黃正洪

人們不能用尺規(guī)對(duì)圓周和弧作任意等分，對(duì)此我曾在CIP為2015185547的《費(fèi)馬大定理的一個(gè)初等證明》的《試論作圖題的重要性》一文中敘述為：用尺規(guī)作圖的方法，我們只可以對(duì)圓周進(jìn)行二等分、三等分、四等分、五等分及這些等分的2n倍等分……我們不能對(duì)圓周進(jìn)行七等分、九等分、十一等分、十三等分……此言下之意即為，圓周和弧的尺規(guī)等分一直都在困擾著人們的思緒，但是在工程實(shí)踐中，此一問(wèn)題的存在又是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的大問(wèn)題，且一直到現(xiàn)在為止，人們借助等分工具也還是沒(méi)有一種完全有效的辦法能夠徹底解決此結(jié)之憂.故有需要之時(shí)，人們不得不采用估算、測(cè)量、逼近或近似作圖的方法去權(quán)宜面對(duì)，而權(quán)宜面對(duì)的結(jié)局往往不令人滿意.究竟有沒(méi)有切實(shí)可行的手段能突破這個(gè)數(shù)學(xué)王國(guó)里遺留的難題呢？有道是山不轉(zhuǎn)水轉(zhuǎn)，既然在二維的平面上不能用尺規(guī)作圖的方式去圓我們的圓周和弧的精確等分之夢(mèng)，那么我們就另辟蹊徑去通向光明.眾所周知，圓錐體及其想象延伸體的表面包含了天下所有的圓周和弧，它們?cè)谌S空間里的呈現(xiàn)是那么的光彩奪目，是那么的脈脈含情，就讓我們從這緣分里開(kāi)始探索吧，精誠(chéng)所至必能金石為開(kāi).

一、準(zhǔn)備一個(gè)頂角為60°、高為200的正圓錐體，由于確定了錐頂角為60°，知正圓錐體的正面投影是一等邊三角形，進(jìn)而知此圓錐體的母線之長(zhǎng)剛好與底圓直徑相等，規(guī)定此圓錐體能沿其鉛垂軸心線能作上下平移.我們把這樣一個(gè)圓錐體叫作等分工具錐.

二、準(zhǔn)備一根已標(biāo)記有n個(gè)等分點(diǎn)的專用細(xì)線，將其首尾重疊，然后固定細(xì)線的多余部分，這樣就形成了一個(gè)邊長(zhǎng)相等的任意n邊形，規(guī)定這個(gè)n邊形的邊長(zhǎng)之和不得超過(guò)工具錐底圓的周長(zhǎng).

三、將任意n邊形套在等分工具錐上.

四、將一個(gè)直徑為30、長(zhǎng)為200、用軟材料制成的薄壁圓柱開(kāi)口刷懸置于工具錐鉛垂軸心線的正上方，且確定此圓柱開(kāi)口刷的每一刷片受力時(shí)能同時(shí)均等向外側(cè)沿錐面闊開(kāi)而形變成錐臺(tái).

五、將工具錐沿鉛垂軸心線向上平移，此時(shí)圓柱開(kāi)口刷因被動(dòng)受力而壓實(shí)了任意n邊形.由圓柱開(kāi)口刷的加工制作和同軸受力而變形的情形，我們能證得這個(gè)任意n邊形所處的平面與工具錐底面平行.于是知這個(gè)n邊形此時(shí)已型變?yōu)榱艘粋€(gè)名副其實(shí)的圓，從理論上來(lái)說(shuō)，專用細(xì)線上的n個(gè)等分點(diǎn)已精確的等分了此圓周而產(chǎn)生了n段相等的孤，我們把這個(gè)型變?yōu)閳A的圓叫作等分基準(zhǔn)圓.

以上五點(diǎn)是圓周精確等分的理論基礎(chǔ)，有了工具錐就有了精確等分圓周的能力.這種能力是有限的，我們可以對(duì)其進(jìn)行具體操作，也是無(wú)限的，我們可以將其工作過(guò)程中的一部分進(jìn)行想象操作.此法中的巧妙在于：獲得了基準(zhǔn)圓上的n個(gè)等分點(diǎn)以后，即可做出過(guò)這些等分點(diǎn)的圓錐的母線，由于所有母線都可以任意延長(zhǎng)，故我們可以將欲等分的圓周定義為任意大.由于延長(zhǎng)后所形成的想象棱面三角形與原錐體上的局部剖視的棱面三角形相似，于是可根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例而求得最終結(jié)果.說(shuō)到這里，我相信您不會(huì)懷疑我們能精確等分您所給出的任意直徑和任意段數(shù)的圓周了吧.我們的結(jié)論是：如果您所給的欲等分的圓周是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的圓，則可將工具錐沿鉛垂軸心線向上平移而將該圓壓實(shí)在圓柱開(kāi)口刷下，由于已做出了基準(zhǔn)圓周的所有等分點(diǎn)的母線，故欲求圓環(huán)與母線的所有交點(diǎn)即為所求；如果您給出的圓周是非實(shí)物的（即只已知圓心和直徑），則可將此直徑作為半徑，以錐頂點(diǎn)作為圓心畫(huà)弧，其弧同時(shí)交兩相鄰母線于兩點(diǎn)，連接此兩點(diǎn)，則此兩點(diǎn)之長(zhǎng)即為欲求圓周的內(nèi)接正n邊形的邊長(zhǎng)，而此正n邊形的所有角點(diǎn)即為所求；如果您給出的欲等分圓周大于了圓錐的任何圓截面，則將其中相鄰兩條母線延長(zhǎng)使其與欲等分圓周的直徑相等，連接此兩延長(zhǎng)線的端點(diǎn)，則此兩端點(diǎn)之長(zhǎng)即為欲等分圓周的內(nèi)接正n邊形的邊長(zhǎng)，而此n邊形的所有角點(diǎn)即為欲等分圓周的n個(gè)等分點(diǎn).下面我們來(lái)看工程實(shí)例.

例1 福建永定有修建圍屋的傳統(tǒng)，為了防范倭寇入侵，村民將圍屋的出入口巧妙地安排在中央公共用地的地下秘道之中，而圍屋則圍環(huán)而建，其形與鐵桶相似，這樣的建筑進(jìn)可攻、退可守，敵人根本進(jìn)不來(lái).當(dāng)年工匠們要將外圍直徑100米，內(nèi)圍直徑80米的同心圓環(huán)內(nèi)的土地均勻地分配給49個(gè)家庭建房.將怎么樣來(lái)分配這些土地呢？這里我將工匠們當(dāng)時(shí)的操作過(guò)程簡(jiǎn)述如下：

1.用專用細(xì)線制成一個(gè)邊長(zhǎng)相等的任意49邊形，將這個(gè)49邊形套在等分工具錐上.

2.將工具錐沿鉛垂軸心線向上平移，此時(shí)圓柱開(kāi)口刷被動(dòng)受力而壓實(shí)了專用細(xì)線任意49邊形，于是此49邊形變成一個(gè)平行于錐底的基準(zhǔn)圓，而細(xì)線上的49個(gè)等分點(diǎn)則成為基準(zhǔn)圓周的等分點(diǎn).

3.作相鄰兩等分點(diǎn)的母線，并將其延伸（這個(gè)延伸的工作也可移到平地上進(jìn)行，如果場(chǎng)地有限的話還可想辦法分段進(jìn)行），使其長(zhǎng)度剛好等于內(nèi)圓直徑80米，連接此無(wú)形圓錐的相鄰母線上的有型兩個(gè)端點(diǎn)，則兩個(gè)端點(diǎn)的連線之長(zhǎng)即為同心內(nèi)圓的內(nèi)接正49邊形的邊長(zhǎng)，將所有過(guò)此49邊形頂角位置的半徑延長(zhǎng)到與大圓相交，則所有49段環(huán)塊即為所求（其證明過(guò)程留給同學(xué)們自行思考）.

工人師傅們把“3”的工作過(guò)程叫作放大樣，放大樣在各種不同情況下都可能會(huì)用到，但有平面幾何知識(shí)的工人師傅馬上會(huì)想到這一結(jié)果也可用數(shù)學(xué)的方法求得.譬如就此例而言.我們沿工具錐兩相鄰母線作局部剖就會(huì)看到正n棱錐的一個(gè)三角形棱面，此棱面三邊之長(zhǎng)都為已知，由于延長(zhǎng)的邊也為已知，則根據(jù)相似三角形的相似比而可求得結(jié)果.即：工具錐母線長(zhǎng)比延長(zhǎng)錐母線長(zhǎng)=基準(zhǔn)圓等分弧的弦長(zhǎng)比欲求圓等分弧的弦長(zhǎng)（其中延長(zhǎng)錐母線長(zhǎng)即為欲求圓直徑）.不過(guò)如此求解的結(jié)果有的可能難于畫(huà)出，還不如放大樣這種實(shí)用畫(huà)圖來(lái)得實(shí)在.但放大樣若太大，則過(guò)程就會(huì)繁雜，此時(shí)就只好采用計(jì)算的方法.總之此一圓周的等分很是實(shí)用，也很精確，我們要熟記之.在工程實(shí)踐中還有許多其他等分方法可用，留給同學(xué)們自己去發(fā)現(xiàn).有道是技藝一通則百通，我們既然明白了利用工具錐能全面地解決圓周的精確等分問(wèn)題，那么弧的實(shí)用精確等分問(wèn)題也就不在話下了，或者說(shuō)在前述等分方法下，我們就有了拓展的思路和方案的啟迪.

例2 已知有一大片扇形的薄鐵板，工程需要要將其分成形狀完全相同的7片，用以來(lái)加工碎草農(nóng)機(jī)的7個(gè)葉片.面對(duì)這樣的一個(gè)問(wèn)題，我們的工人師傅有一種傳統(tǒng)且實(shí)用的精確等分方法.這里我將這一操作過(guò)程整理如下，請(qǐng)諸君指正：

1.在紙上畫(huà)一條適當(dāng)長(zhǎng)的直線.

2.在扇形薄鐵板的弧邊上漆上紅色印泥.

3.從弧邊的一個(gè)端點(diǎn)開(kāi)始沿直線向前滾動(dòng)，滾動(dòng)到弧邊的另一個(gè)端點(diǎn)為止，此時(shí)在紙的直線上留下了紅線印記，顯然此紅線即為扇形薄鐵板的弧邊的實(shí)長(zhǎng)線.

4.用尺規(guī)作圖的方法將此紅線分作7等分，并將此7等分點(diǎn)一一做出明顯標(biāo)記.

5.按第一次滾動(dòng)的方式，端點(diǎn)對(duì)端點(diǎn)，第二次滾動(dòng)扇形薄鐵板的弧邊，這次是沿紅線方向前進(jìn)，現(xiàn)在我們可在扇形薄鐵板的弧邊上一一標(biāo)記下紅線上的7個(gè)等分點(diǎn).

6.作扇形頂點(diǎn)與這些等分點(diǎn)的連接線，則扇形薄鐵板被分成形狀完全相同的7片（其證明過(guò)程留給同學(xué)們自行思考）.

我們的工人師傅把這個(gè)工作過(guò)程叫作印記法.“印記法”在各種不同情況下都有可能會(huì)要用到，當(dāng)然此法在很多情況下同樣也可借助數(shù)學(xué)的方法求得，但其精準(zhǔn)欠佳，故工人師傅常喜歡直接用印記法求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、線、面.總之“印記法”和“放大樣”是工程領(lǐng)域中的常用之法，是實(shí)用精確n等分圓周和弧的不可或缺的方法，這些方法雖無(wú)資料可查，卻在工廠師徒之間代代口口相傳，我們不可小視之.我之所以要鄭重其事地撰寫(xiě)此文，也是想要求得大家對(duì)這種實(shí)用等分過(guò)程的理解和認(rèn)同，去有益于我們今后的生產(chǎn)實(shí)踐.我盼念諸君在審閱過(guò)此文之后，能為我們學(xué)專業(yè)技術(shù)的學(xué)生、為我們愛(ài)動(dòng)手和動(dòng)腦的學(xué)生去做細(xì)心演示和傾情引領(lǐng)，我想這為學(xué)生們心中的科學(xué)之門的開(kāi)啟不無(wú)助益，也許您的興致所至，會(huì)使我們的學(xué)生、我們的子女愛(ài)上平面幾何，愛(ài)上立體幾何、愛(ài)上工程設(shè)計(jì)，而成為優(yōu)秀的專門人才.因?yàn)槲抑?，在這樣一個(gè)比較獨(dú)特的學(xué)習(xí)園地里，我們學(xué)生求知的信心是建立在科學(xué)操作的基礎(chǔ)上，而科學(xué)操作的能力是發(fā)芽于長(zhǎng)期的實(shí)習(xí)教學(xué)之中，對(duì)此教學(xué)情結(jié)我有著深刻的感受.記得我曾在實(shí)習(xí)教學(xué)時(shí)期表彰過(guò)一個(gè)對(duì)上述習(xí)題提供了另一種解題途徑的學(xué)生.由于她的方法很有特色，我至今記憶猶新.現(xiàn)敘述如下：

1.將扇形薄鐵板卷起，使兩根邊母線重合而形成一個(gè)頂角不知為幾何的圓錐（如果薄鐵板卷不動(dòng)，可改在一同型紙上進(jìn)行）.

2.將邊長(zhǎng)相等任意7細(xì)線邊形套在此圓錐之上，并使其在圓柱開(kāi)口刷的軸線下作同軸上升平移.此時(shí)細(xì)線邊形變成了一個(gè)平行于錐底圓的基準(zhǔn)圓，細(xì)線上的7個(gè)等分點(diǎn)變成圓周上的7個(gè)等分點(diǎn).

3.過(guò)這些等分點(diǎn)作圓錐的7根母線.則形狀完全相同的7片薄鐵板可沿這些母線剪出（其證明過(guò)程留給同學(xué)們自行思考）.

該學(xué)生在吃透“例1”之巧后，由平面出發(fā)去建立起立體模型來(lái)解題，這是逆向思維下舉一反三的神來(lái)一筆.如此別出心裁的解題思路，如此清晰高明的解題技巧，真叫人佩服.我雖為人師，愿從其而學(xué).讓我們師生且思且想且寫(xiě)且做而共同努力吧.我愿無(wú)拘無(wú)束、海闊天空的想象力在我們學(xué)生的腦海里自由馳騁.我愿學(xué)生們?cè)诹己玫沫h(huán)境下，在教師和家長(zhǎng)的關(guān)愛(ài)之中，學(xué)業(yè)有成而終成國(guó)之大器.