莊小蘭，王 琦

（廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510540）

Mackey-Glass系統(tǒng)歐拉法的動(dòng)力性

莊小蘭，王 琦

（廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510540）

應(yīng)用歐拉法研究了Mackey-Glass系統(tǒng)的動(dòng)力性。證明了隨著延遲的增加，正的不動(dòng)點(diǎn)處將出現(xiàn)一系列霍普夫分支，進(jìn)而分析了不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性，最后，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。

Mackey-Glass系統(tǒng)；歐拉法；霍普夫分支；穩(wěn)定性

目前，延遲微分方程分支理論的研究與應(yīng)用已超過(guò)了原來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)科的界限，成為了動(dòng)力系統(tǒng)理論［1］研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，延遲項(xiàng)的數(shù)值估計(jì)也成為了延遲微分方程數(shù)值研究中的一個(gè)重要方面［2］。文獻(xiàn)［3-11］研究了延遲微分方程的局部霍普夫分支，但對(duì)其相關(guān)的研究仍是一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的課題。王曉燕等［12］研究了二級(jí)Runge-Kutta法用于Van der Pol方程后的離散化系統(tǒng)的霍普夫分支，通過(guò)對(duì)其特征根的討論給出離散化系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域，進(jìn)一步得到數(shù)值霍普夫分支值，最后通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證數(shù)值霍普夫分支對(duì)精確解的逼近行為。2006年，丁效華等［13］通過(guò)前向歐拉方法和離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究得到一個(gè)Nicholson’s blowfies方程，在這之前，Wei和Li［14］已經(jīng)得出產(chǎn)生霍普夫分支的條件和分支周期解的穩(wěn)定性的結(jié)論，他們應(yīng)用規(guī)范型理論和中心流形定理不僅討論了Nicholson’s blowfies方程的線性穩(wěn)定性，也給出了分支周期解的穩(wěn)定性。張春蕊［15］利用Runge-Kutta方法研究了一階延遲微分方程的數(shù)值霍普夫分支，并證明了數(shù)值霍普夫分支的存在性。

對(duì)于延遲微分方程

1 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和局部霍普夫分支

令 p（t）=θx（t），則方程（1）變成

令 u（t）=x（τt），則方程（2）就可以寫(xiě)成

將歐拉法用于方程（3），有

設(shè) yk=uk-u*，那么，有

通過(guò)引入一個(gè)新的變量 Yk=（yk，yk-1，…，yk-m）T，有映射

其中，F(xiàn)=（F0，F(xiàn)1，…，F(xiàn)m）T，

顯然，原點(diǎn)是映射（6）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，并且映射（6）的線性部分是

因此，A的特征方程為

引理1 對(duì)于充分小的正數(shù)τ＞0，方程（8）的所有根的模都小于1。

第二，假新聞泛濫。隨著人工智能不斷成熟，在制造假新聞這一領(lǐng)域里，AI極有可能成為利益方最好的工具，而媒體正是利益方輸送信息最好的渠道。利用人工智能技術(shù)進(jìn)行音視頻造假、機(jī)器人水軍生產(chǎn)大量虛假新聞和評(píng)論等等，已形成一個(gè)“灰色產(chǎn)業(yè)鏈”，其推動(dòng)力便是對(duì)利益和權(quán)力的追求。這一現(xiàn)象在 2016 年美國(guó)大選中就有所顯現(xiàn)，各種假新聞對(duì)總統(tǒng)選舉產(chǎn)生了巨大影響，時(shí)至今日“通俄門”事件仍在美國(guó)發(fā)酵。由此發(fā)展，AI在未來(lái)新聞業(yè)的融合極有可能造成假新聞泛濫的局面，這說(shuō)明未來(lái)新聞業(yè)的發(fā)展或許很大一部分是數(shù)據(jù)權(quán)利的博弈。在這場(chǎng)博弈中，人們看到的世界是真實(shí)的世界嗎？無(wú)疑，新聞的真實(shí)性會(huì)受到嚴(yán)重的沖擊與挑戰(zhàn)。

證明 當(dāng)τ=0時(shí)，方程（8）等價(jià)于λm+1-λm=0，方程有一個(gè)m重根和一個(gè)單根λ=1。

考慮到方程（8）的根 λ（τ），使得 λ（0）=1。

這個(gè)根連續(xù)取決于τ，方程（8）是關(guān)于τ可微的，有

所以，隨著τ＞0，λ不能穿過(guò)1。因此，對(duì)于充分小的正數(shù)τ＞0，方程（8）的所有特征根都在單位圓內(nèi)。

用 eiω表示單位圓上的根，則當(dāng) ω∈（0，π］時(shí)，eiω是方程（8）的根，當(dāng)且僅當(dāng)

由方程（13），得

是正的，sin ω（ω∈［0，π］）和 sin mω 同號(hào)，因此，如果，根據(jù)引理2，存在一個(gè)序列

證明 根據(jù)方程（9）和（10），有

因此，結(jié)論得證。

證明 由引理1和2，應(yīng)用文獻(xiàn)［16］推論2.4，得出以下結(jié)論：

由引理 1 和 2，知道如果 τ∈（0，τ0］，那么方程（8）的所有根的模都小于 1；如果 τ=τ0，那么方程（8）除了外的根的模都小于1，此外，由儒歇定理，關(guān)于模大于1的特征值的個(gè)數(shù)自然得到。

引理4的特殊性質(zhì)立即得到方程（5）的零解穩(wěn)定性，即方程（4）的正不動(dòng)點(diǎn)u=u*。所以我們有關(guān)于方程（4）的以下定理。

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)的目的是通過(guò)一些實(shí)例來(lái)檢驗(yàn)第1節(jié)的結(jié)果，其中β=0.2，β=0.1，n=10。

根據(jù)定理 1 和表 1，結(jié)合圖 1～4，可以得到：當(dāng) τ∈［0，τ0）時(shí)，方程（4）的所有數(shù)值解都是漸近穩(wěn)定的；當(dāng) τ＞τ0時(shí)，數(shù)值解不穩(wěn)定。

表1 不同步長(zhǎng)下分支點(diǎn)的值

圖1 方程（4）的數(shù)值解，步長(zhǎng)h=1/2

圖2 方程（4）的數(shù)值解，步長(zhǎng)h=1/4

圖3 方程（4）的數(shù)值解，步長(zhǎng)h=1/8

圖4 方程（4）的數(shù)值解，步長(zhǎng)h=1/16

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Dynam icsof Eulermethod for Mackey-Glasssystem

ZHUANG Xiao-lan,WANG Qi
（School of Applied Mathematics,Guangdong University of Technology,Guangzhou 510540,China）

In this article,we study the dynamics of Mackey-Glass system applied in Eulermethod.We show a sequence of Hopf bifurcations occur at the positive fixed point as the delay increasing.And we analyze the stability of the fixed point.At last,by giving somenumerical experiments verify the correctnessof Eulermethod.

Mackey-Glasssystem;Eulermethod;Hopf bifurcations;stability

O29

A

1008-0171（2017）06-0006-06

2017-04-20

莊小蘭（1993-），女，廣東遂溪人，廣東工業(yè)大學(xué)碩士研究生。

王桂珍 foshanwgzh@163.com】