2.

命題2 假設aL>1,-1

(b) 當μL=μR時,映射化為分段光滑的帳篷映射；

2.2.2aL>1,aR<-1條件下的動力學行為

圖10 同宿軌線圖 Fig.10 Diagram of homoclinic trajectory

當μL=μR時，為μL<μR和μL>μR情況的臨界過渡，此時映射化為分段光滑的帳篷映射.

命題3 假設aL>1,aR<-1，則映射系統(tǒng)不可能存在周期吸引子.

(b) 當μL=μR時，映射化為分段光滑的帳篷映射；

3 小結

本文對有一個不連續(xù)點的分段線性映射系統(tǒng)(1)在aL≥1,aR<0,μLμR>0條件下的動力學行為進行了分析.當aL=1,aR=-1時系統(tǒng)只存在二、四周期的周期軌，求出了從二周期向四周期過渡，四周期向二周期過渡的BCB曲線；當aL>1,-11,aR<-1時，映射系統(tǒng)必然存在混沌吸引子或準周期吸引子；另外，分析了同宿軌的存在條件，說明了混沌現(xiàn)象的存在.通過對該映射系統(tǒng)動力學行為的研究，對該類系統(tǒng)的動力學行為有了全局的把握，為該系統(tǒng)的實際應用提供了可靠的理論依據.

[1] Banerjee S, Karthik M S, Yuan G H, et al. Bifurcations in one-dimensional piecewise smooth maps theory and applications in switching circuits [J]. IEEE T Circuits-I, 2000, 47(3): 389-394.

[2] Banerjee S, Verghese G C. Nonlinear phenomena in power electronics:attractors, bifurcations, chaos and nonlinear control [M]. New York: IEEE Press, 2001: 34-82.

[3] Dankowicz H, Nordmark A B. On the oriin and bifurcations of stick-skip oscillations [J]. Physical Review D, 2000, 136: 208-302.

[4] Puu T, Sushko I. Oligopoly dynamics, models and tools [M]. New York:Springer-Verlag, 2002: 86-122.

[5] Puu T, Sushko I. Business cycle dynamics, models and tools [M]. New York:Springer-Verlag, 2006: 117-136.

[6] Coutinho R, Frenandez B, Lima R, et al. Discrete time piecewise affine models of genetic regulatory networks [J]. Mathematical Biology, 2006, 52: 524-570.

[7] Gardini L, Tramontana F. Border collision bifurcation curves and their classification in a family of 1D discontinuous maps [J]. Chaos,Solitons & Fractals, 2011, 44(4): 248-259.

[8] Gardini L, Tramontana F. Border-collision bifurcations in 1D piecewise-linear maps and Leonov′s approach[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2010, 20(10): 3085-3104.

[9] Gardini L, Tramontana F. Border collision bifurcations in 1D PWL map with one discontinuity use of the first return map [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2010, 20(11): 3259-3574.

[10] Nusse H E, Yorke J A. Border-collision bifurcation for piece-wise smooth one-dimensional maps [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1995, 5: 189-207.

[11] Nusse H E, Ott E, Yorke J A. Border-collision bifurcations:an explanation for observed bifurcation phenomena [J]. Physical Review E, 1994, 49(107): 3-6.

[12] 顧恩國. 離散動力系統(tǒng)的分叉和混沌[M]. 北京:科學出版社，2013: 17-19.

[13] 顧恩國，魯嘉珺. 環(huán)境污染與自然資源耦合系統(tǒng)的動力學模型分析[J]. 中南民族大學學報(自然科學版)，2017,36(3):142-146.

DynamicalAnalysisofPiecewiseLinearMapswiththeSameInterceptSignandOneRepulsiveFixedPoint

GuEnguo，LuoAmu，LuJunbo

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities,Wuhan 430074,China)

In this paper, the study on the dynamic behavior of piecewise linear map was complemented and perfected. Firstly, a preliminary classification of the parameters is given. Then dynamical behavior of each case was analyzed. BCB bifurcation, flip bifurcation, contact bifurcation and chaos phenomenon, coexistence attractors, basin delimitation and bifurcation of attractors were presented. At last, numerical simulation was used to verify the theoretical results.

piecewise linear map；BCB bifurcation；flip bifurcation；contact bifurcation；chaos

2017-04-06 *

羅阿木，研究方向：非線性動力學應用，E-mail:1194846493@qq.com

顧恩國(1964-)，男，教授，研究方向：非線性動力學應用，E-mail:guenguo@163.com

國家自然科學基金資助項目(61374085)

O193

A

1672-4321(2017)04-0131-06