陳茜 程大偉

摘 要：基于穩(wěn)態(tài)流下吸應(yīng)力剖面具有明顯非線性的特點(diǎn)，在僅考慮豎向穩(wěn)定滲流條件下，通過補(bǔ)充普朗德爾假定，利用剛體平衡方法，推導(dǎo)普朗德爾滑動(dòng)面范圍內(nèi)滑動(dòng)土體穩(wěn)態(tài)流下非飽和土地基的極限承載力計(jì)算模型，討論地下水埋深和比流量變化對(duì)地基極限承載力的影響。結(jié)果表明：穩(wěn)態(tài)流下非飽和土地基的極限承載力公式考慮了滑動(dòng)土體內(nèi)吸應(yīng)力非線性分布特點(diǎn)對(duì)地基極限承載力的影響;當(dāng)土體內(nèi)吸應(yīng)力隨深度增加呈現(xiàn)出先增大后減小的特點(diǎn)時(shí)，地基極限承載力隨地下水位埋深減小呈先減后增的變化趨勢(shì);當(dāng)滑動(dòng)土體內(nèi)吸應(yīng)力隨比流量的增大呈現(xiàn)先增后減的趨勢(shì)時(shí)，地基極限承載力呈現(xiàn)先減小再增大的變化趨勢(shì)。

關(guān)鍵詞： 穩(wěn)態(tài)流;非飽和土;地基承載力;地下水

中圖分類號(hào)：TU431

?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? 文章編號(hào)：1674-4764（2018）06-0009-06

Bearing capacity model for? foundations of unsaturated soil

under steady flow condition???

Chen Xi1， Cheng Dawei2

（1.School of Civil Engineering and Architecture， Shaanxi University of Technology， Hanzhong 723001， Shaanxi，

P. R. China; 2.School of Environmental Science and Engineering;Key Laboratory of Subsurface Hydrology and

Ecological Effect in Arid Region of Ministry of Education， Chang'an University， Xi'an 710064，? P. R. China）

?Abstract：The suction stress profile is of? obvious nonlinear characteristics under steady flow condition. This study supplemented the Prandtl assumption under the condition of considering the single vertical seepage and deduced the calculation model of bearing capacity for foundation of? unsaturated soil under steady flow condition by means of rigid body balance method in the range of Prandtl sliding surface. It also discussed the influence of change of the groundwater and ratio flow on bearing capacity. The results show that the bearing capacity formula of unsaturated soil foundation under steady flow can take into account the influence of the nonlinear distribution of the soil suction stress; when suction stress increases firstly， and then decreases with the depth， the bearing capacity decreases first， and then increases as groundwater lever is lowered.

Keywords：steady state flow; unsaturated soil; foundation bearing capacity; groundwater

?地基承載力問題是土力學(xué)的經(jīng)典問題之一[1-3] ，可用極限平衡法和極限分析法進(jìn)行分析。作為典型公式的普朗德爾無重介質(zhì)地基極限承載力公式，在建立地基極限承載力和滑動(dòng)面的基本物理概念和分析途徑上具有重要作用。

巖土工程中所遇土體多為非飽和土，降雨或地下水位抬升往往引起土體內(nèi)含水量和吸應(yīng)力的變化[4-7] ，從而對(duì)非飽和土地基承載力產(chǎn)生影響。近年來，學(xué)者們通過試驗(yàn)研究和理論分析對(duì)非飽和土地基極限承載力開展了大量研究。張常光等[8-9] 在對(duì)現(xiàn)有非飽和土抗剪強(qiáng)度進(jìn)行拓展的基礎(chǔ)上研究了基質(zhì)吸力均勻分布和線性分布下地基極限承載力和地基臨界荷載。李艷等[10] 以三剪統(tǒng)一強(qiáng)度準(zhǔn)則及非飽和土雙應(yīng)力狀態(tài)變量抗剪強(qiáng)度公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了非飽和土條形地基太沙基極限承載力的計(jì)算公式。馬少坤等[11] 利用增量加載的有限元法，對(duì)比分析不同飽和度對(duì)剛性和柔性地基承載力的影響。孟長江等[12] 以Fredlund和包承綱非飽和土強(qiáng)度公式為基礎(chǔ)，分析了考慮常吸力條件下的非飽和土地基承載力。侯建軍等[13] 通過平板載荷試驗(yàn)和靜力觸探，分析浸水前后黃土地基承載力損失規(guī)律。已有研究往往忽視了非飽和土中吸應(yīng)力剖面非線性特點(diǎn)對(duì)地基承載力的影響，或者缺少關(guān)于吸應(yīng)力剖面非線性特點(diǎn)對(duì)地基極限承載力影響的機(jī)理分析。

筆者擬在對(duì)普朗德爾基本假定進(jìn)行補(bǔ)充的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)穩(wěn)態(tài)流下能夠考慮吸應(yīng)力剖面影響的地基極限承載力公式，分析不同地下水位埋深和比流量對(duì)地基極限承載力的影響。

1 基本假設(shè)與模型

普朗德爾對(duì)飽和土地基利用極限平衡理論求解地基極限承載力時(shí)，采用3個(gè)假定進(jìn)行簡化計(jì)算：地基為無重介質(zhì)、基礎(chǔ)底面是完全光滑面、基礎(chǔ)埋深小于基礎(chǔ)寬度的淺基礎(chǔ);將基底平面當(dāng)成地基表面;滑動(dòng)面只延伸到該假定地基表面。根據(jù)特征線法求解偏微分方程組，獲得了相應(yīng)的地基極限承載力。當(dāng)荷載達(dá)到極限荷載 p ?u時(shí)，地基內(nèi)出現(xiàn)連續(xù)滑動(dòng)面，滑動(dòng)土體可分為Ⅰ區(qū)朗肯主動(dòng)區(qū)、Ⅱ區(qū)過渡區(qū)和Ⅲ區(qū)朗肯被動(dòng)區(qū)。滑動(dòng)面的邊界線由Ⅰ區(qū)與水平面成± 45 °+ ?φ 2? ?滑動(dòng)線，Ⅲ區(qū)與水平面成 ± 45 ° - φ 2? ?滑動(dòng)線和連接Ⅰ區(qū)、Ⅲ區(qū)的對(duì)數(shù)螺旋線組成，如圖1所示。

文獻(xiàn)[14]基于普朗德爾假定及普朗德爾所確定 的滑動(dòng)面形式，利用剛體平衡方法獲得了與普朗德爾地基極限承載力相同的解答。具體做法是，將地基中滑動(dòng)土體沿Ⅰ區(qū)和Ⅲ區(qū)中線切開，如圖2所示，取土體 OCEGO 作為隔離體，利用靜力平衡，即對(duì)極點(diǎn) A 的合力矩為零進(jìn)行求解。其中， OA 邊為待求極限承載力 p ?u ， AG 邊為側(cè)荷載 q ， OC 邊為朗肯主動(dòng)土壓力 p ?a ， GE 邊為朗肯被動(dòng)土壓力 p ?p ，對(duì)于飽和土土壓力沿深度方向均勻分布（圖2中虛線所示）， CE 邊為粘聚力 c 及正壓力與摩擦力的合力為 R 。穩(wěn)態(tài)流下非飽和土主動(dòng)土壓力分布具有明顯的非線性分布特點(diǎn)[15] ，如圖2中實(shí)線所示。

為了便于將普朗德爾地基極限承載力公式拓展到穩(wěn)態(tài)流下非飽和土地基承載力計(jì)算情形，作如下補(bǔ)充假定和修正假定：

1）地基土滑動(dòng)面符合普朗德爾所確定的滑動(dòng)面形式，可用剛體平衡方法求解。

2）對(duì)于非飽和土地基， AC 邊與水平面成± 45 ° + φ′ 2 ??，AE邊與水平面成± 45 ° - φ′ 2? ， CE 邊為對(duì)數(shù)螺旋線

r=r 0 e ψ tan ?φ′ ?（1）

式中： r 為對(duì)數(shù)螺旋線任意點(diǎn)到極點(diǎn) A 的距離; r ?0為對(duì)數(shù)螺旋線初始半徑;ψ為射線 r 與 r 0 夾角;φ′為有效內(nèi)摩擦角。

3）僅考慮豎向穩(wěn)定滲流的影響，則 OC 邊為朗肯主動(dòng)土壓力 p ?a -u ?a ?、 GE 邊為朗肯被動(dòng)土壓力? p ?p -u ?a ?分別為[15]

p ?a -u ?a ?=p ?u K ?a -2c′ K ?a ?-

χ（u ?a -u ?w ）（1-K ?a ） （2）

p ?p -u ?a ?=qK ?p +2c′ K ?p ?+

χ（u ?a -u ?w ）（K ?p -1） （3）

式中：u ?a為孔隙氣壓力;K ?a為朗肯主動(dòng)土壓力系數(shù)，K ?a = tan 2? π 4 - φ′ 2? ;c′為有效黏聚力;K ?p 為朗肯被動(dòng)土壓力系數(shù)，K ?p = tan 2? π 4 + φ′ 2? ;χ（u ?a - u ?w ）為吸應(yīng)力。

穩(wěn)態(tài)滲流條件下吸應(yīng)力χ（u ?a -u ?w ）的解析分布函數(shù)[15] 為

χ（u ?a -u ?w ）=-

1 α? ?ln ??1+ q k ?s ???e -αγ ?w z - q k ?s ????1+ - ln ??1+ q k ?s ???e -αγ ?w z - q k ?s ???n （n-1）[]n ???（4）

式中：α和 n 是Van Genuchten模型擬合參數(shù); q 為比流量即降雨量或蒸發(fā)率; k ?s 為飽和滲透系數(shù); γ ?w 為水的重度; z 為到地下水位處的距離。

4）滑動(dòng)面 CE 邊為有效粘聚力c′及正壓力與摩擦力的合力R′，R′指向 A 點(diǎn)。

由于隔離體處于靜力平衡狀態(tài)，各邊界面上的作用力對(duì)極點(diǎn) A 取矩，應(yīng)滿足∑M A=0 （5）

其中，幾何關(guān)系為

OA 邊長度

OA ?= b 2? （6）

OC 邊長度

OC ?= b 2 ?tan ?45 ° + φ′ 2?? （7）

對(duì)數(shù)螺旋線初始半徑

r 0= b 2 cos ?45 ° + φ′ 2??? （8）

對(duì)數(shù)螺旋線終止半徑

r 1=r 0 e? π ?2 ?tan ?φ′ = b e π 2 ?tan ?φ′ ?2 cos ?45 ° + φ′ 2??? （9）

GE邊長度

GE ?=r 1 sin ?45 ° - φ′ 2? =

b e π 2 ?tan ?φ′ ?sin ?45 ° - φ′ 2?? 2 cos ?45 ° + φ′ 2?? = b 2 ?e π 2 ?tan ?φ′ ?（10）

AG 邊長度

AG ?=r 1 cos ?45 ° - φ′ 2? = b e π 2 ?tan ?φ′ ?cos ?45 ° - φ′ 2?? 2 cos ?45 ° + φ′ 2?? =

b 2 ?e π 2 ?tan ?φ′ ?tan ?45 ° + φ′ 2?? （11）

弧面 CE 邊上有效黏聚力對(duì)極點(diǎn) A 產(chǎn)生的力矩M ?c ′ 可由式（12）求得。

M ?c ′ =∫ rc′ cos ?φ′ d s ??（12）

式中： d s= r d ψ ?cos ?φ′ ，代入式（12），可得

M ?c ′ =∫ ?π ?2 ?0c′r2 d ψ =c′r2 0 1 2 tan ?φ′ （ e π tan ?φ′ -1）=

c′? b 2 cos ?45 ° + φ′ 2??? 2 1 2 tan ?φ′ （ eπtan ?φ′ -1）=

1 8 b2c′ cot ?φ′ （ eπtan ?φ′ -1） ?cos 2 45 ° + φ′ 2??? （13）

AG 邊上側(cè)向荷載 q 對(duì)極點(diǎn) A 產(chǎn)生的力矩M q為

M q=q AG ?2 2 = 1 8 qb2 eπtan ?φ′ ?tan 2 45°+ φ′ 2??? （14）

式中：側(cè)向荷載 q 可近似取q=γ ?d，γ ?為基礎(chǔ)埋深范圍內(nèi)土層的平均重度。

OA 邊上地基極限承載力 p ?u 對(duì)極點(diǎn) A 產(chǎn)生的力矩M ?pu 為

M ?pu ?=p ?u ?b2 8? （15）

OC 邊上朗肯主動(dòng)土壓力 p ?a -u ?a ?對(duì)極點(diǎn) A 產(chǎn)生的力矩 M ?pa 為

M ?pa ?=∫OC ???0 p ?a -u ?a ?l d l ?（16）

式中： l 為任意點(diǎn)處的力臂長度。為了便于求解穩(wěn)態(tài)滲流條件下吸應(yīng)力χ（u ?a -u ?w ）的解析分布函數(shù)，將式（16）轉(zhuǎn)化為對(duì)深度 z 積分，則有

M ?pa ?=∫H-d- b 2 ?tan ?45 ° + φ′ 2? ??H-d - p ?a -u ?a ?（H-d-z） d z=

b2 8? p ?u K ?a -2c′ K ?a ???tan 2 45 ° + φ′ 2? +

（1-K ?a ）∫H-d- b 2 ?tan ?45 ° + φ′ 2

H-d χ（u ?a -u ?w ）（H-d-z） d z ?（17）

式中： d 為基礎(chǔ)埋深; H 為地下水位埋深。

同理可得， GE 邊上朗肯被動(dòng)土壓力 p ?p -u ?a ?對(duì)極點(diǎn) A 產(chǎn)生的力矩M ?pp 為

M ?pp ?=∫GE ???0 p ?p -u ?a ?l d l=

∫H-d- b 2 ?eπ ?2 ?tan ?φ′? ?H-d - p ?p -u ?a ?（H-d-z） d z=

b2 8? qK ?p +2c′ K ?p ???e π tan ?φ′ -

（K ?p -1）∫

H-d- b 2 ?eπ ?2 ?tan ?φ′? ?H-d χ（u ?a -u ?w ）（H-d-z） d z ?（18）

式中：GE ?為 GE 邊長度。

將式（13）、（14）、（15）、（17）、（18）代入式（5）可得

M ?pu ?+M ?pa ?=M ?q +M ?pp ?+M ?c ′ ?（19）

整理并化簡，則有

p ?u =q eπtan ?φ′ ?tan 2 45 ° + φ′ 2? +

c′ cot ?φ′ ?eπtan ?φ′ ?tan 2 45 ° + φ′ 2? -1 + 4 b2 （K ?p -

1）∫

H-d

H-d- b 2 ?eπ ?2 ?tan ?φ′

χ（u ?a -u ?w ）（H-d-z） d z + 4 b2 （1-

K ?a ）∫H-d

H-d- b 2 ?tan ?45 ° + φ′ 2? ?χ（u ?a -u ?w ）（H-d-z） d z ?（20）

對(duì)比穩(wěn)態(tài)滲流條件下非飽和土地基極限承載力式（20）與飽和土普朗德爾地基極限承載力公式可以發(fā)現(xiàn)，由于飽和土吸應(yīng)力χ（u ?a -u ?w ）為0，式（20）能退化到與飽和土普朗德爾地基極限承載力公式完全相同的形式，表明建議的穩(wěn)態(tài)滲流條件下非飽和土地基極限承載力具有合理性。

2 計(jì)算與分析

穩(wěn)態(tài)流下非飽和土的吸應(yīng)力垂直分布規(guī)律主要受比流量 q 、地下水位埋深 H 、滲透系數(shù) k ?s ?、Van Genuchten模型擬合參數(shù)α ?v和 n 等因素控制。算例中取基礎(chǔ)寬度 b 為2 m，基礎(chǔ)埋深 d 為1.5 m，土的干重度γ ?d為14.7 kN/m3，有效內(nèi)摩擦角φ′為20°，有效黏聚力c′為10 kPa，殘余含水量θ ?r為0.03，飽 和含水量θ ?s為0.2，飽和滲透系數(shù) k ?s 為5×10-8 ?m/s， Van Genuchten模型擬合參數(shù)α ?v為0.04 kPa-1 和 n 為3，用于計(jì)算分析不同比流量 q 和地下水位埋深 H 對(duì)地基極限承載力的影響。

首先計(jì)算分析不同地下水位埋深 H 對(duì)地基極限承載力的影響。取比流量 q 為-5×10-9 ?m/s，負(fù)號(hào)表示入滲，地下水位埋深分別為3.6、4.6、5.6、7.6、8.6、9.6、10.0 m，則相應(yīng)的地基極限承載力與地下水埋深關(guān)系如圖3所示。

圖3所示的地基極限承載力與地下水埋深關(guān)系表明，穩(wěn)態(tài)流下非飽和土地基極限承載力隨地下水位埋深的減小呈先遞減再增大的變化趨勢(shì)。這主要是因?yàn)椋诒攘髁?q 相同的穩(wěn)態(tài)流情況下，地下水位的變化實(shí)質(zhì)上使得滑動(dòng)土體處于不同的吸應(yīng)力剖面區(qū)段，而穩(wěn)態(tài)流下吸應(yīng)力剖面具有明顯的非線性特征。當(dāng)?shù)叵滤宦裆顬?0 m時(shí)，對(duì)于無粘性土、粉土以及粉質(zhì)黏土，吸應(yīng)力隨深度增加呈現(xiàn)出先增大至某個(gè)峰值然后減小的特點(diǎn)[15] ，可依次分為吸應(yīng)力增大區(qū)段、吸應(yīng)力峰值附近區(qū)段和吸應(yīng)力減小區(qū)段。算例中地下水位埋深為10 m時(shí)吸應(yīng)力剖面如圖4所示，圖中10 m處為地表。地下水位埋深減小，會(huì)使得滑動(dòng)土體依次處于吸應(yīng)力增大區(qū)段、吸應(yīng)力峰值附近區(qū)段和吸應(yīng)力減小區(qū)段，從而導(dǎo)致地基極限承載力隨地下水位埋深的減小呈先遞減再增大的變化趨勢(shì)。

在計(jì)算分析不同比流量 q 對(duì)地基極限承載力的影響時(shí)，取地下水位埋深為5.6 m，比流量 q 分別為-5×10-12 、-5×10-11 、-5×10-10 、-1×10-9 、-5× 10-9 、-1×10-8 、-2×10-8 ?m/s，則相應(yīng)的地基極限承載力與比流量關(guān)系如圖5所示。

圖5所示的地基極限承載力與比流量關(guān)系表明，穩(wěn)態(tài)流下非飽和土地基極限承載力隨比流量的增大呈先減小再增大的變化趨勢(shì)。這主要是由于比流量增大引起滑動(dòng)土體所在范圍的吸應(yīng)力呈現(xiàn)出非線性變化規(guī)律造成的。在算例中，不同比流量 q 條件下的吸應(yīng)力剖面如圖6所示，地表位于5.6 m處，滑動(dòng)土體的Ⅰ區(qū)在2.7～4.1 m區(qū)間，Ⅲ區(qū)在2.3～4.1 m區(qū)間。由圖6可見，在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)吸應(yīng)力均隨比流量的增大呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，從而導(dǎo)致地基極限承載力隨比流量的增大呈先減小再增大的變化趨勢(shì)。

3 結(jié)論

基于普朗德爾確定的滑動(dòng)面形式，通過對(duì)普朗德爾假定進(jìn)行補(bǔ)充，利用剛體平衡方法推導(dǎo)了穩(wěn)態(tài)流下非飽和土地基的極限承載力，并討論了地下水埋深和比流量變化對(duì)地基極限承載力的影響。

1）在僅考慮豎向穩(wěn)定滲流條件下，引入非飽和土朗肯土壓力公式，利用靜力平衡條件，推導(dǎo)非飽和土地基的極限承載力公式;與普朗德爾公式相比，該公式考慮了滑動(dòng)土體內(nèi)吸應(yīng)力對(duì)地基極限承載力的影響。

2）穩(wěn)態(tài)流下吸應(yīng)力剖面的非線性特征是導(dǎo)致非飽和土地基極限承載力隨地下水位埋深表現(xiàn)出非線性變化規(guī)律的重要因素;當(dāng)土吸應(yīng)力隨深度增加呈現(xiàn)出先增大后減小的特點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的地基極限承載力表現(xiàn)出隨地下水位埋深的減小呈先遞減再增大的變化趨勢(shì)。

3）比流量增大引起滑動(dòng)土體所在范圍的吸應(yīng)力非線性變化的特點(diǎn)導(dǎo)致非飽和土地基極限承載力隨比流量變化亦表現(xiàn)出非線性變化趨勢(shì);當(dāng)滑動(dòng)土體內(nèi)吸應(yīng)力隨比流量的增大呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)時(shí)，地基極限承載力隨比流量的增大呈先減小再增大的變化趨勢(shì)。

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