鄭明亮

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立體織機(jī)打緯機(jī)構(gòu)動力學(xué)方程的對稱性解法

鄭明亮

（浙江理工大學(xué) 機(jī)械與控制學(xué)院，浙江 杭州 310018）

曲柄滑塊式打緯機(jī)構(gòu)廣泛應(yīng)用于立體織機(jī)平行打緯中，對其進(jìn)行全面深入準(zhǔn)確的動力學(xué)特性研究，將有助于提升織機(jī)整體性能，提高生產(chǎn)效率。本文主要基于Lie對稱性理論精確計(jì)算了立體織機(jī)打緯機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程，以此克服位置非線性數(shù)值分析以及與設(shè)計(jì)參數(shù)定量顯示關(guān)系的困難。首先，在考慮打緯機(jī)構(gòu)的非線性幾何約束，依據(jù)分析力學(xué)方法建立了兩自由度打緯機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型；其次，運(yùn)用首次積分法得到機(jī)構(gòu)性能指標(biāo)打緯力的解析動態(tài)響應(yīng)曲線，并進(jìn)行了連續(xù)性局部參數(shù)靈敏度分析；最后，實(shí)際算例表明用對稱性理論研究機(jī)構(gòu)非線性動力學(xué)特性，方法新穎，適用范圍廣，結(jié)果可靠準(zhǔn)確，本文的研究內(nèi)容也為織機(jī)打緯機(jī)構(gòu)更精確地動態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)和先進(jìn)控制奠定了理論基礎(chǔ)。

打緯機(jī)構(gòu)；非線性約束；Lie對稱性；打緯力

0 引言

立體織造技術(shù)是一種新型紡織技術(shù)，它使紗線在三維空間中沿著多個方向分布并相互交織在一起形成不分層的整體結(jié)構(gòu)，由它作為碳纖維增強(qiáng)體制成的復(fù)合材料具有一系列優(yōu)異的性能[1-2]，近年來在航空、汽車、能源、航天、運(yùn)動器材、交通等許多領(lǐng)域得到飛速發(fā)展。打緯運(yùn)動是三維立體織造中非常重要的核心環(huán)節(jié)，它的設(shè)計(jì)將會影響引緯機(jī)構(gòu)、開口機(jī)構(gòu)，還直接關(guān)系到碳纖維織物的形成?，F(xiàn)有碳纖維立體織機(jī)打緯機(jī)構(gòu)普遍采用的是的曲柄滑塊裝置同步驅(qū)動鋼筘垂直入緯，實(shí)現(xiàn)平行打緯[3-5]，通過控制曲柄滑塊機(jī)構(gòu)伺服電機(jī)的輸入?yún)?shù)實(shí)現(xiàn)變打緯力輸出，可適應(yīng)不同層數(shù)、不同規(guī)格立體織物的打緯力需求。在織造過程中，打緯力必須大于打緯阻力，才能順利完成打緯運(yùn)動動作。因此，打緯力的精確計(jì)算和校核是設(shè)計(jì)打緯機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵[6-7]。建立打緯機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型并利用現(xiàn)代分析力學(xué)方法開展研究，對于改善織機(jī)織造工藝性能有重要意義。

目前對織機(jī)打緯機(jī)構(gòu)的研究僅停留在簡單動力學(xué)建模和運(yùn)動學(xué)研究上，或者應(yīng)用虛擬軟件對機(jī)構(gòu)進(jìn)行動態(tài)建模獲取其動態(tài)性能指標(biāo)。無論理論求解和軟件仿真計(jì)算都多以數(shù)值手段為主，即采用數(shù)值積分方法，計(jì)算系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)，從而分析系統(tǒng)中存在的運(yùn)動現(xiàn)象和力學(xué)特性[8-13]。而在機(jī)構(gòu)動力學(xué)方程方程精確解析解求方面一直很少有文獻(xiàn)涉及，由于困難重重，尚處于起步階段。Lie對稱性理論在處理線性和非線性、常系數(shù)和變系數(shù)微分方程的問題都是等同的，它和其他的現(xiàn)代分析方法一起，是求常-偏微分方程的解析解的最可能統(tǒng)一的通用工具，可以用來進(jìn)行大范圍的全局動力學(xué)研究，且計(jì)算過程易于程序化特點(diǎn)[14]。國內(nèi)外關(guān)于利用Lie對稱性方法解析研究立體織機(jī)打緯機(jī)構(gòu)動力學(xué)還未有報道。本文基于Lie對稱性方法對打緯機(jī)構(gòu)的動態(tài)性能響應(yīng)進(jìn)行研究，進(jìn)而指出系統(tǒng)參數(shù)對機(jī)構(gòu)動態(tài)特性的影響，為實(shí)現(xiàn)打緯機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和合理控制策略提供理論依據(jù)。

1 動力學(xué)系統(tǒng)的Lie對稱性理論

設(shè)完整約束非奇異力學(xué)Lagrange系統(tǒng)以廣義加速度形式的微分方程為：

引進(jìn)時間和坐標(biāo)的特殊無限小變換：

微分運(yùn)動方程的Lie對稱性是指方程(1-1)在上述無限小變換（2）下形式不變[15]，即：

上式也可以表述成Lie對稱性確定方程：

Lie確定方程(1-4)展開形式為：

微分方程群分析是用來尋找微分方程的對稱性，連續(xù)變換的對稱性都對應(yīng)著一條守恒定律，一個守恒量對應(yīng)一個首次積分，進(jìn)而系統(tǒng)微分方程達(dá)到降階和約化，守恒律在微分方程的可積性、線性化、運(yùn)動常數(shù)方面有重要作用。Lie對稱性在一定條件下可直接導(dǎo)致新型守恒量，再結(jié)合初始條件，從而很容易解出原高階系統(tǒng)的精確響應(yīng)解。

成立，則系統(tǒng)Lie對稱性對應(yīng)的守恒量表達(dá)式為[15]：

2 立體織機(jī)打緯機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型

普通織機(jī)主要用于織造平面織物，鋼筘的運(yùn)動軌跡為圓弧，屬于擺動打緯，很難將立體織物的數(shù)根緯紗同時打入織口，并使每根緯紗所受到的打擊力相等，因此，對立體織物的平行打緯動作需要使用前后往復(fù)運(yùn)動規(guī)律，借用普通織機(jī)打緯運(yùn)動設(shè)計(jì)思想，根據(jù)機(jī)構(gòu)學(xué)當(dāng)四桿機(jī)構(gòu)中有一連桿為曲柄，另一連桿相對機(jī)架作往復(fù)移動而成為滑塊時，四桿機(jī)構(gòu)就變成曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，選擇對心曲柄滑塊式立體織機(jī)打緯機(jī)構(gòu)作為研究對象，如圖1。

圖1 打緯機(jī)構(gòu)的三維實(shí)體圖

圖2 曲柄滑塊打緯機(jī)構(gòu)示意圖

當(dāng)織機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)速度不是很高時，可以將打緯機(jī)構(gòu)的所有構(gòu)件看作剛性體，同時考慮到本文是首次用力學(xué)系統(tǒng)的對稱性理論去分析機(jī)械多體系統(tǒng)的動力學(xué)特性，解析求解微分方程的自由度不應(yīng)過多，本著能說明問題和方法的可行性原則，所以本文暫時不考慮織機(jī)打緯機(jī)構(gòu)運(yùn)動副間隙、構(gòu)件的彈性變形以及機(jī)電耦合等因素。其機(jī)構(gòu)示意圖如圖2所示。

轉(zhuǎn)盤，連桿和滑塊的重力勢能分別為：

由矢量封閉三角形可知，機(jī)構(gòu)有以下明顯非線性幾何約束條件：

整理式(14)可得到多體動力學(xué)歐拉-拉格朗日方程：

其中

3 打緯機(jī)構(gòu)的動態(tài)特性分析

上述方程的解將非常困難，為此我們從系統(tǒng)本身的一些具體特性出發(fā)，易知此約束系統(tǒng)有廣義能量守恒，顯然易得到：

慣性打緯力計(jì)算公式如下：

對于具體的織機(jī)結(jié)構(gòu)模型，可以進(jìn)一步計(jì)算打緯性能指標(biāo)對設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度數(shù)值大小。

4 實(shí)際例子說明

以普通某型立體織機(jī)為例進(jìn)行打緯機(jī)構(gòu)的動力學(xué)特性分析，打緯過程中鋼筘所受的打緯阻力基本由兩部分構(gòu)成：一是緯紗在運(yùn)動過程中與經(jīng)紗摩擦所受的摩擦阻力，二是經(jīng)紗對緯紗的彈性阻力打緯阻力由經(jīng)紗、緯紗之間的摩擦阻力和彈性阻力組成，大小主要取決于紗線種類、經(jīng)紗張力、經(jīng)紗角、緯密、經(jīng)密和幅寬等因素，計(jì)算過程復(fù)雜，計(jì)算詳細(xì)可參見文獻(xiàn)[16]。打緯阻力和驅(qū)動力精確數(shù)值一般由試驗(yàn)系統(tǒng)，系統(tǒng)具體設(shè)計(jì)參數(shù)示于表1中：

表1 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)

圖3 曲柄轉(zhuǎn)角變化曲線圖

圖4 打緯力變化曲線圖

圖5 打緯力與驅(qū)動力矩變化圖

圖6 打緯力與尺寸比變化圖

圖7 打緯力與阻力變化圖

圖7基本可表明，尺寸比和打緯阻力的作用足以影響打緯性能，尺寸長度比與打緯性能關(guān)影響系最明顯，打緯阻力影響也是較明顯的，轉(zhuǎn)矩對機(jī)構(gòu)加速度影響不明顯。因此，單純增加打緯機(jī)構(gòu)電機(jī)驅(qū)動來提升動態(tài)性能的方式并非行之有效的方法，應(yīng)綜合考慮織機(jī)轉(zhuǎn)速、結(jié)構(gòu)尺寸、織物種類并結(jié)合打緯機(jī)構(gòu)其他方向變形帶來的影響來綜合參數(shù)匹配。

5 結(jié)語

本文應(yīng)用分析力學(xué)方法建立了立體織機(jī)打緯機(jī)構(gòu)系統(tǒng)兩自由度動力學(xué)模型，用Lie對稱法計(jì)算了系統(tǒng)機(jī)構(gòu)精確的動態(tài)性能指標(biāo)打緯力變化規(guī)律曲線，并指明了一些設(shè)計(jì)參數(shù)對其變化的影響關(guān)系。結(jié)果表明，Lie分析方法對于求解非線性方程具有良好的擴(kuò)展性，是高效、準(zhǔn)確的，可以為含復(fù)雜因素的打緯機(jī)構(gòu)動力學(xué)特性提供有用的分析工具。同時，本文的內(nèi)容也為打緯機(jī)構(gòu)打緯力的精確控制方法和結(jié)構(gòu)優(yōu)化提高奠定了基礎(chǔ)。

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Symmetry Solution of Dynamic Equations of Weft Beating Mechanism of Stereo Loom

ZHENG Ming-liang

(School of mechanical engineering, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou Zhejiang 310018, China)

The slider crank beating up mechanism is widely used in the parallel beating up of three dimensional looms. It is helpful to improve the overall performance of the loom and increase the production efficiency by studying the dynamics characteristics comprehensively and accurately. In this paper, the dynamic equations of the weft beating mechanism of a solid loom are calculated accurately based on the Lie symmetry method, in order to overcome the difficulty of the position nonlinear numerical analysis and the quantitative display of the design parameters. First, considering the nonlinear geometric constraint of beating up mechanism, a dynamic model of two degree of freedom beating up mechanism is established according to the analytical mechanics method; secondly, the analytical dynamic response curve of beating force of mechanism performance index is obtained by the first integral method, and the continuous local parameter sensitivity analysis is also carried out; finally, the practical example shows that the theory of symmetry can be used to study the nonlinear dynamic characteristics of mechanisms. The method is novel, applicable to a wide range, reliable and accurate. The research content of this paper lays a theoretical foundation for more accurate dynamic optimization design and advanced control of loom beating up mechanism.

beating up mechanism; nonlinear constraint; Lie symmetry; beating force

Th122.0322

A

2095－414X(2017)06－0037－07

鄭明亮（1988-），男，博士研究生，研究方向：機(jī)械振動與動力學(xué)控制.