【摘 要】數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的總體目標(biāo)是發(fā)展和優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，基本策略是：優(yōu)化數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生頭腦中的知識結(jié)構(gòu)具有系統(tǒng)性、統(tǒng)攝性和遷移性；優(yōu)化數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)，使個體內(nèi)化的數(shù)學(xué)觀念能體現(xiàn)學(xué)科思維結(jié)構(gòu)特點，具有較高的思想層次性，并在解題實踐中提高學(xué)生的監(jiān)控意識和反思能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；知識結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)觀念

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）31-0020-02

高考數(shù)學(xué)試題的設(shè)計以基礎(chǔ)知識為載體，以思想方法為靈魂，以能力素質(zhì)為目標(biāo)，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其實質(zhì)就是檢測學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的完善和發(fā)展程度，因此，高考復(fù)習(xí)的總體目標(biāo)是發(fā)展和優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生在頭腦中建立起來的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，主要包括學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識，在知識形成過程中發(fā)展起來的數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)及個體的非智力因素等。在平常的教學(xué)中，我們致力于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)基本內(nèi)容的生成和積累。在高考復(fù)習(xí)階段，學(xué)生已學(xué)完了中學(xué)數(shù)學(xué)的全部知識，具備了構(gòu)成一個完整知識系統(tǒng)的條件，與此同時，學(xué)生的各種能力也逐漸成熟起來，這正是發(fā)展和優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的最佳時機。

一、優(yōu)化數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)

良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不僅要有相當(dāng)?shù)闹R積累，而且要在頭腦中以科學(xué)合理的方式把知識組織好，以利于儲存和提取，選擇和組合，接受和同化新知識，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷地得到發(fā)展和優(yōu)化。因此，在復(fù)習(xí)階段優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是教學(xué)的首要任務(wù)。

1. 良好的知識結(jié)構(gòu)應(yīng)具有系統(tǒng)性

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，不僅應(yīng)要求學(xué)生明確它們的實質(zhì)意義，而且還要對知識進行結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的梳理和概括，使之形成相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)體系。知識一經(jīng)形成體系，才有利于儲存和提取，調(diào)用時才能經(jīng)緯通達，左右逢源。一個較差的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，首先反映在頭腦中的知識不是呈網(wǎng)絡(luò)狀的縱橫狀態(tài)，而是呈孤立的支離破碎的狀態(tài)，具體表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念的表象、離散及遺忘，思維方法的僵化、無序和單一，信息檢索的緩慢及組合的不合理。因此，必須給學(xué)生提供良好的知識結(jié)構(gòu)材料，并對知識材料進行梳理概括，從而使形成的知識結(jié)構(gòu)主線清晰，脈絡(luò)分明，思想飽滿，穩(wěn)定性好。

形成知識體系，不僅僅是掌握全部細節(jié)，最根本的是要掌握某些關(guān)鍵的“點”與“線”，以便能結(jié)成一張網(wǎng)，包攝統(tǒng)領(lǐng)全部內(nèi)容。例如，解析幾何中，點與坐標(biāo)、曲線與方程是這門學(xué)科的兩大基本矛盾，這兩組對立面之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化就形成了解析幾何的基本結(jié)構(gòu)。直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系，普通方程和參數(shù)方程只不過是聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的紐帶和工具。以這兩類矛盾的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化為主線，通過對常用曲線的研究提高解析法的運用能力，這是解析幾何總復(fù)習(xí)應(yīng)達到的目的。

2. 良好的知識結(jié)構(gòu)應(yīng)具有遷移性

良好的知識結(jié)構(gòu)不僅要知識豐富、組織有序，而且應(yīng)具有活力或生成性。知識結(jié)構(gòu)的這種動態(tài)、活力體現(xiàn)在能廣泛地進行知識、方法的遷移，同化新的數(shù)學(xué)內(nèi)容，給思維提供類比、聯(lián)想的良好條件，給直覺判斷提供一定的科學(xué)基礎(chǔ)，能在變化的情境中迅速轉(zhuǎn)換出非本質(zhì)特征，突出其本質(zhì)特征。這要求教師不僅要用整體系統(tǒng)的觀點探索知識的縱向聯(lián)系，還要用遷移的規(guī)律把握知識的橫向聯(lián)系，尋找牽動全局的紐帶或關(guān)節(jié)點。

例1 橢圓知識結(jié)構(gòu)的“固有性質(zhì)”

教材中橢圓的知識按“定義——方程——性質(zhì)”的線索展開，如果復(fù)習(xí)階段僅僅停留在“明確定義，推導(dǎo)方程，歸納性質(zhì)”的層面，學(xué)生就不能看到其中的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，解題時也不會在變化的情境中抓住問題的“牛鼻子”，思維必將游離于非本質(zhì)的亂碰亂撞中。如果把橢圓的“定義—-方程——性質(zhì)”作為一個整體，概括出其中本質(zhì)的因素，即橢圓的不變量——固有性質(zhì)：橢圓的知識結(jié)構(gòu)就出現(xiàn)了活力，數(shù)和形更有機地結(jié)合在一起，不僅有利于解題方法的選擇和應(yīng)用，也極利于雙曲線、拋物線知識結(jié)構(gòu)和思想方法的遷移。

（1）|PF1|+|PF2|=2a（0<|F1F2|<2a）

（2）■=e

（3）a2=b2+c2

（4）e=■=cos ？琢

（5）■=■

二、優(yōu)化數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)

數(shù)學(xué)觀念，即數(shù)學(xué)意識，它是人們對數(shù)學(xué)的基本看法和概括認(rèn)識，是由數(shù)學(xué)思想、方法、觀點和思維方式構(gòu)成的認(rèn)知系統(tǒng)，它表現(xiàn)為用數(shù)學(xué)的思考方式去考慮問題、解決問題的自覺意識或思維習(xí)慣。例如，抽象意識，推理意識（演繹推理，合情推理），整體意識和化歸意識，它們之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化構(gòu)成了數(shù)學(xué)觀念能動的應(yīng)用過程。

高考復(fù)習(xí)中優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念，主要是對數(shù)學(xué)思維過程具有統(tǒng)領(lǐng)作用的數(shù)學(xué)思想進行概括、提煉和應(yīng)用。例如抽象意識，在解題的過程中能從問題情境中敏銳洞察解題的方向，迅速抓住問題的本質(zhì)特征，有效制定解題方案，這就是抽象意識的核心。又如整體意識，它體現(xiàn)的是一種系統(tǒng)思維，著眼于從問題系統(tǒng)的要素及要素之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的高度思考和研究問題。

例2“直線與方程”的整體性

解析幾何的核心思想是坐標(biāo)法，讓學(xué)生經(jīng)歷用坐標(biāo)法解決問題的完整過程的含義是：先用幾何的眼光“看”（幾何要素、幾何特征、幾何性質(zhì)），再用代數(shù)的方法“算”（曲線方程、同解變形、韋達定理）。

因此，坐標(biāo)法研究直線，首先要明確在直角坐標(biāo)系中這一特定背景下直線的幾何要素——“直線上的一個定點以及它的傾斜角”，而不是沿用平面幾何中“兩點確定唯一一條直線”。在明確了直線幾何要素并在坐標(biāo)系中用代數(shù)方法把這些幾何要素表示出來的前提下，已知直線L經(jīng)過點P（x0，y0）且斜率為k，求此直線的方程實質(zhì)就是將直線上所有點的坐標(biāo)（x，y）滿足的等量關(guān)系表示出來（代數(shù)化）。有了這兩個方面的知識準(zhǔn)備，解決直線綜合問題的整體性思維水到渠成，幾何眼光“看”有了“著眼點”，代數(shù)方法“算”有了“主心骨”。endprint

高考注重數(shù)學(xué)思想方法的深度考查，其理論背景是：數(shù)學(xué)思維能力以觀念作為橋梁來作用于數(shù)學(xué)思維過程，只有促進數(shù)學(xué)觀念的發(fā)展，才能形成廣泛的遷移，進而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力。高水平的數(shù)學(xué)思維能力一定是以內(nèi)涵深刻、豐富飽滿的數(shù)學(xué)思想方法為靈魂。因此，在復(fù)習(xí)中提升學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的水平是提高其數(shù)學(xué)思維能力的關(guān)鍵舉措。

1. 著力挖掘體現(xiàn)學(xué)科思維特點的數(shù)學(xué)思想方法

例3 解析幾何中以直線與圓錐曲線位置關(guān)系為背景的綜合問題

這類問題以曲線或軌跡，最值或范圍，定點或定值，是否存在性等為主“形”，其特點是綜合性強——代數(shù)、三角、幾何、向量等融為一體，而且具有顯著的動態(tài)性——提供的問題情境處于運動變化之中（多動點、動曲線）。面對問題綜合性、動態(tài)性的挑戰(zhàn)，復(fù)習(xí)中不能簡單地搞一題一法，重復(fù)演練，應(yīng)挖掘?qū)鉀Q解析幾何綜合問題具有全局性、指導(dǎo)性的觀點：

（1）幾何結(jié)構(gòu)的深刻分析：其基本意義是變換圖形的等價性質(zhì)，挖掘隱含的幾何性質(zhì)，以便簡化代數(shù)運算過程，這里體現(xiàn)的是幾何直觀的能力，是數(shù)形結(jié)合的重要一翼。

（2）動態(tài)過程的整體把握：主要是對解析幾何動態(tài)性問題作一般性的分析，發(fā)掘問題中的不變性質(zhì)，找到?jīng)Q定問題動態(tài)性的關(guān)鍵因素（點或線），為幾何問題代數(shù)化創(chuàng)造條件。

（3）多個參數(shù)的合理引入：參數(shù)是運動、變化的體現(xiàn)著，引入?yún)?shù)是幾何問題的代數(shù)化的重要環(huán)節(jié)。解題實踐也表明，如何合理引入?yún)?shù)，取決于學(xué)生整體洞察與駕馭問題的能力。

（4）代數(shù)知識的自覺運用：主要是利用代數(shù)方法間接解決幾何問題，方程與消元、變量與函數(shù)、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法在這里成為解決問題的“主角”。

學(xué)生掌握了上述觀點，解決解析問題就能統(tǒng)攬全局，抓住關(guān)鍵，以不變應(yīng)萬變。

2. 提高解題思想方法的層次

數(shù)學(xué)解題離不開具體的方法、技能、技巧，但若只停留在一招一式的技能操作層面，就會錯過許多能夠幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)觀念的有利機會。例如，三角變換中有許多變形的方法和技巧，如升冪降冪，切弦互化，“1”的應(yīng)用等。這些方法、技巧可以在某些具體問題中得到應(yīng)用，但它不能作為三角變換的一般觀念，更高層次的思想應(yīng)建立三角變換的內(nèi)在動因和主線索——差異漸縮。

（1）三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此，尋找問題中“角”的差異并由此探求角的變形，是實施三角變換的一條主線索。

（2）三角函數(shù)“名”的差異是三角函數(shù)的基本特征，所以，分析“名”的差異，尋找內(nèi)在聯(lián)系，促使統(tǒng)一，是處理三角函數(shù)問題的有效途徑。

（3）無論是變“角”，還是變“名”，必然引起結(jié)構(gòu)形式的變化，因此，捕捉“形”的差異信息，實施合理轉(zhuǎn)化，是解決三角函數(shù)問題的必由之路。

當(dāng)學(xué)生形成了三角變換“差異漸縮”的思想，解決三角函數(shù)問題就不會陷入一招一式的機械套路，層次較高，統(tǒng)攝性強的數(shù)學(xué)思想方法使學(xué)生站得高，看得深。

3. 注重解題過程的監(jiān)控和信息反饋

對學(xué)生解題不只著眼于結(jié)果的正誤，而要切實了解他們的思維過程以及思維受阻的原因，具體可以采用以下方式，如：講解例題后的反思，考后的學(xué)生思路回顧，作業(yè)錯誤原因探求等。

影響學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的不僅有知識、觀念因素，還包括個體的思維結(jié)構(gòu)和非智力因素等，這要求教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中必須樹立整體發(fā)展策略，把知識、觀念、思維發(fā)展統(tǒng)一起來，把認(rèn)知、情感、經(jīng)驗等協(xié)調(diào)起來，把教和學(xué)整合起來，這必將成為提升學(xué)生核心素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的必由之路。

參考文獻：

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（編輯：趙 悅）endprint