王 偉，許彩云

（閩南理工學(xué)院工業(yè)機(jī)器人測控與模具快速制造福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 石獅362700）

新型余弦齒輪運(yùn)動(dòng)仿真分析

王 偉，許彩云

（閩南理工學(xué)院工業(yè)機(jī)器人測控與模具快速制造福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 石獅362700）

基于Pro/ENGINEER Widefire操作平臺，研究新型余弦齒輪的實(shí)體建模與運(yùn)動(dòng)仿真。介紹了余弦齒輪的齒廓曲線方程，推導(dǎo)了余弦齒廓的共軛齒面方程，建立了完整的余弦齒輪三維實(shí)體模型，并就一對余弦齒輪副進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真分析。通過仿真結(jié)果可以快速、準(zhǔn)確地檢測余弦齒輪副之間的干涉、運(yùn)動(dòng)特性，對提高余弦齒輪的設(shè)計(jì)和制造效率有一定的指導(dǎo)意義。

余弦齒輪；實(shí)體模型；運(yùn)動(dòng)仿真

受Logix齒輪[1]、雙漸開線齒輪[2]等新型齒輪的啟發(fā)，為了克服齒輪在齒輪泵的應(yīng)用過程中存在的某些缺陷[3]，如容積效率低、流量小和困油現(xiàn)象等，提出了一種新型齒輪傳動(dòng)方式——余弦齒輪傳動(dòng)。余弦齒輪的齒廓曲線是一條余弦曲線，由凸曲線和凹曲線兩部分組成。余弦齒廓中間部分曲率半徑很大，有利于提高接觸強(qiáng)度，能保證共軛齒廓的正常嚙合性能，可廣泛應(yīng)用于齒輪泵等領(lǐng)域，對緩解齒輪泵的困油現(xiàn)象、提高其容積效率、增大其流量和壓力等具有積極的意義。

在真實(shí)余弦齒輪加工前，運(yùn)用Pro/ENGINEER軟件，可以精確地建立其三維實(shí)體模型，而后轉(zhuǎn)化到動(dòng)力學(xué)仿真環(huán)境下，添加復(fù)雜的力和約束，然后進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真分析，通過仿真結(jié)果，可以檢測齒輪傳動(dòng)過程中的齒廓干涉和連續(xù)傳動(dòng)情況，然后快速、準(zhǔn)確地修改模型，從而縮短修改時(shí)間，提高設(shè)計(jì)效率。對提高余弦齒輪的設(shè)計(jì)和制造效率有一定的指導(dǎo)意義。

1 余弦齒廓曲線和共軛齒廓方程的推導(dǎo)

1.1 齒廓曲線方程

余弦齒輪的齒廓與雙圓弧齒輪的特征相似，都是齒頂部凹，齒根部凸，其齒廓曲線如圖1所示，在極坐標(biāo)下，齒輪齒廓的極坐標(biāo)方程[4]為：

ρ＝ r+Acos（zφ）

其中，A為振幅，r為分度圓半徑，z為齒數(shù)，z＝ 2πr/p.

其參數(shù)方程為：

圖1 齒廓曲線方程

1.2 共軛齒廓方程

如圖2所示，設(shè)坐標(biāo)系Σ0（O：x，y）為靜坐標(biāo)系，其原點(diǎn)O與嚙合點(diǎn)P相重合，坐標(biāo)系Σ1（O1：x1，y1）與齒廓C1相固連，坐標(biāo)系Σ2（O2：x2，y2）與齒廓C2相固連，O1和O2分別為Σ1和Σ2的原點(diǎn)。在坐標(biāo)系Σ1中，齒廓C1的方程[5]為：

圖2 齒輪嚙合坐標(biāo)系

為了推導(dǎo)齒廓C2的參數(shù)方程，將嚙合點(diǎn)在坐標(biāo)系中的徑矢由坐標(biāo)系直接變換到坐標(biāo)系下：

其中，φ1、φ2分別為齒輪1和齒輪2轉(zhuǎn)過的角度，φ2=i*φ1，i為齒輪傳動(dòng)比，a為齒輪中心距。

如圖3所示，齒輪1的瞬心線是半徑為r1的圓，p為瞬心點(diǎn)，它在固定坐標(biāo)系1中的位置是一定的，已知的齒形a-a與坐標(biāo)系固聯(lián)在設(shè)齒形a-a上任意一點(diǎn)m1（x1，y1）處的切線與x1軸的夾角為β，又由O1作m1p1的垂線，并設(shè)它與O1p1的夾角為ψ，則由圖3可知。

圖3 共軛齒廓的計(jì)算參數(shù)

其中：p點(diǎn)為a-a上M點(diǎn)的法線與Y1交點(diǎn)；p1點(diǎn)為齒形上點(diǎn)m1的法線與節(jié)點(diǎn)的交點(diǎn)。

聯(lián)立式（1）、式（6）和式（7）就可求得齒廓 C2的方程。其共軛齒廓的形狀，也是一條近似余弦形狀的曲線。

2 齒輪實(shí)體模型的建立

輪齒部分是齒輪中最復(fù)雜的部分，余弦齒輪同其它齒輪一樣，為了滿足運(yùn)動(dòng)仿真分析、有限元分析等的需要，要求精確繪制出其三維實(shí)體模型。本文以齒數(shù)z1、模數(shù)m=3 mm、壓力角α＝20°齒寬b=30 mm的余弦齒輪（規(guī)定為齒輪1）為例，配對齒輪2z2=28，基于Pro/Engineer操作軟件，按照漸開線齒輪的三維模型的建立方法[6]，敘述齒輪1和其共軛齒輪（規(guī)定為齒輪2）實(shí)體模型的構(gòu)造過程。

2.1 齒輪1的實(shí)體模型

用Curve/From Equation命令在cartesian坐標(biāo)系下輸入如下方程，獲得齒輪1的一條余弦曲線方程。

通過Mirror命令獲得另一余弦曲線，為了保證齒輪副在嚙合過程中不出現(xiàn)嚙合干涉，齒輪1和2的齒頂均用一段與余弦曲線相切的圓弧來過渡，考慮到齒輪副之間的油膜厚度[7]，該圓弧的半徑取1.

用Extrude命令生成單個(gè)輪齒，Pattern命令生成齒輪1的毛坯模型，用Cut命令生成鍵槽，得到齒輪1的三維實(shí)體模型如圖4所示。

圖4 齒輪1實(shí)體模型

2.2 齒輪2的實(shí)體模型

由于共軛齒廓的曲線方程比較復(fù)雜，按照齒輪1中生成余弦曲線的方法很難實(shí)現(xiàn)。利用Matlab軟件，在共軛齒廓上取20個(gè)點(diǎn)，然后通過點(diǎn)連成線，獲得齒輪2的齒廓，最后按照與齒輪1同樣的方法建立齒輪2的三維實(shí)體模型，如圖5所示。

圖5 齒輪2實(shí)體模型

3 余弦齒輪副嚙合仿真分析

以一對齒輪副為例（z1=20，z2=20，m=30 mm），進(jìn)行齒輪副嚙合仿真分析。圖6為齒輪嚙合仿真界面，圖7所示為單個(gè)輪齒齒廓嚙合接觸區(qū)形狀。

圖6 嚙合仿真界面

圖7 齒輪副接觸區(qū)形狀圖

由圖6、圖7可知：

（1）仿真結(jié)果表明齒輪副無嚙合干涉現(xiàn)象，并能連續(xù)傳動(dòng)。

（2）齒輪副接觸形狀為直線，從而可以推斷余弦齒輪傳動(dòng)形式為線接觸。

4 結(jié)語

本文建立了余弦齒輪的齒廓曲線方程，運(yùn)用齒輪嚙合原理和微分幾何方法，推導(dǎo)了其共軛齒廓方程，利用Pro/ENGINEER的建模功能，生成一對余弦齒輪副，并仿真其嚙合過程。仿真結(jié)果表明余弦齒輪副在嚙合過程中不存在嚙合干涉，能實(shí)現(xiàn)連續(xù)傳動(dòng)，傳動(dòng)形式為線接觸。

[1]Komori T ，Ariga R，Nagata S.A New Gear Profile Having Zero Relative Curvature at Many Contact Points[J].Transactions of the ASME，1990，12（3）：430-436.

[2]張光輝，李鳳吉，魏 靜．分階式雙漸開線齒輪嚙合特性及有限元研究[J]．機(jī)械傳動(dòng)，2008，32（5）：1-5.

[3]欒振輝．齒輪泵研究的現(xiàn)狀與發(fā)展[J]．起重運(yùn)輸機(jī)械，2005（6）：11-13.

[4]Thomas Yeh ，Daniel C.H.Yang，Shih-His Tong.Design of new profiles for high-load capacity gears[J].Mechanism and Machine Theory，2001（36）：1105-1120.

[5]S.Barone.Gear Geometric Design by B-Spline Curve Fitting and Sweep Surface Modeling[J].Engineering with Computers，2001（17）：66-74.

[6]冀 斌，王春燕，盧麗娟，等．基于Pro/E雙圓弧齒輪參數(shù)化建模及虛擬裝配仿真[J]．太原科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，37（1）：50-53.

[7]趙 寧，賈清健，歐陽斌，等．基于潤滑承載接觸分析的直齒輪滑動(dòng)摩擦效率研究[J]．機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2015，34（3）：329-333.

Study on Dynamic Simulation of New Cosine Gear

WANG Wei，XU Cai-yun
（Minnan University of Science and Technology，Industrial Robot Measurement and Control and Mold Manufacturing of Key Laboratories in Fujian Province，Shishi Fujian 362700，China）

Based on Pro/Engineer，the 3D model of cosine gear is built，and the dynamic simulation is studied.In this article，the profile curve equation of cosine gear is introduced，and the conjugate equation is deduced.The 3D model of a pair of gears is built，and the dynamic simulation is studied.From the result of simulating，it can detect the interference and the dynamic characteristics of a pair of cosine gears quickly.It is significant to improve the efficiency of design and manufacturing of cosine gear.

cosine gear；solid model；dynamic simulation

TH132.41

A

1672-545X（2017）10-0009-03

2017-07-07

泉州市科技計(jì)劃項(xiàng)目（2014Z140）；石獅市科技計(jì)劃項(xiàng)目（2014SK12）；工業(yè)機(jī)器人測控與模具快速制造福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目（閩教科〔2017〕8號）資助

王 偉（1984-），男，江西婺源人，工學(xué)碩士，講師，研究方向：精密加工技術(shù)，機(jī)械傳動(dòng)新技術(shù)。