由悅

【摘要】本文對數(shù)項級數(shù)求和問題，根據(jù)不同類型的一般項，介紹級數(shù)收斂定義求和法和構造關系式法;對函數(shù)項級數(shù)求和問題，介紹逐項微分或積分法和構造關系式法;最后介紹冪級數(shù)求和可直接用冪級數(shù)展開式法.

【關鍵詞】級數(shù)收斂定義;構造關系式;逐項微分;逐項積分

級數(shù)是數(shù)學分析中的一個重要組成部分，其理論是在生產(chǎn)實踐和科學實驗的推動下形成和發(fā)展起來的.因級數(shù)是無限多個數(shù)累加，不能按照有限項加法規(guī)律逐項相加，故提出了下述的解題方法.

一、數(shù)項級數(shù)求和

（一）級數(shù)收斂定義求和法[1]

例1 12+13+122+132+…+12n+13n+….

解 級數(shù)的第n個部分和

Sn=12+122+…+12n+13+132+…+13n

=12-12n1-12+13-13n1-13

=1-12n-1+121-13n-1.

由 limn→∞Sn=limn→∞1-12n-1+limn→∞121-13n-1=32，故級數(shù)收斂于32.

（二）構造關系式法

構造關系式法的關鍵在于運用一些技巧構造出另外一個關于Sn的方程式，再將Sn與Sn的方程式聯(lián)立，解出Sn的具體的表達式，從而求出 limn→∞Sn=S.[2]

二、函數(shù)項級數(shù)求和

（一）逐項微分、積分法

在函數(shù)項級數(shù)一致收斂的條件下，先對其進行逐項微分或積分，然后再反過來進行一次積分或微分，便可得到原級數(shù)的和函數(shù);或者把想要求和的級數(shù)看作是另一個容易求和級數(shù)的逐項微分或積分，最終求得函數(shù)項級數(shù)的和.[3]

（二）構造關系式法

1.轉化為代數(shù)方程求解法

利用四則運算將所給級數(shù)轉化為Sn代數(shù)方程的形式，然后再求解.

例1 計算∑∞n=013ncosnα.

解 記Sn=∑nk=013kcoskα.（1）

Sn兩邊同時乘23cosα得

23cosα·Sn=∑nk=1213kcos（k+1）αcosα

=13n+1cos（n+1）α+Sn-13cosα+19

+19Sn-13n+2.（2）

（1）-（2）再移項得

Sn=13n+2cosnα-13n+1cos（n+1）α+13cosα-191+19-23cosα.

故 limn→∞Sn

=limn→∞13n+2cosnα-13n+1cos（n+1）α+13cosα-191+19-23cosα

=3cosα-110-6cosα.

2.組合法

組合法主要在于能夠發(fā)現(xiàn)某兩項之間的關系式，使得它們組合后的新級數(shù)與原級數(shù)的形式相似.[4]

三、冪級數(shù)求和

直接利用冪級數(shù)展開式求和.

例3 求11·4-12·42+13·43-14·44+….

11·4-12·42+13·43-14·44+…

=∑∞n=0（-1）nn+114n+1

=ln1+14=ln54.

三、結 論

本文由三部分組成.首先，介紹數(shù)項級數(shù)求和問題;然后，介紹函數(shù)項級數(shù)求和問題;最后，介紹冪級數(shù)求和問題.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（下冊）：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]陳欣.關于數(shù)項級數(shù)求和的幾種特殊方法[J].武漢工業(yè)學院學報，2006（2）：101-102.

[3]吳媚.無窮級數(shù)求和的幾種常見方法[J].科技信息職校論壇，2008（19）：586-589.

[4]和珍珍，王超.無窮級數(shù)求和的方法與技巧[J].科教文匯，2010（10）：98-99.