王敏

【摘要】本文考慮定義在[0，β]區(qū)間上的弦方程特征函數(shù)的結(jié)點(diǎn)問題.在密度函數(shù)ρ（x）滿足一定條件時(shí)，利用已知的結(jié)點(diǎn)信息建立了與結(jié)點(diǎn)相關(guān)的平均值公式.

【關(guān)鍵詞】弦方程;結(jié)點(diǎn);特征函數(shù);特征值

一、預(yù)備知識(shí)

常型Sturm-Liouville系統(tǒng)是一類連續(xù)的振動(dòng)系統(tǒng)，而勢(shì)方程和弦方程是Sturm-Liouville系統(tǒng)中最常見的兩種研究對(duì)象.經(jīng)過一個(gè)多世紀(jì)的不斷發(fā)展，Sturm-Liouville理論日趨完善，其在數(shù)學(xué)物理、工程技術(shù)和氣象物理等各個(gè)方面有著重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.人們對(duì)勢(shì)方程的研究越來(lái)越多，也取得了許多進(jìn)展，見文[1-5].然而，對(duì)于弦方程的結(jié)點(diǎn)問題研究甚少.本文的目的是利用研究勢(shì)方程結(jié)點(diǎn)問題的方法來(lái)研究弦方程的結(jié)點(diǎn)問題，建立了與節(jié)點(diǎn)相關(guān)的平均值公式，并給出詳細(xì)證明.

本文主要考慮弦方程（1）的特征函數(shù)的結(jié)點(diǎn)集問題，并給出關(guān)于結(jié)點(diǎn)的平均值公式.

y″（x）+λρ（x）y（x）=0，y（0）=y（β）=0.（1）

其中，0<x<β，ρ（x）稱為密度函數(shù)，ρ（x）>0且ρ（x）∈C2[0，β]是一個(gè)實(shí)值函數(shù).

設(shè)φn（x）表示弦方程（1）的第n個(gè)特征值λn所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)，x（n）1<x（n）2<…<x（n）n-1表示特征函數(shù)φn（x）在區(qū)間（0，β）上的全部結(jié)點(diǎn).記x（n）0=0，x（n）n=β，I（n）j=[x（n）j-1，x（n）j]，|I（n）j|表示結(jié)點(diǎn)區(qū)間I（n）j的長(zhǎng)度，記|I（n）j|=x（n）j-x（n）j-1.根據(jù)變分原理和特征值的單調(diào)性得[6]

λn=∫ x（n）j x（n）j-1[φn′（x）]2dx∫ x（n）j x（n）j-1ρ（x）[φn（x）]2dx，

π2max（ρ，I（n）j）|I（n）j|2≤λn≤π2min（ρ，I（n）j）|I（n）j|2

（2）

成立，其中，max（ρ，I（n）j）和min（ρ，I（n）j）|I（n）j|2分別表示函數(shù)ρ（x）在區(qū)間I（n）j上的最大值和最小值.

二、主要結(jié)論

本節(jié)利用結(jié)點(diǎn)和相關(guān)性質(zhì)給出關(guān)于結(jié)點(diǎn)的平均值公式.

引理1[6] 設(shè)x（n）1<x（n）2<…<x（n）n-1表示問題（1）的特征值λn所對(duì)應(yīng)特征函數(shù)φn（x）的結(jié)點(diǎn)，ρ（x）是密度函數(shù)，則有

limn→∞∑nj=1ρ（x（n）j）n=∫β0（ρ（x））3dx∫β0ρ（x）dx.

引理2[6] 設(shè)x（n）1<x（n）2<…<x（n）n-1表示問題（1）的特征函數(shù)φn（x）的結(jié)點(diǎn)，ρ（x）是密度函數(shù)，則有

limn→∞1n2∑nj=11x（n）j-x（n）j-1=∫β0（ρ（x））2dx∫β0ρ（x）dx2.

定理3 設(shè)x（n）1<x（n）2<…<x（n）n-1表示問題（1）的特征值λn所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)φn（x）的全部結(jié)點(diǎn)，ρ（x）是密度函數(shù)，則有

limn→∞1n3∑nj=11（x（n）j-x（n）j-1）2=

∫β0（ρ（x））3dx∫β0ρ（x）dx3.

證明 由（2）式得

λnmin（ρ，I（n）j）≤π21|I（n）j|2≤λnmax（ρ，I（n）j），

同時(shí)，關(guān)于j求和可得

λn∑nj=1min（ρ，I（n）j）≤π2∑nj=11|I（n）j|2≤λn∑nj=1max（ρ，I（n）j），

同除以n3得

λnn2∑nj=1min（ρ，I（n）j）n≤π2n3∑nj=11|I（n）j|2≤λnn2∑nj=1max（ρ，I（n）j）n，

對(duì)上式取極限（n→∞）有

limn→∞λnn2∑nj=1min（ρ，I（n）j）n≤limn→∞π2n3∑nj=11|I（n）j|2

≤limn→∞λnn2∑nj=1max（ρ，I（n）j）n.

由于

limn→∞λnn2=π2∫β0ρ（x）dx2，（3）

因此，

π2∫β0ρ（x）dx2·∫β0ρ（x）ρ（x）dx∫β0ρ（x）dx≤limn→∞π2n3∑nj=11|I（n）j|2

≤π2∫β0ρ（x）dx2·∫β0ρ（x）ρ（x）dx∫β0ρ（x）dx，

所以，定理3得證.證畢.

三、結(jié) 語(yǔ)

通過對(duì)弦方程結(jié)點(diǎn)問題的研究，建立了關(guān)于結(jié)點(diǎn)的平均值公式.這對(duì)我們今后解決逆結(jié)點(diǎn)問題提供了思路，接下來(lái)，可以考慮利用結(jié)點(diǎn)與密度函數(shù)的關(guān)系，思考僅利用結(jié)點(diǎn)信息是否可以唯一重構(gòu)相應(yīng)的密度函數(shù);此外，我們也可思考當(dāng)密度函數(shù)不滿足ρ（x）∈C2時(shí)，即密度函數(shù)ρ（x）是逐段連續(xù)的實(shí)值函數(shù)時(shí)，如何建立相應(yīng)的均值公式.

【參考文獻(xiàn)】

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[4]傅守忠，徐宗本，魏廣生.不定型Sturm-Liouville逆問題[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)：中文版，2009（1）：47-60.

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[6]SHEN C L.On the nodal sets of the eigenfunctions of the string equation[J].SIAM Journal on Applied Mathematics，1988（6）：1419-1424.