常海英
【摘要】人教A版教科書(shū)《高中數(shù)學(xué)選修2-1》在編寫(xiě)“圓錐曲線”內(nèi)容時(shí),在例題、習(xí)題、閱讀資料等內(nèi)容設(shè)置上都滲透或體現(xiàn)著圓錐曲線性質(zhì)與方程的統(tǒng)一性,如果在教學(xué)中能將這些內(nèi)容整合,形成整體認(rèn)識(shí),對(duì)學(xué)生和教師加深對(duì)圓錐曲線的認(rèn)識(shí)大有好處.
【關(guān)鍵詞】橢圓;雙曲線;拋物線
將教材中例題、習(xí)題、探究問(wèn)題等問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比,推廣并整理成一般性結(jié)論,形成對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一性的整體認(rèn)知.人教A版教科書(shū)《高中數(shù)學(xué)選修2-1》中有這樣一些例題和習(xí)題:(1)設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為-49,求點(diǎn)M的軌跡方程.
(2)設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為49,求點(diǎn)M的軌跡方程.
(3)一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切,同時(shí)與圓x2+y2-6x+5=0外切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程,并說(shuō)明它是什么曲線?
(4)一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F(3,0),同時(shí)與定直線l:x=-3相切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程,并說(shuō)明它是什么曲線?
上述問(wèn)題中,(1)(3)所求出的軌跡是橢圓,(2)求出的是雙曲線,(4)是雙曲線.將上述4個(gè)問(wèn)題一般化,我們就可以整合出圓錐曲線的統(tǒng)一性對(duì)照表.
項(xiàng)目橢圓雙曲線拋物線
定義
第一定義
|PF1|+|PF2|=2a(a>c>0)
F1(c,0),F(xiàn)2(-c,0)
第一定義||PF1|-|PF2||=2a(c>a>0)
F1(c,0)F2(-c,0)
第二定義平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為常數(shù)e(0
第二定義平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為常數(shù)e(e>1)的點(diǎn)的集合.
平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離等于到定直線l的距離的點(diǎn)的集合.(其中|MN|表示動(dòng)點(diǎn)M到定直線l的距離)
標(biāo)準(zhǔn)方程
對(duì)應(yīng)方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)
(a2=b2+c2)
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
(c2=a2+b2)
y2=2px(p>0)
Fp2,0,l:x=-p2
統(tǒng)一方程(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0
動(dòng)點(diǎn)軌跡及性質(zhì)
1
與兩個(gè)定圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切的動(dòng)圓圓心的軌跡是橢圓.
與兩個(gè)定圓都外切的動(dòng)圓圓心的軌跡是雙曲線.
經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)且與定直線相切的動(dòng)圓圓心軌跡是拋物線.
2圓O的半徑為定長(zhǎng)r,A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn),P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是橢圓.
圓O的半徑為定長(zhǎng)r,A是圓O外一個(gè)定點(diǎn),P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是雙曲線.
3橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)
除長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)外任一點(diǎn)P與長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為常數(shù)-b2a2.
雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上除兩頂點(diǎn)外任一點(diǎn)P與兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為常數(shù)b2a2.
4
若橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),M是x軸上一點(diǎn),且PM平分△PF1F2,以P為頂點(diǎn)的外角,過(guò)F2作PM的垂線,交F1P延長(zhǎng)線上一點(diǎn)Q,則Q點(diǎn)的軌跡是圓.
若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P是雙曲線上一動(dòng)點(diǎn),M是x軸上一點(diǎn),且PM平分∠F1PF2,過(guò)F2作PM的垂線,交F1P上一點(diǎn)Q,則Q點(diǎn)的軌跡是圓.
以橢圓為例,現(xiàn)將橢圓的第一定義轉(zhuǎn)化到第二定義上.如圖,以經(jīng)過(guò)橢圓兩焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的直線為x軸,線段F1F2的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),橢圓的焦距為2c(c>0),那么焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是(-c,0),(c,0).又設(shè)M與F1,F(xiàn)2的距離的和為2a(a>c>0).由橢圓的定義,橢圓就是集合
P={M||MF1|+|MF2|=2a}.
因?yàn)閨MF1|=(x+c)2+y2,|MF2|=(x-c)2+y2,
所以(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a.(*)
整理得(x-c)2+y2a2c-x=ca.(1)
表示點(diǎn)M到定點(diǎn)F2與到定直線x=a2c的距離之比等于定值ca.
(x+c)2+y2x+a2c=ca.(2)
表示點(diǎn)M到定點(diǎn)F1與到定直線x=-a2c的距離之比等于定值ca.
(1)式或(2)式告訴我們,橢圓就是到定點(diǎn)與到定直線的距離之比等于定值的點(diǎn)的軌跡.這樣就由橢圓第一定義轉(zhuǎn)化到第二定義上了,并且橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn),兩條對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線,比值為離心率e.仿照上述推導(dǎo),雙曲線也會(huì)出現(xiàn)類似結(jié)論.這樣就深入理解了橢圓、雙曲線第一定義和第二定義之間的聯(lián)系,更深入理解橢圓和雙曲線之間有眾多統(tǒng)一性的內(nèi)在本質(zhì).