常海英

【摘要】人教A版教科書(shū)《高中數(shù)學(xué)選修2-1》在編寫(xiě)“圓錐曲線”內(nèi)容時(shí)，在例題、習(xí)題、閱讀資料等內(nèi)容設(shè)置上都滲透或體現(xiàn)著圓錐曲線性質(zhì)與方程的統(tǒng)一性，如果在教學(xué)中能將這些內(nèi)容整合，形成整體認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)生和教師加深對(duì)圓錐曲線的認(rèn)識(shí)大有好處.

【關(guān)鍵詞】橢圓；雙曲線；拋物線

將教材中例題、習(xí)題、探究問(wèn)題等問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比，推廣并整理成一般性結(jié)論，形成對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一性的整體認(rèn)知.人教A版教科書(shū)《高中數(shù)學(xué)選修2-1》中有這樣一些例題和習(xí)題：（1）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為-49，求點(diǎn)M的軌跡方程.

（2）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為49，求點(diǎn)M的軌跡方程.

（3）一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)與圓x2+y2-6x+5=0外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線？

（4）一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F（3，0），同時(shí)與定直線l：x=-3相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線？

上述問(wèn)題中，（1）（3）所求出的軌跡是橢圓，（2）求出的是雙曲線，（4）是雙曲線.將上述4個(gè)問(wèn)題一般化，我們就可以整合出圓錐曲線的統(tǒng)一性對(duì)照表.

項(xiàng)目橢圓雙曲線拋物線

定義

第一定義

|PF1|+|PF2|=2a（a>c>0）

F1（c，0），F(xiàn)2（-c，0）

第一定義||PF1|-|PF2||=2a（c>a>0）

F1（c，0）F2（-c，0）

第二定義平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為常數(shù)e（0

第二定義平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為常數(shù)e（e>1）的點(diǎn)的集合.

平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離等于到定直線l的距離的點(diǎn)的集合.（其中|MN|表示動(dòng)點(diǎn)M到定直線l的距離）

標(biāo)準(zhǔn)方程

對(duì)應(yīng)方程

x2a2+y2b2=1（a>b>0）

（a2=b2+c2）

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

（c2=a2+b2）

y2=2px（p>0）

Fp2，0，l：x=-p2

統(tǒng)一方程（1-e2）x2+y2-2pe2x-p2e2=0

動(dòng)點(diǎn)軌跡及性質(zhì)

1

與兩個(gè)定圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切的動(dòng)圓圓心的軌跡是橢圓.

與兩個(gè)定圓都外切的動(dòng)圓圓心的軌跡是雙曲線.

經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)且與定直線相切的動(dòng)圓圓心軌跡是拋物線.

2圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是橢圓.

圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O外一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是雙曲線.

3橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）

除長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)外任一點(diǎn)P與長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為常數(shù)-b2a2.

雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上除兩頂點(diǎn)外任一點(diǎn)P與兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為常數(shù)b2a2.

4

若橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，M是x軸上一點(diǎn)，且PM平分△PF1F2，以P為頂點(diǎn)的外角，過(guò)F2作PM的垂線，交F1P延長(zhǎng)線上一點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)的軌跡是圓.

若雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，M是x軸上一點(diǎn)，且PM平分∠F1PF2，過(guò)F2作PM的垂線，交F1P上一點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)的軌跡是圓.

以橢圓為例，現(xiàn)將橢圓的第一定義轉(zhuǎn)化到第二定義上.如圖，以經(jīng)過(guò)橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c（c>0），那么焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是（-c，0），（c，0）.又設(shè)M與F1，F(xiàn)2的距離的和為2a（a>c>0）.由橢圓的定義，橢圓就是集合

P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

因?yàn)閨MF1|=（x+c）2+y2，|MF2|=（x-c）2+y2，

所以（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a.（*）

整理得（x-c）2+y2a2c-x=ca.（1）

表示點(diǎn)M到定點(diǎn)F2與到定直線x=a2c的距離之比等于定值ca.

（x+c）2+y2x+a2c=ca.（2）

表示點(diǎn)M到定點(diǎn)F1與到定直線x=-a2c的距離之比等于定值ca.

（1）式或（2）式告訴我們，橢圓就是到定點(diǎn)與到定直線的距離之比等于定值的點(diǎn)的軌跡.這樣就由橢圓第一定義轉(zhuǎn)化到第二定義上了，并且橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)，兩條對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線，比值為離心率e.仿照上述推導(dǎo)，雙曲線也會(huì)出現(xiàn)類似結(jié)論.這樣就深入理解了橢圓、雙曲線第一定義和第二定義之間的聯(lián)系，更深入理解橢圓和雙曲線之間有眾多統(tǒng)一性的內(nèi)在本質(zhì).