陳璽君

(江蘇省丹陽市呂叔湘中學(xué) 江蘇 鎮(zhèn)江 212300；廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣西 桂林 541004)

豎直平面內(nèi)“輕繩模型”的運動規(guī)律研究

陳璽君

(江蘇省丹陽市呂叔湘中學(xué) 江蘇 鎮(zhèn)江 212300；廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣西 桂林 541004)

利用理論研究與“仿真物理實驗室”實驗驗證相結(jié)合的方法，研究了豎直平面內(nèi)的“輕繩模型”這一重要的單軌道模型問題，分析了小球速度、加速度圖像和規(guī)律，研究得到了小球不能完成完整圓周運動的初速度條件；小球做完整的豎直平面內(nèi)圓周運動的初速度條件；小球沿圓弧“軌道”返回的初速度條件；小球離開圓弧“軌道”做斜拋運動的最低點初速度條件以及斜拋運動的速度大小和方向；闡述了小球從最低點水平方向出發(fā)經(jīng)圓弧上某點斜拋運動后能返回初始點的初速度條件；并給出落點在最低點(出發(fā)點)左右兩側(cè)側(cè)圓弧上的初速度條件．

“輕繩模型” “仿真物理實驗室” 圓弧“軌道” 速度條件 理論與實驗

1 引言

豎直平面內(nèi)的“輕繩模型”是高中物理圓周運動中一類重要的單軌道模型問題，高中物理一般只涉及圓周運動的最高點和最低點，最多涉及圓水平直徑的左邊最遠點和右邊最遠點問題以及在最低點給小球一個多大的初速度，小球能夠完成完整圓周運動和小球能夠完成部分圓周運動．

然而對于小球在豎直平面內(nèi)做非勻速圓周運動：在小球運動過程中的速度、加速度隨時間的變化規(guī)律怎樣，小球何處脫離圓弧“軌道”，脫離后做什么性質(zhì)的運動，脫離后落點如何，等等這樣一些問題并未涉及．

為了研究以上問題，秉著理論與實驗相結(jié)合的原則，先從理論上進行研究尋找解決以上問題的方法、公式、規(guī)律，然后利用“仿真物理實驗室”來模擬和驗證理論的正確性．為方便研究，將本實驗中各參數(shù)設(shè)定為小球質(zhì)量m=1 kg,重力加速度g=9.8 m/s2,繩長R=2 m．

2 題目場景

如圖1所示，剛性繩一端系一質(zhì)量為m的剛性小球，另一端懸掛在固定點上，所有摩擦均不考慮，在最低點A給小球一水平向右的初速度vA，使小球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動起來，圓弧“軌道”半徑為R．

3 研究過程

3.1 小球從A點剛好運動到C點的初速度條件

A→C過程中,由機械能守恒定律知

(1)

vC=0

(2)

由式(1)、(2)可得

(3)

式(3)為小球從A點剛好運動到C點的初速度條件．

然后小球?qū)⒀貓A弧“軌道”原路返回，做周期性擺動．

將g=9.8 m/s2,R=2 m代入式(3)得

利用“仿真物理實驗室”驗證，如圖2所示.

圖2 仿真驗證A到C的條件

軌跡正好半個圓來回擺動，非常完美．

3.2 小球從A點剛好能運動到B點的初速度條件

A→B,小球由機械能守恒定律知

(4)

(5)

由式(4)、(5)可得

(6)

式(6)為小球從A點剛好能運動到B點的初速度條件．

將g=9.8 m/s2,R=2 m代入式(3)得

利用“仿真物理實驗室”驗證，如圖3所示.

圖3 仿真驗證A到B的條件

小球剛好完成豎直平面內(nèi)的完整的圓周運動，理論與實驗相吻合．

3.3 小球在CB圓弧上某點P脫離圓弧“軌道”的初速度條件

由式(3)、(6)可知，小球?qū)⒛芡ㄟ^C點，又不能到達最高點B的速度條件是

(7)

且小球在CB之間某點P處做斜拋運動，脫離圓弧“軌道”．

將g=9.8 m/s2,R=2 m代入式(7)得

取vA=8.5 m/s代入，利用“仿真物理實驗室”驗證，如圖4所示.

圖4 仿真驗證在某點脫離圓弧軌道的條件

小球的確在CB之間某點做斜拋運動，脫離圓弧“軌道”，驗證成功．

3.4 小球在CB之間某點P處做斜拋運動規(guī)律

3.4.1 斜拋運動初速度

設(shè)OP的連線與豎直方向的夾角為θ，如圖5所示.

圖5 斜拋運動

對于小球在P點

(8)

A→P,小球由機械能守恒定律知

(9)

式(8)、(9)聯(lián)立求解得到

(10)

(11)

式(10)、(11)為小球在CB圓弧“軌道”之間P點脫離圓弧“軌道”的速度(亦為斜拋運動的初速度)大小和方向．

表1給出小球在A點的初速度vA不同的情況下對應(yīng)的vP脫離圓弧“軌道”的速度大小及方向.

表1 初速度vA不同情況下對應(yīng)的vP脫離圓弧“軌道”的速度大小及方向

由表中數(shù)據(jù)可以看出：vA在以下范圍內(nèi)

速度vA越大，vP亦越大，θ越小，即脫離點越高．

取vA=7 m/s，8 m/s，9 m/s，利用“仿真物理實驗室”驗證，如圖6所示.

圖6 仿真驗證vA與vP的關(guān)系

理論與實驗完美統(tǒng)一．

3.4.2 小球運動圖像

特別取vA=9 m/s進行研究：得到vx-t圖、vy-t圖、|v|-t圖、ax-t圖、ay-t圖、|a|-t圖.

圖7

由圖可知

(1)小球水平方向的分速度vx先減小再反向增大(圓周運動)后保持不變(繩子拉力為零，只受重力，斜拋水平方向分速度不變)，然后按圖做周期性規(guī)律變化(落回圓弧“軌道”在“軌道”上來回擺動)．

(2)小球豎直方向的分速度vy先增加后減小(圓周運動)后反向增大(繩子拉力為零，只受重力，斜拋豎直方向分速度先增加后減小)，然后按圖做周期性規(guī)律變化(落回圓弧“軌道”在“軌道”上來回擺動)．

(3)需要注意的是vx-t圖、vy-t圖中的拐點并不是斜拋的初始時刻，斜拋的初始時刻在拐點的左邊橫坐標的某個時刻．

(4)從ax-t圖、ay-t圖、|a|-t圖可看出，小球運動過程中有段時間加速度保持不變，大小為9.8 m/s2，理論分析很容易理解，這段時間小球做斜拋運動，只受重力作用．

下面作|a|-t、|v|-t圖像的精細圖，如圖8所示.

圖8

由|a|-t圖可以讀出拐點g=9.8 m/s2對應(yīng)的時刻為0.69 s，再讀對應(yīng)的時刻0.69 s的|v|-t可得vP=3.73 m/s左右，在誤差允許的范圍內(nèi)，與式(10)計算出來的表格中的速度3.73 m/s大小一致，理論與實驗完美統(tǒng)一．

4 小球脫離P點后做斜拋運動規(guī)律的更多思考

若要小球脫離P點斜拋運動能落回到原出發(fā)點A，對小球的初速度vA有什么要求呢？

分析：P→A，小球做斜拋運動可得

Rsinθ=vPtcosθ

(12)

(13)

由式(12)、(13)消去時間參量t，再將式(10)代入整理可得

(14)

再將式(11)代入式(14)得

(15)

(16)

(17)

整理可得

2y3+3y2-1=0

(18)

(19)

解方程得

(20)

式(20)表明欲使小球從最低點A水平向右出發(fā)，經(jīng)部分圓周運動、斜拋運動后還能落回原出發(fā)點A，則須在A處施加的水平速度大小為

代入初始數(shù)據(jù)

利用“仿真物理實驗室”驗證,如圖9所示.

圖9 仿真驗證落回到原出發(fā)點

理論與實驗相統(tǒng)一．

分類總結(jié)：

5 結(jié)束語

1 漆安慎.普通物理學(xué)教程·力學(xué)(第二版)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書.北京：高等教育出版社，2009

2017-03-28)