李鑫智 成都外國語學(xué)校

圓錐曲線問題的幾種簡化運算方式

李鑫智 成都外國語學(xué)校

圓錐曲線問題一直是高中數(shù)學(xué)中的一大難點，也是高考考查的熱點內(nèi)容。它的困難在于計算量，許多同學(xué)由于不會引入合適的參數(shù)或方法不夠簡單，導(dǎo)致計算工作量極其繁重，再加上計算功底不足，不能在有限的時間里有效的解決問題，因此，這類問題往往成了失分的重災(zāi)區(qū)。如何簡化運算，快速解決圓錐曲線問題是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一。本文將探討幾種圓錐曲線的簡化運算方式，以供各位讀者朋友參考。

圓錐曲線 簡化運算 解決

高中階段的解析幾何，往往涉及直線與圓錐曲線（直線也可以看作退化的二次曲線）。一般而言，解決圓錐曲線問題，無非是引入?yún)?shù)，建立等式關(guān)系，將問題化為熟悉的函數(shù)問題或方程問題。因此如何引入適當(dāng)?shù)膮?shù)、如何簡化運算成了快速解決這類問題的核心。

1 引入?yún)?shù)

解析幾何是一種利用代數(shù)手段來解決復(fù)雜幾何命題的思想，而引入?yún)?shù)是這一思想的核心要素。在高中階段我們學(xué)習(xí)了直線的幾種不同形式（包括參數(shù)形式），其中就蘊含了參數(shù)引入的思想（以不同的幾何量來刻畫直線），但許多同學(xué)往往只會運用點斜式，不會使用其它設(shè)法。例如，在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最值問題時，最好使用的直線的截距式，原因是截距的乘積的一半的絕對值恰好表示面積。

例1 斜率小于0的直線m經(jīng)過定點（2，4），試求m與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值。設(shè)立截距式（a>0，b>0），代入（2，4），得到運用均值不等式故解得（當(dāng)且僅當(dāng)b=2a取“=”）這種解法簡單明了，比用點斜式方法計算量明顯減少。

上面的例子還只是比較簡單的參數(shù)選擇，下面我們將討論如何利用參數(shù)本身的幾何意義來解決計算問題。首先我們來看兩個命題：

命題一

橢 圓 3x2+4y2=12,定 點 M（2,2）， 直 線 L：3x+4y-6=0，設(shè)經(jīng)過M的直線p交橢圓于A、B兩點，交L于S點，其中，,試探究是否為定值？給出理由。

命題二

橢圓3x2+4y2=12,定點M（2,2），動點S(s,t)滿足SM交橢圓于A、B兩點（可重合）設(shè)且試求S的軌跡方程（不必給出范圍）。

分析：兩個命題均涉及兩個向量式，且問題均為兩個向量的比的關(guān)系。而這兩個向量式其實就是定比分點公式而這里λ與這直線上的點形成了一一對應(yīng)，于是我們可以直接利用λ本身的意義（向量的比）以及與點的關(guān)系來構(gòu)建直線的另一種形式。若設(shè)S（s，t），直線SM：再與橢圓聯(lián)立得到方程的兩根1λ,2λ對應(yīng)了兩個向量式的比，于是對于命題一，（注意S在直線3x+4y-6=0上，故有3s+4t-6=0），對于命題二，的軌跡方程為整個過程幾乎沒有什么計算量，關(guān)鍵點在于合理地選取了參數(shù)，構(gòu)建參數(shù)方程，使運算大幅減少。

因此，合理地選取參數(shù)是快速解決圓錐曲線問題的核心。另附幾種參數(shù)的應(yīng)用心得：對于一般的直線參數(shù)方程：用于解決涉及弦長的問題；向量參數(shù)式：，即可用于解決向量比（或線段比）的問題（本質(zhì)上與定比分點公式一樣）；圓錐曲線的極坐標(biāo)形式在涉及焦點問題時可大幅簡化運算（若不涉及焦點，可以通過仿射變換或正交變換轉(zhuǎn)化為焦點問題），對于三角變形不太熟練的同學(xué)不建議用圓錐曲線的參數(shù)方程。

2 簡化計算

2.1 利用對稱性計算

在圓錐曲線問題中，很多計算都可以利用對稱性簡化。這里所謂的對稱性是指在計算過程中，兩部分的過程完全一樣，則可以算出其中一部分后直接寫出另一部分。例如，聯(lián)立解得交點坐標(biāo)，這兩交點的計算是完全一樣的，唯一的區(qū)別在于k1、k2，因此，我們只需計算出其中一個交點后，另一個交點只需用k2替換掉k1（或k1替換k2）就可以得到。這樣在計算中就收到了事半功倍的效果。

2.2 一元二次方程與韋達定理

圓錐曲線屬于二次曲線，即它們的解析式都為二次方程式。因此我們常常可以將問題往熟悉的一元二次方程轉(zhuǎn)化，利用韋達定理簡化運算過程，使問題得以解決。下面來看一個例子：

命題三

橢圓b2x2+a2y2=a2b2（a＞b＞0），直線L（斜率不為零）經(jīng)過右焦點F，且交橢圓于P、Q兩點，右頂點記為A，并記PA的斜率為k1，QA的斜率為k2，求證：k1·k2為定值

分析：k1與k2具有很強的對稱性，因此我們可以選擇設(shè)立直線，利用對稱性解出交點P、Q，設(shè)與橢圓聯(lián)立得由韋達定理得則利用對稱性，直接得再建立等式或方程求解，利用共線的條件這里t實際上是一個由k1，k2構(gòu)成的對偶式，在計算中可以看作為常量。注意上面等式也具有對稱性，且均為k的二次分式，因此我們將其往二次方程轉(zhuǎn)化。

，這表明k1,k2是該方程的兩根，利用韋達定理得這樣的手段避免了通分、合并同類項等繁重的運算過程，且很簡單明了。

常規(guī)教學(xué)里經(jīng)常是對點運用韋達定理，而很少對其它參數(shù)（例如斜率，弦長等）運用，這里實際上對如何利用韋達定理提供了一個新的方向。

2.3 換元在計算中的作用

很多化簡過程中都會涉及分式運算，這往往是容易出錯的地方，為了減少錯誤率，可以采用換元的寫法。例如，可以用A去替代分母（這樣不用每次都把復(fù)雜的分母寫一遍），在化簡時用A來計算，最后再將A 換回來，這樣可以有效提升計算速度和正確率。

3 結(jié)束語

圓錐曲線的學(xué)習(xí)很能提高一個學(xué)生對計算的整體把握，對于代數(shù)能力的增強有很大的作用。在高中階段，我們在平時的練習(xí)中需要有意識地鍛煉自己的思維能力，而不是一味地套公式、模型解題。以上的命題以及簡化運算方式都是筆者平時思考的結(jié)果，希望對讀者有所啟發(fā)，有所幫助。

[1]羅義銘.圓錐曲線解題中簡化運算的幾種策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2016,(10):135-136.

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