童福林，李新亮，段焰輝,

1.中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 計(jì)算空氣動(dòng)力研究所， 綿陽 621000 2.中國科學(xué)院 力學(xué)研究所 高溫氣體動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190 3.中國科學(xué)院大學(xué) 工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049

超聲速壓縮拐角激波/邊界層干擾動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解

童福林1，李新亮2,3，段焰輝1,*

1.中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 計(jì)算空氣動(dòng)力研究所， 綿陽 621000 2.中國科學(xué)院 力學(xué)研究所 高溫氣體動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190 3.中國科學(xué)院大學(xué) 工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049

壓縮拐角激波與邊界層干擾問題廣泛存在于高速飛行器的外部和內(nèi)部流動(dòng)中，其非定常復(fù)雜流場結(jié)構(gòu)對(duì)飛行器氣動(dòng)性能影響顯著。動(dòng)力學(xué)模態(tài)分析將有助于進(jìn)一步加深理解激波與邊界層干擾流場不同特征頻率對(duì)應(yīng)的流動(dòng)結(jié)構(gòu)及動(dòng)力學(xué)特性，為揭示其復(fù)雜流動(dòng)機(jī)理提供參考。本文采用動(dòng)態(tài)模態(tài)分解(DMD)方法對(duì)來流馬赫數(shù)為2.9、24°壓縮拐角內(nèi)激波與超聲速邊界層干擾下的非定常流動(dòng)進(jìn)行了模態(tài)分析。評(píng)估了稀疏改進(jìn)動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法在壓縮拐角流動(dòng)中的適用性，研究了湍流干擾和轉(zhuǎn)捩干擾下典型特征頻率對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模態(tài)空間結(jié)構(gòu)差異及其原因，分析了轉(zhuǎn)捩邊界層展向非均勻性對(duì)低頻/高頻模態(tài)動(dòng)力學(xué)機(jī)制的影響規(guī)律。研究發(fā)現(xiàn)，湍流干擾與轉(zhuǎn)捩干擾下拐角干擾區(qū)內(nèi)均存在兩類截然不同的動(dòng)力學(xué)模態(tài)：低頻模態(tài)和高頻模態(tài)。低頻模態(tài)結(jié)構(gòu)集中在分離激波及分離泡剪切層的根部，表征為分離泡的大尺度膨脹和收縮運(yùn)動(dòng)；高頻模態(tài)空間分布則以平均聲速線附近正負(fù)交替結(jié)構(gòu)為主，對(duì)應(yīng)為邊界層內(nèi)不穩(wěn)定波沿剪切層往下游的傳播。轉(zhuǎn)捩邊界層的展向結(jié)構(gòu)對(duì)低頻模態(tài)運(yùn)動(dòng)特性影響明顯，而對(duì)高頻模態(tài)的影響則相對(duì)較小。

壓縮拐角；激波/邊界層干擾；轉(zhuǎn)捩；動(dòng)態(tài)模態(tài)分解；低頻/高頻模態(tài)

超聲速壓縮拐角激波與邊界層干擾問題中存在著復(fù)雜的非定常流動(dòng)機(jī)理和非線性動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)機(jī)制，其運(yùn)動(dòng)特性以寬頻特征為主，時(shí)間尺度差異懸殊。研究表明[1-2]，對(duì)于激波與湍流邊界層的干擾問題，高頻運(yùn)動(dòng)的時(shí)間尺度約為湍流邊界層內(nèi)擾動(dòng)的量級(jí)，而低頻運(yùn)動(dòng)的時(shí)間尺度可達(dá)高頻運(yùn)動(dòng)的10～100倍。激波與邊界層干擾問題的非定常運(yùn)動(dòng)特性一直以來都是流體力學(xué)基礎(chǔ)研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題[3-6]。目前，學(xué)術(shù)界對(duì)該問題的認(rèn)識(shí)仍不充分，如在大尺度低頻振蕩的物理機(jī)制方面存在著兩種截然相反的認(rèn)識(shí)，即上游機(jī)制及下游機(jī)制[7-9]。

模態(tài)分解方法是研究復(fù)雜流動(dòng)現(xiàn)象及其機(jī)理的重要手段。通過模態(tài)分解方法，可以對(duì)復(fù)雜高維度的流場結(jié)構(gòu)進(jìn)行低階近似，并提取出非定常流場中占優(yōu)的特征模態(tài)。近年來，Schmid[10-11]在線性Koopman映射的基礎(chǔ)上提出了基于瞬時(shí)流場預(yù)處理的動(dòng)態(tài)模態(tài)分解(Dynamic Mode Decomposition, DMD)。該方法在保留了本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition, POD)方法優(yōu)勢的同時(shí)，可以直接通過分析實(shí)驗(yàn)或者數(shù)值模擬得到的流場數(shù)據(jù)給出整個(gè)非定常運(yùn)動(dòng)演化過程中的特征模態(tài)頻率、增長率以及空間形態(tài)，非常適合于含有多尺度特征頻率的復(fù)雜流動(dòng)問題機(jī)理分析。Rowley等[12]通過無限維線性算子理論還將該方法進(jìn)一步推廣到非線性流動(dòng)問題的預(yù)測中。最近，大量學(xué)者對(duì)這一方法進(jìn)行不斷地改進(jìn)和優(yōu)化，例如最優(yōu)化動(dòng)態(tài)模態(tài)分解(Optimized DMD, Opt-DMD)和最優(yōu)模態(tài)分解[13](Optimal MD, Opt-MD)方法。為了更準(zhǔn)確地提取出對(duì)流場發(fā)展影響顯著的特征模態(tài)，Jovanovic 等[14]結(jié)合優(yōu)化理論，通過添加罰函數(shù)構(gòu)造了稀疏改進(jìn)動(dòng)態(tài)模態(tài)分解(DMDSP)方法。當(dāng)前，DMD及其改進(jìn)方法已在激波/邊界層干擾[15-17]、超聲速底部流動(dòng)[18]、跨聲速抖振[19]、邊界層轉(zhuǎn)捩[20-23]等復(fù)雜流動(dòng)問題中得到了廣泛應(yīng)用。

Grilli和Schmid[15]采用動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法對(duì)超聲速壓縮拐角的大渦模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行了模態(tài)分析，并基于提取到的4個(gè)低頻動(dòng)力學(xué)模態(tài)對(duì)干擾區(qū)內(nèi)非定常流場進(jìn)行了低階重構(gòu)。研究發(fā)現(xiàn)，低頻動(dòng)態(tài)模態(tài)的運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)制表征為分離激波及分離泡的低頻振蕩運(yùn)動(dòng)。Stephan等[16]對(duì)壓縮拐角激波與超聲速湍流邊界層干擾問題進(jìn)行了直接數(shù)值模擬，分別針對(duì)三維瞬態(tài)流場和展向平均二維流場數(shù)據(jù)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)模態(tài)分析。研究發(fā)現(xiàn)，兩種情況下提取到的低頻模態(tài)空間結(jié)構(gòu)較為類似，此外，分離激波的低頻振蕩與拐角內(nèi)離心不穩(wěn)定性存在較強(qiáng)關(guān)聯(lián)。另外，Tong等[17]研究了壁面溫度對(duì)壓縮拐角動(dòng)力學(xué)模態(tài)的影響規(guī)律。結(jié)果表明，壁面溫度的降低對(duì)低頻和高頻模態(tài)結(jié)構(gòu)的能量影響較大，但對(duì)其空間結(jié)構(gòu)的分布規(guī)律影響較小，研究結(jié)果還進(jìn)一步證實(shí)了低頻模態(tài)的運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)制與分離泡膨脹/收縮運(yùn)動(dòng)密切相關(guān)。然而，以往模態(tài)研究主要針對(duì)激波與湍流邊界層干擾問題，對(duì)于轉(zhuǎn)捩干擾流場內(nèi)動(dòng)力學(xué)模態(tài)的研究較為少見。同時(shí)，在分析各特征頻率動(dòng)力學(xué)模態(tài)對(duì)整個(gè)非定常流場發(fā)展歷程的貢獻(xiàn)時(shí)，往往依據(jù)模態(tài)振幅或者能量(范數(shù))對(duì)特征模態(tài)進(jìn)行提取和排序。但對(duì)于壓縮拐角流動(dòng)問題，某些低振幅或低能量動(dòng)態(tài)模態(tài)很可能包含流場演化的重要特征信息。

在本文作者前期的研究中[24-25]，對(duì)超聲速壓縮拐角湍流干擾和轉(zhuǎn)捩干擾問題進(jìn)行了大量的直接數(shù)值模擬。本文在此基礎(chǔ)上，采用稀疏改進(jìn)動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法對(duì)拐角內(nèi)激波與湍流/轉(zhuǎn)捩邊界層干擾的非定常流場進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)模態(tài)分析，系統(tǒng)地研究了不同干擾情況下典型特征頻率對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)模態(tài)空間結(jié)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)制。深入開展激波/邊界層干擾流場的動(dòng)力學(xué)模態(tài)分析，有助于進(jìn)一步揭示激波低頻振蕩運(yùn)動(dòng)的物理機(jī)制，為建立相關(guān)物理模型提供理論依據(jù)。

1 計(jì)算設(shè)置

采用高精度差分求解器OpenCFD-SC對(duì)超聲速壓縮拐角激波邊界層干擾問題進(jìn)行直接數(shù)值模擬?？刂品匠虨槿S可壓縮無量綱Navier-Stokes方程組，無黏項(xiàng)采用Martin等[26]優(yōu)化構(gòu)造的WENO格式以及Steger-Warming流通量分裂方法求解，黏性項(xiàng)采用八階中心差分格式進(jìn)行離散，時(shí)間推進(jìn)采用三階Runge-Kutta方法計(jì)算。

壓縮拐角計(jì)算模型如圖1所示，拐角為24°，來流方向從左往右，來流馬赫數(shù)Ma∞為2.9，基于單位長度的來流雷諾數(shù)為5 581.4 mm-1，來流靜溫為108.1 K，壁面溫度為307 K。計(jì)算工況包括湍流干擾和轉(zhuǎn)捩干擾。兩種工況的計(jì)算域法向高度和展向?qū)挾染耆嗤D(zhuǎn)捩干擾流向計(jì)算域約為湍流干擾工況的一半。計(jì)算網(wǎng)格均采用代數(shù)方法生成，流向網(wǎng)格在拐角角部區(qū)域內(nèi)密集均勻分布，法向網(wǎng)格往壁面附近進(jìn)行了加密處理，展向網(wǎng)格均勻分布。詳細(xì)幾何尺寸及網(wǎng)格尺度參見文獻(xiàn)[24]。

圖1 壓縮拐角示意圖
Fig.1 Illustration of compression ramp

計(jì)算域的入口采用層流邊界條件，取為距平板前緣200 mm處的層流數(shù)值解。出口邊界使用超聲速出口無反射邊界條件，物面邊界為無滑移條件和等壁溫，上邊界取為簡單無反射邊界條件，展向?yàn)橹芷谛詶l件。對(duì)于湍流干擾，如圖1所示，在層流入口下游的壁面添加多頻正弦波擾動(dòng)[27]促使流動(dòng)發(fā)生轉(zhuǎn)捩，并在拐角入口處形成充分發(fā)展湍流邊界層。對(duì)于轉(zhuǎn)捩干擾，由于平板長度較短，此時(shí)進(jìn)入拐角的邊界層仍處于轉(zhuǎn)捩的初期階段。圖1中ref分別對(duì)應(yīng)為湍流干擾和轉(zhuǎn)捩干擾兩種情況下拐角入口的流向位置。另外，兩種工況下擾動(dòng)的幅值和頻率均完全相同，具體參數(shù)見文獻(xiàn)[24]。

2 動(dòng)態(tài)模態(tài)分解

利用上述直接數(shù)值模擬獲得壓縮拐角瞬時(shí)流場矩陣為

ψ0=v1v2…vN-1

ψ1=v2v3…vN

(1)

式中：vi為第i個(gè)瞬態(tài)流場數(shù)據(jù)；N為瞬態(tài)流場樣本的總數(shù)。假定這些瞬態(tài)流場數(shù)據(jù)之間的時(shí)間間隔Δt很小，且為恒定值，相鄰時(shí)刻的瞬態(tài)流場之間存在相同的線性映射關(guān)系：

vi+1=Avi

ψ1=Aψ0

(2)

DMD方法核心思想是通過求解矩陣A的特征值和特征向量來獲取流場動(dòng)力學(xué)過程的特征信息，如特征頻率、特征模態(tài)結(jié)構(gòu)等。但由于矩陣A往往為高維矩陣，實(shí)際計(jì)算時(shí)常尋求低維矩陣來近似替代矩陣A。具體求解過程如下：

1) 對(duì)瞬時(shí)流場矩陣ψ0作奇異值分解：

ψ0=UΣVT

(3)

式中：U為左正交矩陣；V為右正交矩陣；Σ為奇異值構(gòu)成的對(duì)角矩陣。

2) 求解矩陣A的低維近似矩陣F：

A≈UFVT

(4)

該矩陣可通過求解如下最小化問題獲得，即

(5)

矩陣F的最優(yōu)形式為

FDMD=UTψ1VΣ-1

(6)

3) 求解矩陣F的特征值和特征向量：

Λj,μj=eiv(FDMD)

(7)

對(duì)矩陣F進(jìn)行特征值分解得到的特征值將近似表征非定常流場的特征信息，其中特征模態(tài)頻率ωj和模態(tài)增長/衰減率gj分別為

(8)

此時(shí)第j個(gè)動(dòng)態(tài)模態(tài)Φj=UΛj，Λj為特征值μj對(duì)應(yīng)的特征向量。

為了反映各動(dòng)態(tài)模態(tài)對(duì)非定常流場的貢獻(xiàn)，以往研究常采用模態(tài)振幅或能量對(duì)典型模態(tài)進(jìn)行提取和排序。模態(tài)振幅αj定義為[14]

αj=p-1q

(9)

式中：Vand為特征值μj構(gòu)成的Vandermonde矩陣。對(duì)于模態(tài)能量‖Φj‖，常采用如下矩陣范數(shù)表征[10-11]：

(10)

對(duì)于某些復(fù)雜流動(dòng)問題，采用模態(tài)振幅或能量并不能準(zhǔn)確提取出反映流場重要特征的動(dòng)態(tài)模態(tài)，低振幅或是低能量模態(tài)很可能在整個(gè)流場的非定常演化過程中起著重要作用。Jovanovic 等[14]結(jié)合優(yōu)化理論，構(gòu)造了一種稀疏改進(jìn)動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法。該方法的核心思想是在對(duì)目標(biāo)函數(shù)添加罰函數(shù)的基礎(chǔ)上尋求最優(yōu)的稀疏結(jié)構(gòu)(模態(tài)振幅對(duì)角矩陣Dα)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)以最優(yōu)的動(dòng)態(tài)模態(tài)組合對(duì)復(fù)雜流場進(jìn)行高精度低階重構(gòu)。目標(biāo)函數(shù)J(α)及罰函數(shù)γcard(α)構(gòu)造為[14]

(11)

式中：γ為正則化參數(shù)；r為動(dòng)態(tài)模態(tài)個(gè)數(shù)。新目標(biāo)函數(shù)的求解是一個(gè)典型的凸優(yōu)化問題。

為了評(píng)估最優(yōu)動(dòng)態(tài)模態(tài)組合對(duì)非定常流場的重構(gòu)誤差，Jovanovic 等[14]定義如下?lián)p失函數(shù)：

(12)

本文將上述稀疏改進(jìn)動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法應(yīng)用到壓縮拐角湍流干擾和轉(zhuǎn)捩干擾問題的動(dòng)力學(xué)模態(tài)分析中，實(shí)現(xiàn)了對(duì)高維復(fù)雜流場的高精度低階重構(gòu)。

3 結(jié)果分析與討論

3.1 湍流干擾

圖2分別給出拐角上游無干擾區(qū)(x=-5.4δ)及分離點(diǎn)(x=-2.6δ)處脈動(dòng)壓力的加權(quán)功率譜密度(Weighted Power Spectral Density,WPSD)曲線，δ為拐角入口湍流邊界層厚度。如圖2所示，在無干擾區(qū)內(nèi)，脈動(dòng)壓力的無量綱峰值頻率出現(xiàn)在fδ/U∞=1附近，這與充分發(fā)展平板湍流邊界層內(nèi)脈動(dòng)特征頻率一致，其中f和U∞分別為頻率和來流速度。在拐角干擾區(qū)，可以看到分離點(diǎn)附近脈動(dòng)壓力信號(hào)的低頻能量急劇升高，在fδ/U∞<0.01的低頻區(qū)內(nèi)出現(xiàn)了能量峰值。計(jì)算結(jié)果與前人的風(fēng)洞試驗(yàn)[28]及數(shù)值結(jié)果[29]均吻合。

圖2 物面脈動(dòng)壓力加權(quán)功率譜密度曲線
Fig.2 WPSD curves of wall pressure fluctuations

分離激波的低頻振蕩運(yùn)動(dòng)與拐角分離泡的膨脹/收縮運(yùn)動(dòng)密切相關(guān)[9,30]。為此，采用上述動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法對(duì)拐角干擾區(qū)內(nèi)展向平均后的瞬時(shí)流向速度場進(jìn)行模態(tài)分析。選取的壓縮拐角干擾區(qū)流場范圍為：流向-30 mm

圖3 動(dòng)態(tài)模態(tài)特征值
Fig.3 Eigenvalues of dynamic modes

圖3給出了動(dòng)力學(xué)模態(tài)的時(shí)間離散譜，其中橫軸為模態(tài)特征值的實(shí)部，縱軸對(duì)應(yīng)為虛部。圓圈對(duì)應(yīng)為采用DMD方法得到的399個(gè)動(dòng)力學(xué)模態(tài)，圓圈大小代表模態(tài)振幅。如圖3所示，各特征值基本處于單位圓周附近，個(gè)別高振幅模態(tài)位于單位圓內(nèi)，這表明計(jì)算得到的模態(tài)都是準(zhǔn)中性穩(wěn)定的?！?”為基于DMDSP方法提取的19個(gè)主模態(tài)，可以看到，這些特征模態(tài)均散布在單位圓附近。對(duì)于平均模態(tài)，其特征頻率為0，為靜態(tài)模態(tài)，表征了非定常流場的平均特性。此外，其余18個(gè)特征模態(tài)均為動(dòng)態(tài)模態(tài)，且沿離散譜縱軸呈對(duì)稱分布，這主要是模態(tài)特征值為共軛復(fù)數(shù)的原因。

為了研究各動(dòng)力學(xué)模態(tài)對(duì)非定常流場發(fā)展的貢獻(xiàn)，圖4給出了模態(tài)數(shù)目Nz與損失函數(shù)的關(guān)系。隨著提取的模態(tài)數(shù)目增大，損失函數(shù)逐步減小?？梢杂^察到，當(dāng)選取上述19個(gè)特征模態(tài)時(shí)，損失函數(shù)小于6%，這表明本文采用DMDSP方法提取的這19個(gè)特征模態(tài)能夠近似表征拐角干擾區(qū)內(nèi)非常定流場的典型演化歷程。

圖4 損失函數(shù)隨模態(tài)數(shù)目的變化
Fig.4Variation of performance loss as a function of number of dynamic modes

圖5 模態(tài)振幅與頻率的關(guān)系
Fig.5Relationship between mode amplitudes and frequencies

圖6 模態(tài)能量與頻率的關(guān)系
Fig.6Relationship between mode energy and frequencies

圖5和圖6分別給出了模態(tài)分解得到的動(dòng)態(tài)模態(tài)振幅及能量與特征頻率的關(guān)系。以往DMD研究中[15-17]，常采用模態(tài)振幅或能量對(duì)動(dòng)態(tài)模態(tài)進(jìn)行排列和選取。然而，在某些情況下，低振幅模態(tài)有可能會(huì)對(duì)流場發(fā)展起著重要作用[14]。本文的研究結(jié)果也進(jìn)一步支持了上述結(jié)論。從圖5中DMDSP與DMD結(jié)果的比較來看，DMDSP提取的19個(gè)主模態(tài)，除平均模態(tài)以外，其余主模態(tài)的振幅散布在0.1～10的范圍內(nèi)，而DMD給出的高振幅模態(tài)的量值在10～100之間。圖6顯示了各動(dòng)力學(xué)模態(tài)的能量分布。如圖中點(diǎn)線所示，稀疏改進(jìn)動(dòng)態(tài)模態(tài)分解提取的9個(gè)主模態(tài)(其余9個(gè)模態(tài)對(duì)稱分布，未在圖中標(biāo)出)呈寬頻特征分布，散布在從低頻區(qū)間到高頻區(qū)間的范圍內(nèi)。在低頻區(qū)間依次出現(xiàn)3個(gè)低頻模態(tài)LF1～LF3，特征頻率fδ/U∞分別為0.002、0.006和0.008，這與之前的壓力脈動(dòng)功率譜密度分布規(guī)律一致。結(jié)果表明，對(duì)于壓縮拐角激波湍流邊界層干擾問題，流場的非定常演化歷程中存在明顯的低頻特性。對(duì)于高頻模態(tài)HF1～HF3，特征頻率fδ/U∞依次為0.139、0.159和0.392。由于瞬態(tài)流場的取樣頻率小于壓力脈動(dòng)的取樣頻率，因此可分辨的高頻模態(tài)頻率值要低于壓力脈動(dòng)的結(jié)果。此外，從圖中還可以清楚看到，DMDSP方法提取的模態(tài)也不并全是流場中的高能模態(tài)。

為了進(jìn)一步解釋該現(xiàn)象，圖7還給出了各動(dòng)力學(xué)模態(tài)振幅與增長率的關(guān)系。從圖中可以明顯看到，此時(shí)高振幅模態(tài)對(duì)應(yīng)著強(qiáng)衰減率，這表明高振幅模態(tài)只對(duì)流場演化的初期階段影響顯著，隨著時(shí)間推進(jìn)，該模態(tài)很快就會(huì)被衰減耗散，因此它們在非定常流場的整個(gè)發(fā)展過程中并不起主導(dǎo)作用。然而，對(duì)于DMDSP提取的主模態(tài)，如圖7中“+”所示，盡管模態(tài)振幅較小，但是其增長/衰減均很小，說明主模態(tài)是穩(wěn)定的。通常對(duì)于穩(wěn)定模態(tài)，其增長率應(yīng)為0，但由于數(shù)值誤差的原因，本文結(jié)果維持在0附近很小的范圍內(nèi)。綜合上述分析，對(duì)于激波與湍流邊界層干擾這類復(fù)雜多尺度流動(dòng)問題，模態(tài)振幅(能量)及其對(duì)應(yīng)的增長率是決定流場特征結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的重要物理量。同時(shí)，相較于原始動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法，稀疏改進(jìn)動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法給出的最優(yōu)動(dòng)態(tài)模態(tài)組合能夠準(zhǔn)確表征流場演化的重要信息。

圖7 模態(tài)振幅與增長率的關(guān)系
Fig.7Relationship between mode amplitudes and growth rates

分析特征模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)有助于進(jìn)一步加深理解不同特征頻率下非定常流場的演化規(guī)律。圖8(a)、圖8(c)和圖8(e)分別給出了上述低頻模態(tài)LF1～LF3對(duì)應(yīng)的實(shí)部。為了便于比較，圖中還給出時(shí)間平均流場結(jié)果，點(diǎn)劃線為聲速線，實(shí)線對(duì)應(yīng)拐角內(nèi)流線分布。可以看到，隨著特征頻率的增加，各低頻模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)分布規(guī)律較為一致，其特征結(jié)構(gòu)均主要集中在分離激波周圍和分離泡上方剪切層的根部附近，此外分離泡內(nèi)也有一定的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度。

圖8(b)、圖8(d)和圖8(f)給出了高頻模態(tài)HF1～HF3對(duì)應(yīng)的實(shí)部?？梢悦黠@看到，高頻模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)與低頻模態(tài)完全不同。從上游湍流邊界層到干擾區(qū)下游，此時(shí)高頻模態(tài)的特征結(jié)構(gòu)沿平均聲速線附近呈現(xiàn)正負(fù)交替分布特征，尤其是在分離泡剪切層及其下游再附區(qū)，結(jié)構(gòu)強(qiáng)度明顯增強(qiáng)。另外，隨著特征頻率的增加，結(jié)構(gòu)尺度也逐漸減小。

為了進(jìn)一步觀察上述特征模態(tài)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，本文還分別基于提取到的低頻和高頻模態(tài)進(jìn)行了流場重構(gòu)。這里定義變量Ms來定量描述不同特征頻率下的運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)制。

圖8 低頻和高頻模態(tài)的實(shí)部
Fig.8 Real part of low and high frequency modes

(13)

式中:Ure為基于特征模態(tài)重構(gòu)出的低階流場瞬時(shí)流向速度，該變量可以直觀地反映不同特征頻率下拐角內(nèi)分離泡的非定常運(yùn)動(dòng)過程。

圖9分別給出了基于低頻模態(tài)(LF1～LF3)和高頻模態(tài)(HF1～HF3)重構(gòu)計(jì)算得到的Ms隨無量綱時(shí)間的變化情況。流向位置取為拐角角點(diǎn)x=0 mm處。從低頻模態(tài)的結(jié)果，可以看到，此時(shí)分離泡的運(yùn)動(dòng)機(jī)制表征為大尺度膨脹和收縮過程，同時(shí)由于選用了3個(gè)不同量值的低頻模態(tài)進(jìn)行重構(gòu)，分離泡的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)非規(guī)則周期性，如圖中給出一個(gè)時(shí)間跨度為965的振蕩周期所示。高頻模態(tài)的結(jié)果與前者則完全不同，從圖中可以看到，此時(shí)分離泡表征為低幅值高頻脈動(dòng)。研究表明，高頻模態(tài)的動(dòng)力學(xué)特征與邊界層內(nèi)不穩(wěn)定波沿剪切層往下游的傳播過程有關(guān)。綜合上述分析，本文研究結(jié)果也支持了以往壓縮拐角內(nèi)低頻振蕩的下游機(jī)制[3]。同時(shí)，從低頻模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)來看，研究結(jié)果還進(jìn)一步表明分離區(qū)剪切層(特別是根部附近的流動(dòng))與干擾區(qū)內(nèi)的低頻振蕩現(xiàn)象存在較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，具體作用機(jī)制有待下一步深入研究。

圖9 M隨無量綱時(shí)間t的變化情況
Fig.9 Time series of variable M

圖10 基于低頻模態(tài)LF1～LF3重構(gòu)的瞬時(shí)流場
Fig.10Reconstruction of instantaneous flow field based on low frequency modes LF1-LF3

此外，圖10還給出了基于低頻模態(tài)重構(gòu)的拐角內(nèi)分離泡膨脹收縮演化歷程。圖10依次給出了圖9中4個(gè)瞬時(shí)時(shí)刻，其中深色區(qū)域代表分離泡，黑色箭頭代表分離區(qū)起始點(diǎn)?？梢郧宄吹?，在t=1 438時(shí)刻，對(duì)應(yīng)為圖9點(diǎn)劃線的波峰a，此時(shí)分離泡尺度最大，隨后在t=1 685和1 970時(shí)，分離泡逐漸收縮，到達(dá)t=1 970時(shí)，分離泡尺度最小，對(duì)應(yīng)為圖9點(diǎn)劃線的波谷c。隨后，分離泡開始膨脹，在t=2 403時(shí)又達(dá)到了波峰狀態(tài)d。

3.2 轉(zhuǎn)捩干擾

圖11 采用Q準(zhǔn)則識(shí)別的轉(zhuǎn)捩干擾下瞬態(tài)渦結(jié)構(gòu)
Fig.11Instantaneous isosurface of Q criteria in transitional interaction

圖11給出了采用Q準(zhǔn)則給出的壓縮拐角轉(zhuǎn)捩干擾下瞬態(tài)渦結(jié)構(gòu)，其中黑色區(qū)域表征瞬態(tài)分離泡。如圖11所示，拐角入口展向兩側(cè)存在大尺度的流向渦串，分離泡上層也存在大尺度渦結(jié)構(gòu)。此時(shí)分離泡沿展向存在強(qiáng)烈的三維結(jié)構(gòu)，呈現(xiàn)中間高兩邊低的山峰型，相關(guān)流動(dòng)機(jī)理分析可參見文獻(xiàn)[24]。

為了深入分析轉(zhuǎn)捩邊界層結(jié)構(gòu)展向非均勻性對(duì)動(dòng)力學(xué)模態(tài)運(yùn)動(dòng)機(jī)制的影響，本文分別在z=2.07 mm和z=5.74 mm處截取瞬態(tài)流場xOy剖面，前者對(duì)應(yīng)為分離泡尺度最小位置，后者對(duì)應(yīng)為分離泡尺度最大位置，如圖11中陰影剖面所示。瞬態(tài)流場的時(shí)間取樣間隔為4.0L/U∞，L為單位特征長度，mm;樣本總數(shù)為400。

圖12給出了轉(zhuǎn)捩干擾下?lián)p失函數(shù)隨模態(tài)數(shù)目的變化情況。與湍流干擾類似，隨著模態(tài)數(shù)目的增加，損失函數(shù)急劇減少。不同展向位置的結(jié)果差別較大，z=5.74 mm剖面損失函數(shù)要明顯高于z=2.07 mm剖面。當(dāng)模態(tài)數(shù)目Nz=15，前者損失函數(shù)約為22%；后者略低，約為18%。

圖13分別給出不同剖面下各動(dòng)態(tài)模態(tài)的能量與特征頻率的關(guān)系。可以看到，轉(zhuǎn)捩干擾工況的各模態(tài)頻率也呈寬頻特征分布，這與湍流干擾的分布規(guī)律一致。從DMDSP提取到的主模態(tài)分布情況來看，計(jì)算結(jié)果也進(jìn)一步支持了之前湍流干擾的研究結(jié)論：模態(tài)能量并不是決定特征模態(tài)選取的唯一因素。此外，盡管不同剖面內(nèi)提取到的特征模態(tài)頻率與能量均有所差別，但頻率范圍均集中在0.01～0.1區(qū)間內(nèi)，如圖中Mode 1～Mode 3所示。在前期的壓力脈動(dòng)功率譜密度分析中[25]，研究發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)捩干擾下非定常流場仍存在明顯的低頻特性。本文的研究結(jié)果進(jìn)一步證實(shí)了上述結(jié)論，可以看到，Mode 1對(duì)應(yīng)的特征頻率與壓力脈動(dòng)的低頻峰值較接近，具體比較見文獻(xiàn)[25]。造成兩者的差異主要是由于DMDSP針對(duì)的是全局流場，而壓力脈動(dòng)功率譜分析則是基于局部流場。

圖12 轉(zhuǎn)捩干擾下?lián)p失函數(shù)隨模態(tài)數(shù)目的變化
Fig.12 Variation of performance loss as a function of number of dynamic modes in transitional interaction

圖13 轉(zhuǎn)捩干擾下模態(tài)能量與頻率的關(guān)系
Fig.13Relationship between mode energy and frequency in transitional interaction

圖14分別給出了不同剖面內(nèi)模態(tài)Mode 1～Mode 3的實(shí)部。該圖能夠很好地反映出轉(zhuǎn)捩邊界層展向結(jié)構(gòu)對(duì)動(dòng)力學(xué)模態(tài)的影響規(guī)律。為了便于分析比較，圖中還給出轉(zhuǎn)捩干擾的時(shí)間平均結(jié)果，實(shí)線表示流線分布，點(diǎn)劃線代表平均聲速線。對(duì)于低頻模態(tài)Mode 1，如圖14(a)和圖14(b)所示，不同剖面內(nèi)模態(tài)結(jié)構(gòu)特征差異明顯。在z=2.07 mm剖面內(nèi)，低頻模態(tài)結(jié)構(gòu)主要集中在干擾區(qū)-20～-4 mm內(nèi)，在干擾區(qū)的下游也有一定的小尺度高能結(jié)構(gòu)；而在z=5.74 mm剖面，模態(tài)結(jié)構(gòu)集中在拐角分離泡內(nèi)，干擾區(qū)上游及下游范圍內(nèi)則相對(duì)要小得多。本文認(rèn)為造成這種結(jié)構(gòu)差異的主要原因有以下兩個(gè)方面。首先，從圖11的瞬態(tài)渦結(jié)構(gòu)中可以清楚看到，由于轉(zhuǎn)捩邊界層結(jié)構(gòu)的展向強(qiáng)非均勻性，此時(shí)z=2.07 mm剖面處于大尺度發(fā)卡渦串中，這使得低頻模態(tài)在干擾區(qū)上游出現(xiàn)較強(qiáng)的結(jié)構(gòu)分布；z=5.74 mm剖面處于中間的層流區(qū)，因而其干擾區(qū)上游的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度則要低得多。另一個(gè)方面，從圖14中的時(shí)均結(jié)果比較來看，z=5.74 mm剖面內(nèi)存在大范圍的分離泡，而z=2.07 mm剖面內(nèi)流場沒有出現(xiàn)明顯的分離現(xiàn)象。結(jié)合之前的模態(tài)分析，低頻模態(tài)與分離泡存在著密切關(guān)系,這也定性解釋了在z=5.74 mm剖面的拐角內(nèi)出現(xiàn)了較強(qiáng)的結(jié)構(gòu)能量，而在z=2.07 mm剖面卻并沒有類似結(jié)構(gòu)的現(xiàn)象。

對(duì)于高頻模態(tài)Mode 2和Mode 3，不同剖面內(nèi)模態(tài)結(jié)構(gòu)的分布規(guī)律有一定的差異，但總體來看，其分布規(guī)律仍較為一致。與湍流干擾的高頻模態(tài)結(jié)構(gòu)的比較來看，轉(zhuǎn)捩干擾下高頻模態(tài)也以聲速線附近正負(fù)交替結(jié)構(gòu)為主，此外隨著模態(tài)頻率的升高，結(jié)構(gòu)尺度也在逐漸減小。綜上所述，轉(zhuǎn)捩干擾下邊界層結(jié)構(gòu)的展向非均勻?qū)Φ皖l模態(tài)影響顯著，對(duì)高頻模態(tài)的影響則相對(duì)較小。

為了分析比較轉(zhuǎn)捩干擾和湍流干擾特征模態(tài)運(yùn)動(dòng)機(jī)制的差異，圖15還分別基于z=5.74 mm剖面的Mode 1和Mode 3對(duì)轉(zhuǎn)捩干擾流場進(jìn)行了低階重構(gòu)。這里仍然采用之前湍流干擾工況中定義的變量Ms進(jìn)行定量化分析。圖15(a)給出了分離泡內(nèi)3個(gè)不同流向位置處Ms的脈動(dòng)量，其中〈Ms〉為時(shí)間平均量。與湍流干擾不同之處在于，此時(shí)是基于單一的低頻模態(tài)Mode 1進(jìn)行重構(gòu)， 如圖15所示， 不同位置處脈動(dòng)量的分布規(guī)律類似，均呈現(xiàn)規(guī)則的周期分布，但不同位置處脈動(dòng)量的峰值略有差別。但是從Ms曲線的整體變化趨勢來看，兩種工況下低頻重構(gòu)的非定常流場演化歷程是一致的，這表明轉(zhuǎn)捩干擾下低頻模態(tài)的運(yùn)動(dòng)機(jī)制同樣表征為分離泡的膨脹和收縮運(yùn)動(dòng)。在圖15(b)高頻模態(tài)Mode 3的結(jié)果中，可以清楚看到，不同流向位置處的結(jié)果均以小幅高頻脈動(dòng)為主，與湍流干擾的高頻結(jié)果相比，脈動(dòng)幅值則要低得多，但基本規(guī)律是一致的，這也表明轉(zhuǎn)捩干擾下高頻模態(tài)的運(yùn)動(dòng)機(jī)制與湍流干擾工況類似。

圖14 轉(zhuǎn)捩干擾下特征模態(tài)的實(shí)部
Fig.14 Real part of dynamic modes in transitional interaction

圖15 轉(zhuǎn)捩干擾下M隨無量綱時(shí)間變化情況
Fig.15Time series of variable M in transitional interaction

4 結(jié) 論

本文采用稀疏改進(jìn)動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法對(duì)來流馬赫數(shù)為2.9、24°壓縮拐角內(nèi)激波邊界層干擾問題進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)模態(tài)分析。從特征模態(tài)的排序和選取方面，評(píng)估了稀疏改進(jìn)動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法在壓縮拐角流動(dòng)問題中的適用性。通過分析特征模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)和重構(gòu)流場的非定常演化歷程，系統(tǒng)研究了湍流干擾和轉(zhuǎn)捩干擾下各動(dòng)力學(xué)模態(tài)的差異及其原因，分析比較了轉(zhuǎn)捩干擾下邊界層展向非均勻性對(duì)流場低頻/高頻模態(tài)動(dòng)力學(xué)機(jī)制的影響規(guī)律。

1) 基于稀疏改進(jìn)動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法提取的特征模態(tài)能夠準(zhǔn)確對(duì)壓縮拐角高維復(fù)雜流場進(jìn)行高精度低階重構(gòu)。模態(tài)能量及其對(duì)應(yīng)的增長率是決定流場特征結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的重要物理量。

2) 湍流干擾和轉(zhuǎn)捩干擾下的壓縮拐角內(nèi)均存在兩類截然不同的動(dòng)力學(xué)模態(tài)：低頻模態(tài)和高頻模態(tài)。前者表征為分離泡的大尺度膨脹和收縮運(yùn)動(dòng)；后者表征為分離泡的小尺度高頻脈動(dòng)。

3) 轉(zhuǎn)捩邊界層的展向非均勻結(jié)構(gòu)對(duì)低頻模態(tài)運(yùn)動(dòng)特性影響顯著，而對(duì)高頻模態(tài)的影響則相對(duì)較小，這與轉(zhuǎn)捩邊界層內(nèi)渦結(jié)構(gòu)分布特征有一定的關(guān)聯(lián)。轉(zhuǎn)捩干擾下的動(dòng)力學(xué)模態(tài)研究進(jìn)一步支持了以往湍流干擾下低頻振蕩機(jī)理研究中的下游機(jī)制。

致 謝

感謝國家超級(jí)計(jì)算天津中心、國家超級(jí)計(jì)算廣州中心、中國科學(xué)院網(wǎng)絡(luò)中心超級(jí)計(jì)算中心以及山西呂梁超級(jí)計(jì)算中心提供計(jì)算機(jī)時(shí)。

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Dynamicmodedecompositionofshockwaveandsupersonicboundarylayerinteractionsinacompressionramp

TONGFulin1,LIXinliang2,3,DUANYanhui1,*

1.ComputationalAerodynamicsInstitute,ChinaAerodynamicsResearchandDevelopmentCenter,Mianyang621000,China2.KeyLaboratoryofHighTemperatureGasDynamics,InstituteofMechanics,ChineseAcademyofSciences,Beijing100190,China3.SchoolofEngineeringScience,UniversityofChineseAcademyofSciences,Beijing100049,China

Shockwaveandboundarylayerinteractionsexistwidelyintheinternalandexternalflowofhighspeedvehicles.Thecomplicatedunsteadyflowfieldhassignificanteffectontheaerodynamicperformanceofaircraft.Dynamicmodalanalysesofunsteadymotionsarehelpfultodeeplyunderstandtheflowstructuresanddynamicalpropertiesofcharacteristicfrequenciesintheinteractions,providinginformationtorevealthecomplexmechanismoftheflow.Amodalanalysisoftheunsteadyflowfieldinshockwaveandboundarylayerinteractionfora24°compressionrampataMachnumber2.9isperformedbyusingDynamicModeDecomposition(DMD).Theapplicabilityofsparsity-promotingDMDinthecompressionrampissystematicallyevaluated.Thedifferencesofandreasonsforthespatialstructuresofthedynamicmodecorrespondingtocharacteristicfrequenciesbetweenturbulentandtransitionalinteractionsarestudied.Theinfluenceofspanwisenon-uniformityofthetransitionalboundarylayeronthedynamicsmechanismofthehighandlowfrequencymodesisanalyzedandcompared.Itisfoundthatlowfrequencymodesarecharacterizedbytheseparationshockandthefootofseparatedshearlayer,exhibitingthebreathingmotionoftheseparationbubble.Thespatialstructuresofhighfrequencymodesaredominatedbythealternatingstructuresaroundthemeansonicline,correspondingtothepropagationofinstablewavespasttheshearlayerabovetheseparationbubble.Additionally,thespanwisenon-uniformityhassignificanteffectonthedynamicpropertiesoflowfrequencymodes,whilealittleeffectonthoseofhighfrequencymodes.

compressionramp;shockwave/boundarylayerinteraction;transition;dynamicmodedecomposition;lowandhighfrequencymodes

2017-05-02；

2017-06-05；

2017-06-19；Publishedonline2017-06-270958

URL：http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171208.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(91441103,11372330);NationalKeyResearchandDevelopmentProgramofChina(2016YFA0401200)

.E-mailduanyanhui@foxmail.com

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.121376

2017-05-02；退修日期2017-06-05；錄用日期2017-06-19；網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間2017-06-270958

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國家自然科學(xué)基金(91441103,11372330)； 國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃(2016YFA0401200)

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