王飛 王銜 陳濤 顧浩聲

摘要：為充分體現(xiàn)結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的影響，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)有限元分析中加入經(jīng)典的瑞利阻尼，并在Abaqus中進(jìn)行勻質(zhì)梁的彎曲和軸向簡(jiǎn)諧振動(dòng)分析，然后與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論解進(jìn)行對(duì)比，研究瑞利阻尼在Abaqus中的實(shí)現(xiàn)方法。結(jié)果表明：有限元?jiǎng)恿憫?yīng)分析結(jié)果與理論結(jié)果吻合良好，該方法可以準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)在Abaqus中添加瑞利阻尼。

關(guān)鍵詞：瑞利阻尼；結(jié)構(gòu)阻尼；勻質(zhì)梁；簡(jiǎn)諧振動(dòng)；動(dòng)力響應(yīng)

中圖分類(lèi)號(hào)：TU311.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

0 引 言

結(jié)構(gòu)振動(dòng)不可避免地會(huì)受到阻尼的作用[1]，能量在振動(dòng)中不斷耗散。經(jīng)典阻尼是結(jié)構(gòu)所有部位都具有相似阻尼機(jī)制時(shí)的一種合理抽象，瑞利阻尼是根據(jù)振型阻尼比建立結(jié)構(gòu)經(jīng)典阻尼矩陣的重要方法。[2]

作為結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的重要手段，有限元在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中應(yīng)用廣泛。因此，本文探究如何在商業(yè)有限元軟件中實(shí)現(xiàn)瑞利阻尼，并利用經(jīng)典的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)算例，證明該方法的可行性。

1 瑞利阻尼

瑞利阻尼假定結(jié)構(gòu)阻尼與質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的組合成一定比例，是對(duì)質(zhì)量比例阻尼和剛度比例阻尼的一種改進(jìn)[3]，其認(rèn)為圓頻率與阻尼比的關(guān)系式為

瑞利阻尼圓頻率與阻尼比的關(guān)系見(jiàn)圖1。

在應(yīng)用中，ωm通常取多自由度體系的基頻，ωn在對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)有顯著貢獻(xiàn)的高階振型中選取。這樣，具有高頻率的振型反應(yīng)將因其高阻尼比而被有效地消除。[3]

2 單自由度黏滯阻尼體系簡(jiǎn)諧振動(dòng)

單自由度黏滯阻尼體系簡(jiǎn)諧振動(dòng)見(jiàn)圖2。根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論[2]，單自由度黏滯阻尼體系在簡(jiǎn)諧載荷下的運(yùn)動(dòng)方程為

由此可以完全確定體系在簡(jiǎn)諧載荷下的振動(dòng)情況。

3 有阻尼簡(jiǎn)支勻質(zhì)梁彎曲簡(jiǎn)諧振動(dòng)

3.1 有阻尼簡(jiǎn)支勻質(zhì)梁的彎曲振動(dòng)微分方程

簡(jiǎn)支勻質(zhì)梁及其阻尼組成示意見(jiàn)圖3。

假定該簡(jiǎn)支勻質(zhì)梁內(nèi)的阻尼由與絕對(duì)速度有關(guān)的外阻尼力fD和材料應(yīng)變的黏滯阻尼力σD這2種成分組成。

當(dāng)梁各點(diǎn)以橫向位移u（x，t）彎曲振動(dòng)時(shí)，設(shè)黏滯阻尼系數(shù)為C（x），則外阻尼力

可以使得勻質(zhì)梁各階振型相互獨(dú)立，并且在廣義坐標(biāo)（將在第3.2節(jié)詳述）下各階阻尼如式（1）形式。

3.2 有阻尼簡(jiǎn)支勻質(zhì)梁彎曲簡(jiǎn)諧振動(dòng)理論解

簡(jiǎn)諧載荷下的簡(jiǎn)支勻質(zhì)梁見(jiàn)圖4。

由式（3）可得第j階振型對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)下的qj（t），其系數(shù)可由式（7）～（10）獲得，再將結(jié)果代入式（17）中可得到u（x，t）。

假設(shè)勻質(zhì)梁截面為圓形，參數(shù)見(jiàn)表1。若總振動(dòng)時(shí)間為20 s，則可在MATLAB中通過(guò)簡(jiǎn)單程序?qū)崿F(xiàn)各階振型下的振動(dòng)疊加。理論上，結(jié)構(gòu)振動(dòng)應(yīng)該是無(wú)窮階振型的疊加，但實(shí)際計(jì)算發(fā)現(xiàn)，第7階振型振動(dòng)的最大值已經(jīng)是基礎(chǔ)振型下的振動(dòng)最大值的0.01%左右，故本文只疊加前7階振型，結(jié)果將在第3.3節(jié)討論。

3.3 有阻尼簡(jiǎn)支勻質(zhì)梁彎曲簡(jiǎn)諧振動(dòng)有限元模型

在Abaqus中采用梁?jiǎn)卧蛸|(zhì)梁模型，見(jiàn)圖5。在詳細(xì)計(jì)算前，利用Abaqus結(jié)構(gòu)頻率分析確定合適的單元尺寸。改變單元尺寸，并將Abaqus得到的頻率與式（20）進(jìn)行比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)當(dāng)單元尺寸為梁長(zhǎng)度的1%時(shí)，Abaqus模型的前5階振型誤差在3‰以?xún)?nèi)，簡(jiǎn)支勻質(zhì)梁彎曲頻率分析結(jié)果與理論解對(duì)比見(jiàn)表2。因此，采用的單元長(zhǎng)度為0.1 m。

在模型的材料屬性中添加瑞利阻尼，選項(xiàng)“Alpha”和“Beta”分別對(duì)應(yīng)式（1）中的a0和a1。經(jīng)過(guò)計(jì)算，a0=0.102 4，a1=0.015 6。將a0和a1輸入并添加載荷，進(jìn)行20 s動(dòng)力學(xué)模擬，與前文計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果見(jiàn)圖6。由此可知：在Abaqus中施加瑞利阻尼的結(jié)果與理論解吻合良好；在阻尼比僅為0.05的弱阻尼體系中，振動(dòng)后半段的阻尼也會(huì)對(duì)振動(dòng)峰值和相位產(chǎn)生較大影響。

4 有阻尼簡(jiǎn)支勻質(zhì)梁軸向簡(jiǎn)諧振動(dòng)

4.1 有阻尼簡(jiǎn)支勻質(zhì)梁的軸向簡(jiǎn)諧振動(dòng)振型分析

簡(jiǎn)諧載荷下的勻質(zhì)懸臂梁見(jiàn)圖7。依據(jù)文獻(xiàn)[5]，僅考慮軸向簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)懸臂梁的第j階自振圓頻率為

4.2 有阻尼簡(jiǎn)支勻質(zhì)梁的軸向簡(jiǎn)諧振動(dòng)理論解

其余步驟完全同第3.2節(jié)。

4.3 有阻尼簡(jiǎn)支勻質(zhì)梁軸向簡(jiǎn)諧振動(dòng)有限元模型

假設(shè)勻質(zhì)梁截面為正方形，參數(shù)見(jiàn)表3，總振動(dòng)時(shí)間為20 s。在Abaqus中采用實(shí)體單元建立模型，見(jiàn)圖8。將得到的前5階振型頻率與式（25）進(jìn)行比較，見(jiàn)表4。由此可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)實(shí)體單元尺寸為梁長(zhǎng)度的0.2%時(shí)，誤差穩(wěn)定在0.7%以?xún)?nèi)，故采用的單元尺寸為0.002 m。瑞利阻尼的施加與第3.3節(jié)相同。此處考慮到文獻(xiàn)相關(guān)理論推導(dǎo)中軸向載荷都是均勻分布在末端界面上的，所以將末端集中載荷變?yōu)榫級(jí)簭?qiáng)載荷。Abaqus數(shù)值模擬結(jié)果與第4.2節(jié)理論解的比較見(jiàn)圖9，結(jié)果再次顯示添加的瑞利阻尼的正確性。

6 結(jié)束語(yǔ)

瑞利阻尼是根據(jù)振型阻尼比建立結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的經(jīng)典方法。本文探究如何在商業(yè)有限元軟件Abaqus的結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析中實(shí)現(xiàn)瑞利阻尼。

采用簡(jiǎn)支勻質(zhì)梁的彎曲簡(jiǎn)諧振動(dòng)和勻質(zhì)懸臂梁的軸向簡(jiǎn)諧振動(dòng)算例，與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論解進(jìn)行對(duì)比，證明有限元?jiǎng)恿憫?yīng)分析結(jié)果與理論結(jié)果吻合良好。由此可見(jiàn)，本文提出的方法可以準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)在Abaqus中添加瑞利阻尼。

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（編輯 武曉英）