趙千里， 孫志禮， 柴小冬

(東北大學機械工程與自動化學院 沈陽,110819)

具有彈性支承輸流管路的振動分析

趙千里， 孫志禮， 柴小冬

(東北大學機械工程與自動化學院 沈陽,110819)

為研究截面內流速不均以及彈性支承對輸流管路振動問題的影響，利用伽遼金法對考慮了流動模型修正因子的具有彈性支承的兩端固定式輸流管路的振動微分方程進行了推導，得到了一般形式下輸流管路強迫振動穩(wěn)態(tài)響應的表達式。結果發(fā)現：流動形式為層流時管路的固有頻率和臨界流速均小于理想流動模型(平推流模型)的值；前者的發(fā)散臨界流速比后者小約13.4%，與理論結果一致；固有頻率隨彈簧安置位置的增加而呈現振蕩的變化，但始終大于無彈性支承時的值。該方法可作為設計支承形式的基礎，可以推廣用來研究其他類型管路的振動問題，并為設計人員提供精確的計算結果。

伽遼金法； 自由振動； 強迫振動； 輸流管路； 流動模型修正因子

引 言

輸流管路是能夠輸送流體介質的所有類型管路的統(tǒng)稱。在工業(yè)技術發(fā)達的現代社會，輸流管路是許多生產生活過程中必不可少的關鍵部分，如城市的供熱系統(tǒng)、天然氣和石油的運輸系統(tǒng)、液壓油的傳送裝置等。在使用過程中，受使用環(huán)境(載荷、溫度、濕度等)影響，各類管路會發(fā)生不同的失效現象，如跑冒滴漏、塑性變形甚至斷裂等。輸流管路的流固耦合振動是導致上述失效模式的主要原因之一，關于輸流管路的流固耦合振動問題受到了學者的廣泛關注并出版了大量的研究結果[1-5]。文獻[1]指出，輸流管路的流固耦合振動已經成為一類典型的動力學問題，關于這類問題的研究目前主要分為理論模型和求解方法兩個方向。通常來講，建立輸流管路的力學模型時均以梁模型為理論基礎，然而，由于流體與管路內壁之間黏性的存在，同一橫截面內的流速并非處處相同。在文獻[6]中，流動模型修正因子這一參數被引入到輸流管路的流固耦合振動問題中。文獻[7]對考慮了修正因子的小尺度輸流管路的流體誘發(fā)振動問題進行了深入的研究。

在求解方法的研究方面，典型的方法主要包括有限單元法[8]、傳遞矩陣法[9]、微分變換法[10]、微分求積法或其廣義形式[11]以及格林函數法[12]等。各方法均有其優(yōu)勢的使用范圍，如文獻[10]中利用微分變換法求解了懸臂式、兩端固定式、固定-簡支式以及兩端簡支式這4類典型的輸流管路的固有頻率隨流速的變化關系。文獻[12]利用格林函數法計算得到了輸流管路線性非齊次形式的強迫振動微分方程的解析解。

實際上，兩端安裝固定夾的輸流管路可近似視為文獻[7]中所述的兩端固定式，而對于跨度較大的情況，需要在兩固定端的中間再添加彈性支承以控制振動的幅度。因此，筆者在考慮了流動模型修正因子的基礎上，利用伽遼金法推導了中間具有彈性支承的兩端固定式輸流管路的自由和強迫振動微分方程，得到了自由振動下固有頻率以及強迫振動下位移響應的表達式，重點研究了修正因子和彈性支承對管路流固耦合振動問題的影響。

1 力學模型及振動微分方程

具有彈性支承的兩端固定式輸流管路的強迫振動力學模型如圖1所示，其中L為管路的長度。

圖1 輸流管路的力學模型Fig.1 Mechanical model of fluid conveying pipe

對圖1所示的力學模型，其完整的線性振動微分方程參見文獻[1]，筆者僅研究修正因子及彈性支承對這類管路振動問題的影響。為了簡化問題，忽略了重力、張力、內部壓力及阻尼等因素，僅考慮小變形情況。依據牛頓第二運動定律，以單位長度的管路為研究對象，可以得到其運動微分方程為

(1)

其中：EI為管路的彎曲剛度；w為橫向撓度；x和t分別為位置坐標和時間；α為流動模型修正系數；M和m分別為單位長度流體和管路的質量；U為橫截面內流體的平均流速；K為彈簧的彈性系數；xm為彈簧的安置位置；F為外載荷。

為便于研究，可定義其無量綱形式為

kηδ(ξ-ξm)=f(ξ,τ)

(2)

假設管路承受關于時間簡諧的激勵，則可將式(2)寫為

kηδ(ξ-ξm)=f(ξ)eiωτ

(3)

如無特殊說明，下面所有的研究均采用無量綱形式的參數。

2 輸流管路振動問題的伽遼金表達式

2.1 伽遼金方法在本研究中的應用

伽遼金法屬于加權余量法的一種，令有限項形函數的和在求解域及邊界上的加權積分滿足原方程，其中加權函數為形函數本身，即可得到一組易于求解的線性方程。

根據伽遼金法的定義，式(3)的解可近似表示為

(4)

其中：N為形函數的個數；φn為形函數；qn為時間相關項。

將式(4)代入式(3)，可得

(5)

分別將各形函數與式(5)相乘并將結果關于ξ在區(qū)間[0,1]內積分，經過整理可得

(6)

經過整理，式(6)可以表示為

(7)

對于如圖1所示的兩端固定式輸流管路，其無量綱邊界條件為

(8)

形函數必須使式(8)始終成立。一般來講，應用伽遼金法研究梁或輸流管路的振動問題時，形函數均是采用梁的振型函數[13-14]，其表達形式過于復雜，在本研究中，將形函數選為

φn(ξ)=anξn+1(1-ξ)2(n=1,2,…,N)

(9)

式(8)的邊界條件得以滿足，an可以通過歸一化條件求得，即

(10)

通過化簡，可得

(11)

經過整理，形函數向量可表示為

{3·4·5·ξ2,…,(N+2)(N+3)(N+4)ξN+1}T

(12)

2.2 強迫振動問題的解

假設管路承受如式(3)中定義的簡諧激勵，則可假設式(7)的穩(wěn)態(tài)解的形式為

q=q0eiωτ

(13)

將式(13)代入式(7)，通過化簡可以得到

q0=(-ω2M+iωG+K)-1Fe-iωτ

(14)

因此，輸流管路在時域內的穩(wěn)態(tài)響應為

η(ξ,τ)=Re{φ(-ω2M+iωG+K)-1F}

(15)

3 計算結果與分析

3.1 方法的有效性

假設管路承受集中的簡諧激勵，則式(3)中的f(ξ)可表示為

f(ξ)=f0δ(ξ-a)

(16)

其中：a為激振位置的無量綱形式，且a=A/L。

外載荷向量F可表示為

F=f0eiωτ{φ1(a),φ2(a),…,φN(a)}T

(17)

將式(17)代入式(15)便可計算出輸流管路的時域響應。取f0=5.0，a=0.5，ω=20.0，u=1，α=1，β=0.5，并用ηmax表示撓度的幅值，分別利用格林函數法和本方法計算ξ=0.8處的ηmax，結果見表1。

表1 輸流管路的撓度幅值(ξ=0.8)

由表1可知，當N=8時，本方法與格林函數法的解已經十分相近，隨著N的增加，本方法的計算結果將無限接近精確解。綜合考慮計算精度和計算效率，下面的計算均取N=8。

3.2 無彈性支承輸流管路的橫向振動問題

首先研究系統(tǒng)的固有頻率。令式(7)中的外載荷向量等于0，即可得到系統(tǒng)的自由振動微分方程，此時的特征方程為

(ω2MN×N+ωGN×N+KN×N)qN×1=0

(18)

其中：ω為無量綱固有頻率，其形式與式(3)中定義的相同。

令系數矩陣的行列式等于0便可得到固有頻率的解。根據文獻[6]的分析，當管路內部流體的流動形式為平推流時，α=1，當流動形式為層流時，α=4/3≈1.333且發(fā)散臨界流速ucd的理論解為

(19)

其中：μ為與管路支承形式相關的長度系數，對于兩端固定式輸流直管，μ=0.5。

由式(19)可知，管路的臨界流速僅與μ和α有關，與其他因素無關。圖2為輸流直管的前4階固有頻率隨流速的變化關系，同一線型由下向上的4條曲線分別代表前4階固有頻率，其中虛線代表層流模型的解，實線代表平推流模型的解。由圖可知，對于前者，ucd=5.441，理論解為5.441；而對于后者，ucd=6.283，理論解為2π，前者比后者小約13.4%，計算結果與理論解幾乎相同，證明本方法十分精確，同時說明了在同等參數的條件下，層流模型下的管路在較低流速下容易失穩(wěn)。事實上，通過計算可得，前者的1,2階模態(tài)耦合顫振的臨界流速值ucf=8.049，后者的結果則為ucf=9.295，前者比后者同樣小約13.4%。

圖2 固有頻率隨流速的變化關系(β=0.5)Fig.2 Natural frequency with flowing velocity (β=0.5)

上述計算表明，用平推流模型近似流體在管路內的流動所得的結果與層流模型相差較大，這種差別對強迫振動響應的計算會產生較大的影響。例如：取f0=5.0，a=0.5，ω=20.0，u=1，β=0.5，利用本方法計算這兩類流動模型下的振動幅度隨流速的變化關系，結果如圖3所示。

圖3 撓度幅值隨流速的變化關系Fig.3 Amplitude of deflection with flowing velocity

由圖3可知，層流模型下的振動幅值明顯較平推流模型下的幅值小，意味著依據后者計算結果的設計是偏向于安全的。

3.3 具有彈性支承輸流管路的橫向振動問題

本節(jié)主要研究彈性支承對管路自由及強迫振動的影響，顯然，問題為非線性，格林函數法不再適用。采用與3.2節(jié)相同的方式可得到彈性支承下的臨界流速值，其與彈性系數的關系如表2所示。

表2臨界流速與彈性系數的對應關系(ξm=0.3)

Tab.2Correspondingrelationshipbetweencriticalvelocityandelasticcoefficient(ξm=0.3)

kucd(α=1)ucd(α=4/3)偏差/%1016．3515．5001026．8445．92713．41037．8396．7891048．0186．9441088．0386．961

由表2可知，彈性系數增加僅僅使得式(19)中的μ減小，因此導致臨界流速增加，兩種流動模型的臨界流速之間的偏差仍大約為13.4%。當k趨近于無窮大時，臨界流速趨于定值，系統(tǒng)可視為由兩段固定-簡支式管路組合而成。平推流模型與層流模型的計算結果差異較大，然而在實際應用中，大多數情況下的流動均為層流，因此，以下的研究全部基于層流模型的考慮。

由于所研究管路的兩端支承形式相同，所以在計算固有頻率時可以僅計算ξm∈[0,0.5]區(qū)間內的值，另一半區(qū)間內的結果只需關于ξm=0.5取對稱即可。管路的前4階固有頻率隨彈簧的彈性系數及其安置位置的變化關系如圖4所示。

圖4 固有頻率隨彈性支承的變化關系(u=1，β=0.5)Fig.4 Natural frequency with elastic support (u=1，β=0.5)

同一線型由下向上的4條曲線分別代表前4階固有頻率。如圖4所示，固有頻率隨著彈簧安置位置的變化呈現振蕩的變化，且彈性系數越大，振蕩的幅度越大，但是無論怎樣變化，在給定安置位置下，管路的固有頻率始終隨彈性系數的增加而增加。

為了研究彈性支承對管路受迫振動響應的影響，取f0=5.0，a=0.5，u=1，β=0.5，可計算得到ξ=0.8處的撓度幅值隨彈性支承的變化。

由圖5(a)可知，由于在所研究的彈性支承范圍內激振頻率并沒有等于固有頻率，所以管路不會發(fā)生共振。撓度幅值隨彈性系數或安置位置的增加均有所下降，說明彈性支承有效地抑制了振動。在圖5(b)中發(fā)現，當k分別等于103和104時，撓度幅值曲線上均出現了峰值，依據共振原理可知，峰值出現的位置對應的固有頻率必然等于激振頻率75.0，這一結論也可由圖4得到，說明添加彈簧的同時也增加了管路發(fā)生共振的可能。

圖5 撓度幅值隨彈性支承的變化關系Fig.5 Amplitude of the deflection with elastic support

為了抑制輸流管路受迫振動的幅度，在對管路進行設計的時候需要分別從彈性支承和外部激勵兩方面考慮,即激勵確定的情況下，必須合理搭配彈性系數及彈簧的安置位置，而在彈性支承給定的情況下，激振頻率需控制在一定區(qū)域內，彈簧的添加進一步限制了激振頻率的范圍。更深層次來說，若兩個因素都不確定，則要通過優(yōu)化設計進行合理地分配參數。這就凸顯了本方法的重要性，因為它可以在其他給定數據的基礎上計算出可信的數據以供設計人員參考，這樣不僅可以有效地避免共振的發(fā)生，更能使振動控制在需要的范圍內，因此，本方法可以有效地提高設計效率以及管路系統(tǒng)的可靠性。

4 結 論

1) 利用伽遼金法推導得到了考慮流動模型修正因子并具有彈性支承的兩端固定式輸流管路面內自由振動的特征方程及強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應，分別得到了計算固有頻率及穩(wěn)態(tài)響應的表達式。

2) 分析了層流模型下具有彈性支承輸流管路的自由及強迫振動問題，研究發(fā)現，相比于平推流模型，層流模型時管路的固有頻率和臨界流速均小于前者；固有頻率隨彈簧安置位置的增加而呈現振蕩的變化，但始終大于無彈性支承的值。

3) 所提方法可為設計人員提供精確可信的數據，有效地減少了設計人員的工作量，為后續(xù)的可靠性設計等內容作了良好的鋪墊。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.06.023

國家科技重大專項課題資助項目(2013ZX04011-011)

2016-10-12；

2016-12-12

TH137； O327

趙千里，男，1989年10月生，博士。主要研究方向為輸流管路的流固耦合振動。曾發(fā)表《具有彈性支承輸流管路的流體誘發(fā)振動分析》(《東北大學學報：自然科學版》2016年第37卷第8期)等論文。

E-mail:zql20081841@163.com