宋貴寶 劉澤坤 羅亞民 李一夫

1 引言

Bootstrap自助法實(shí)質(zhì)是利用重抽樣技術(shù)來評(píng)估不確定性，利用再生子樣對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，其關(guān)鍵在于獲得可信程度高的再生子樣。Bootstrap自助法是一種對(duì)中等數(shù)量規(guī)模的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的較優(yōu)方法，在小子樣和特小子樣條件下再生子樣可信度不高［1］。

新時(shí)期條件下，導(dǎo)彈更新?lián)Q代速度加快、單枚造價(jià)高昂。針對(duì)導(dǎo)彈命中精度進(jìn)行的評(píng)定試驗(yàn)，現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)次數(shù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)少，直接運(yùn)用Bootstrap法，產(chǎn)生的再生子樣重復(fù)率高，其統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果偏差較大。同時(shí)，在導(dǎo)彈生產(chǎn)定型階段存在著大量的驗(yàn)前信息。如何利用驗(yàn)前信息去擴(kuò)充現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)觀測(cè)樣本，改進(jìn)Bootstrap自助法再生子樣的獲取方式，提高再生子樣的真實(shí)程度，是一個(gè)值得研究的問題。

基于此，本文針對(duì)對(duì)地攻擊導(dǎo)彈命中精度的評(píng)定問題，選取圓概率偏差CEP指標(biāo)，采用非參數(shù)Bootstrap法，通過利用各類通過相容性檢驗(yàn)的驗(yàn)前信息來完善現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)觀測(cè)樣本，并引入重要度抽樣的思想，保護(hù)更為寶貴的原始觀測(cè)樣本數(shù)據(jù)，提高再生子樣的真實(shí)程度和最終評(píng)定結(jié)果準(zhǔn)確性。

2 命中精度評(píng)定試驗(yàn)指標(biāo)

2.1 圓概率偏差CEP

命中精度表現(xiàn)了導(dǎo)彈武器系統(tǒng)彈藥相對(duì)于固定目標(biāo)點(diǎn)的落點(diǎn)散布特性，客觀反映了導(dǎo)彈武器系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)的命中能力。對(duì)戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈和攻擊地面目標(biāo)的飛航導(dǎo)彈進(jìn)行命中精度的評(píng)定，其實(shí)質(zhì)就是通過獲取各類試驗(yàn)信息，對(duì)導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的命中精度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。其中，圓概率偏差（CEP）是導(dǎo)彈武器系統(tǒng)命中精度評(píng)定最常用的指標(biāo)。

圓概率偏差（CEP）指的是在穩(wěn)定的發(fā)射條件下，向目標(biāo)發(fā)射的導(dǎo)彈武器系統(tǒng)，有50%概率落入以期望彈著點(diǎn)（散步中心）為圓心、R為半徑的散布圓（等概率圓）內(nèi)，該散布圓半徑R即為圓概率偏差CEP［2］。

針對(duì)平面目標(biāo)射擊，以目標(biāo)為圓心，射擊方向?yàn)榭v軸，垂直于射擊方向?yàn)闄M軸，（X，Z）表示落點(diǎn)偏差坐標(biāo)并服從正態(tài)分布，縱橫向獨(dú)立，（X，Z）～N（μX，μZ，σ2X，σ2Z）。如下式所示：

式中，當(dāng)P=50%時(shí)，R即為圓概率偏差CEP；μX、μZ為縱橫向射擊準(zhǔn)確度（系統(tǒng)誤差）要求，σX、σZ為縱橫向射擊密集度（標(biāo)準(zhǔn)差）要求，因此圓概率偏差CEP可綜合反映四個(gè)指標(biāo)（μX，μZ，σ2X，σ2Z），能夠很好的融合射擊準(zhǔn)確度和密集度進(jìn)行表征。

2.2 命中精度縱橫向聯(lián)合檢驗(yàn)

從工程應(yīng)用的角度考慮，對(duì)圓概率偏差CEP進(jìn)行評(píng)定，直接尋找相關(guān)統(tǒng)計(jì)量較為困難。一般來說，由于系統(tǒng)誤差可采用各種手段進(jìn)行補(bǔ)償修正，當(dāng)系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)小于隨機(jī)散布偏差時(shí)，對(duì)導(dǎo)彈命中精度CEP的評(píng)定試驗(yàn)，可轉(zhuǎn)化為對(duì)射擊密集度（標(biāo)準(zhǔn)差）σ的評(píng)定。

假定系統(tǒng)誤差造成的落點(diǎn)偏差經(jīng)過補(bǔ)償修正，射擊無系統(tǒng)誤差，且落點(diǎn)散布為圓散布。對(duì)落點(diǎn)偏差坐標(biāo)（X，Z），有X ～ N（0，σ2X），Z ～ N（0，σ2Z）。

記σ2X?DX，σ2Z?DZ，則對(duì)于圓概率偏差CEP的評(píng)定，可轉(zhuǎn)化為對(duì)射擊密集度σ的評(píng)定［3］，且當(dāng)σX= σZ= σ0時(shí)，可得：

當(dāng)σX≠σZ時(shí)，可得：

3 Bootstrap自助法

3.1 Bootstrap法原理

設(shè)某型導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)i.i.d.樣本X=｛X1，X2，…，Xn｝來自未知總體分布，Xi～ F（x），θ=θ（F）是總體分布F的未知數(shù)，由子樣X1，X2，…，Xn作經(jīng)驗(yàn)分布Fn，= ( )

Fn為θ的估計(jì)，記估計(jì)誤差：

將估計(jì)值 θ(j)(F )作為θ（F）的子樣，可作出θ（F）的抽樣分布，并由此出發(fā)，作出關(guān)于θ的統(tǒng)計(jì)推斷［4～6］。

3.2 再生子樣獲取的抽樣方法

獲取再生子樣，首先要確定抽樣分布函數(shù)Fn。根據(jù)分布函數(shù)Fn中是否含有待定參數(shù)，再生子樣的抽樣方式可分為非參數(shù)抽樣和參數(shù)抽樣。這里介紹非參數(shù)抽樣法。

將獲得的i.i.d子樣X1，X2，…，Xn按從小到大排序，可得 X=｛X（1），X（2），…，X（n）｝，且X（1）≤ X（2）≤ … ≤ X（n）?？蓸?gòu)造經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)如下［7］：

產(chǎn)生服從該經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的再生子樣步驟如下：

每次產(chǎn)生一個(gè)［1，n］區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)整數(shù)η，則可根據(jù)η產(chǎn)生新的樣本點(diǎn)X（η）；重復(fù)該過程n次，可得到一組再生子樣X*。

由經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)可知，每個(gè)樣本點(diǎn)Xi都有相同的被抽中概率，特別是抽樣次數(shù)很大時(shí)，每個(gè)樣本點(diǎn)的出現(xiàn)頻率都趨近于 1/n［8］。

3.3 區(qū)間估計(jì)

對(duì)于參數(shù)θ，假定根據(jù)Bootstrap法產(chǎn)生的i組再生子樣所獲得的關(guān)于θ的參數(shù)估計(jì)為j* ，將j*按照大小順序排列，可得：

因此，給定某一水平α，通過區(qū)間截取，可獲得置信度水平為1－α的Bootstrap區(qū)間估計(jì)為

4 小子樣條件下改進(jìn)Bootstrap法

非參數(shù)Bootstrap抽樣法中產(chǎn)生的新的再生子樣均包含在原樣本中，且當(dāng)原樣本數(shù)量足夠時(shí)，產(chǎn)生的再生子樣中包含有重復(fù)子樣的概率極低。但是該方法的缺陷在于，當(dāng)待抽樣的原樣本的數(shù)量較少時(shí)，尤其是小子樣、特小子樣情況下（如n≤5），重抽樣的再生子樣會(huì)出現(xiàn)“退化”現(xiàn)象，即會(huì)多次出現(xiàn)兩組子樣相同的情況［9］。

因此考慮利用可信的驗(yàn)前信息，對(duì)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)充，擴(kuò)大待抽樣的原樣本容量，并引入重要度抽樣的思想保護(hù)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，提高Bootstrap方法產(chǎn)生的再生子樣與真實(shí)分布的相符合程度。

4.1 驗(yàn)前信息相容性KS檢驗(yàn)

導(dǎo)彈在生產(chǎn)定型等過程中的驗(yàn)前信息種類繁多。在應(yīng)用這些驗(yàn)前信息前，必須對(duì)驗(yàn)前信息和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息進(jìn)行相容性檢驗(yàn)，本節(jié)采用KS檢驗(yàn)法。

假定有來自于總體分布F（x）的樣本：

其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為Fm（x）。

另有來自總體分布G（y）的樣本：

其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為Gn（y）。

取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

并給定顯著性水平α，若

則可認(rèn)為兩樣本不屬于同一總體，否則屬于同一總體。式中

Dl，α可通過查找柯爾莫格洛夫檢驗(yàn)臨界值表得出。

4.2 基于驗(yàn)前信息的改進(jìn)Bootstrap抽樣

假定有n組現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)為

且(Xi，Zi) ～ N（0，0，σX2，σZ2）。另有NF組已經(jīng)通過顯著性水平為α的KS檢驗(yàn)的驗(yàn)前信息落點(diǎn)偏差數(shù)據(jù)為

為避免現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)被大量驗(yàn)前信息所“湮沒”，引入重要度抽樣的思想［10～11］，根據(jù)不同類信息源的臨界檢驗(yàn)水平αL（即超過該水平無法通過相容性檢驗(yàn)）來映射信息源的置信度ωi。

工程上相容性檢驗(yàn)的水平一般取0.1～0.4，因此采用以下從臨界檢驗(yàn)水平αL到置信度ωi的線性映射：

假定存在p類驗(yàn)前信息源，每類信息源的臨界檢驗(yàn)水平為 αL(i)（i=1，2 ，…，p），則有線性映射：

根據(jù)置信度確定重要度。先令現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)子樣本的置信度ε0為1，則p類驗(yàn)前信息源的重要度為

將上述兩組數(shù)據(jù)相混合，可以得到能夠產(chǎn)生再生子樣X*的待抽樣樣本：

現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)子樣本的重要度為

4.3 改進(jìn)區(qū)間估計(jì)法

針對(duì)傳統(tǒng)區(qū)間估計(jì)方法估計(jì)效率不高，且總體分布非對(duì)稱時(shí)效果不佳的不足，本節(jié)采用Bootstrap-t區(qū)間估計(jì)法。

Bootstrap-t區(qū)間估計(jì)相關(guān)步驟如下：

1）根據(jù)觀測(cè)子樣X獲得參數(shù)θ的估計(jì)值 和標(biāo)準(zhǔn)差 se()；

2）由經(jīng)驗(yàn)函數(shù)再抽取k組再生子樣本為

并由各子樣本分別獲得估計(jì)值 *i和估計(jì)標(biāo)

3）取統(tǒng)計(jì)量

并根據(jù)大小順序排列 t*i，得到

則給定某一水平α，通過區(qū)間截取，可獲得置信度水平為1－α的Bootstrap區(qū)間估計(jì)為

5 實(shí)例分析

某型對(duì)地攻擊導(dǎo)彈進(jìn)行命中精度評(píng)定，經(jīng)過現(xiàn)場(chǎng)靶場(chǎng)試射，得到5組真實(shí)縱橫向落點(diǎn)偏差值數(shù)據(jù)，且服從正態(tài)分布N（0，502），具體數(shù)據(jù)見表1。

表1 現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)樣本數(shù)據(jù)

另有兩類通過了KS相容性檢驗(yàn)的驗(yàn)前信息，一類是改進(jìn)前相似型號(hào)試射的6組驗(yàn)前數(shù)據(jù)（臨界檢驗(yàn)水平αL1為0.1），另一類是模擬彈道仿真試驗(yàn)的6組驗(yàn)前數(shù)據(jù)（臨界檢驗(yàn)水平αL2為0.2），兩類驗(yàn)前數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布N（0，552），具體數(shù)據(jù)見表2、表3。

根據(jù)式（16）線性映射，可得相似型號(hào)試射信息的置信度為1/2，彈道仿真信息的置信度為2/3；

表2 改進(jìn)前相似型號(hào)試射驗(yàn)前信息數(shù)據(jù)

表3 模擬彈道仿真驗(yàn)前信息數(shù)據(jù)

根據(jù)式（17）、式（18），可得相似型號(hào)試射驗(yàn)前信息分配權(quán)重為

彈道仿真信息分配重要度為

現(xiàn)場(chǎng)真實(shí)數(shù)據(jù)分配重要度為

因此，相似型號(hào)試射驗(yàn)前數(shù)據(jù)的6個(gè)子樣本每個(gè)被抽中概率約為0.038；彈道仿真信息的6個(gè)子樣本每個(gè)被抽中概率約為0.052；現(xiàn)場(chǎng)真實(shí)數(shù)據(jù)5個(gè)樣本，每個(gè)被抽中的概率約為0.092。

根據(jù)圖2仿真步驟進(jìn)行抽樣，設(shè)定再生子樣的容量為20（即每20個(gè)新產(chǎn)生的數(shù)據(jù)為一組再生子樣），共抽取2000組。由獲得的子樣本相關(guān)數(shù)據(jù)，分別進(jìn)行縱、橫向射擊密集度（標(biāo)準(zhǔn)差）點(diǎn)估計(jì)、置信度80%的區(qū)間估計(jì)以及計(jì)算圓概率偏差CEP值。仿真步驟如下：

根據(jù)仿真流程，所獲得的仿真結(jié)果與分析結(jié)論如下：

1）基于驗(yàn)前信息的改進(jìn)Bootstrap法與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法的仿真結(jié)果見表4。

分析可知，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法直接應(yīng)用現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)樣本與驗(yàn)前信息共17個(gè)樣本數(shù)據(jù)，該方法并不產(chǎn)生再生子樣，其σX與σZ的點(diǎn)估計(jì)要大于采用重要度抽樣的自助法的σX與σZ的點(diǎn)估計(jì)，且經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法區(qū)間估計(jì)遠(yuǎn)不夠精確，如σX的80%置信區(qū)間估計(jì)，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法的［46.4407，73.8400］區(qū)間范圍遠(yuǎn)大于自助法的［42.3384，61.5753］區(qū)間范圍；

表4 縱、橫向射擊密集度σ估計(jì)結(jié)果（1）

2）采用重要度抽樣的Bootstrap法與不采用重要度抽樣的Bootstrap法的統(tǒng)計(jì)推斷數(shù)據(jù)見表5。

表5 縱、橫向射擊密集度σ估計(jì)結(jié)果（2）

分析可知，相比于不采用重要度抽樣，采用重要度抽樣的評(píng)估結(jié)果更接近現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)樣本的分布特征，如σX的點(diǎn)估計(jì)51.9537更接近σ0的估計(jì)值50；σX的80%置信區(qū)間估計(jì)［42.3384，61.5753］比區(qū)間［43.5150，64.6456］更接近正態(tài)分布 N（0，502）；

3）射擊密集度σ分布（以σX為例）見下圖3、4。

分析可知，采用重要度抽樣的改進(jìn)自助法，其射擊密集度σX的區(qū)間（總體）分布更近似于正態(tài)分布，且σX的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)，更接近于現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)樣本的分布N（0，502），其真實(shí)性和可信程度更好。

綜上可知，在小子樣條件下，基于驗(yàn)前信息的改進(jìn)Bootstrap法所產(chǎn)生的再生子樣，其可信程度比改進(jìn)前Bootstrap法產(chǎn)生的再生子樣可信度更高，其統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果相比于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法也更加得精確，因此該方法能夠?yàn)樾∽訕訔l件下導(dǎo)彈命中精度的評(píng)定提供一種可供參考的結(jié)果。

6 結(jié)語

本文結(jié)合某型對(duì)地攻擊導(dǎo)彈的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，選取射擊密集度σ作為命中精度評(píng)定指標(biāo)，針對(duì)非參數(shù)Bootstrap法不適用于小子樣條件下統(tǒng)計(jì)推斷的缺陷，通過綜合利用各類真實(shí)的驗(yàn)前信息數(shù)據(jù)，引入重要度抽樣思想，對(duì)Bootstrap再生子樣的獲取方式進(jìn)行改進(jìn)。仿真結(jié)果表明，基于驗(yàn)前信息的改進(jìn)Bootstrap法所獲得的σ估計(jì)與置信區(qū)間，其結(jié)果的真實(shí)性更好，能夠?yàn)閷?dǎo)彈命中精度評(píng)定試驗(yàn)提供一定的參考。

當(dāng)然，Bootstrap自助法作為一種原始樣本信息的“提攜”手段，在小子樣甚至特小子樣條件下應(yīng)用，存在著許多可以改進(jìn)之處。如現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)的大致分布已知時(shí)能否采用參數(shù)Bootstrap法（原始樣本仍是小子樣條件），落點(diǎn)縱橫向偏差非獨(dú)立時(shí)如何應(yīng)用驗(yàn)前信息，各類驗(yàn)前信息的重要度如何更好地進(jìn)行分配，再生子樣的容量如何設(shè)定才能更加合理等。這些問題值得進(jìn)行更為深入地研究。

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