姜培華

[摘 要]如果對數(shù)學(xué)知識(shí)的原有認(rèn)知偏離了科學(xué)概念，學(xué)生就易形成認(rèn)知誤區(qū)。以“三角形的面積”一課為例，從學(xué)情檢測、教材對比等角度入手，幫助學(xué)生分析原有認(rèn)知和最終認(rèn)知之間的差異，進(jìn)而尋求最利于學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知體系的學(xué)習(xí)素材來引導(dǎo)學(xué)生走出認(rèn)知誤區(qū)。

[關(guān)鍵詞]認(rèn)知誤區(qū)；學(xué)材設(shè)計(jì)；三角形的面積

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）35-0031-02

學(xué)生在日常生活中逐步形成的前概念與科學(xué)的概念往往大相逕庭，由此就產(chǎn)生了認(rèn)知誤區(qū)。作為教師，要在學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)上，選擇有效的學(xué)習(xí)材料，對學(xué)生進(jìn)行糾正和引導(dǎo)。筆者通過研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)材料的選擇和設(shè)計(jì)是一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)。因此，教師應(yīng)找到學(xué)生出現(xiàn)認(rèn)知誤區(qū)的原因，并以學(xué)材設(shè)計(jì)為抓手引導(dǎo)學(xué)生走出認(rèn)知誤區(qū)。下面以“三角形的面積”的教學(xué)為例進(jìn)行探討。

一、典型學(xué)材的設(shè)計(jì)誤區(qū)及缺陷分析

典型的學(xué)材設(shè)計(jì)1：給學(xué)生提供3個(gè)三角形。

教師給學(xué)生提供3個(gè)三角形，讓學(xué)生結(jié)合原有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行操作，通過這個(gè)學(xué)材的使用，把學(xué)生的思維從“把一個(gè)三角形沿高剪開來拼”調(diào)正到“用兩個(gè)完全相同的三角形來拼”，學(xué)生的思維也能從只會(huì)轉(zhuǎn)化等腰三角形調(diào)正為能夠轉(zhuǎn)化任意三角形。但此學(xué)材設(shè)計(jì)存在的誤區(qū)也是很明顯的，當(dāng)學(xué)生面對三角形無法轉(zhuǎn)化成功的情況時(shí)，教師讓學(xué)生從“三角形可以分為兩個(gè)完全一樣的三角形”這個(gè)原有認(rèn)知調(diào)正到“兩個(gè)完全一樣的三角形，才能拼成平行四邊形”，過程太過生硬，學(xué)生無法調(diào)動(dòng)原有的拼接經(jīng)驗(yàn)，不能獨(dú)立尋找到“倍拼法”。在這個(gè)過程中，教師的探究方式又比較單一，學(xué)生的探究主動(dòng)性沒有被充分調(diào)動(dòng)起來。

典型的學(xué)材設(shè)計(jì)2：給學(xué)生提供以方格圖為背景的直角、銳角、鈍角三角形圖形各一個(gè)（如圖1）。

這個(gè)學(xué)材的設(shè)計(jì)，使學(xué)生能夠在方格圖中用“中位線割補(bǔ)法”完成“倍拼”的構(gòu)想，將三角形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形，因此推理出三角形的面積計(jì)算公式。然而，這一學(xué)材設(shè)計(jì)由于是從直角三角形出發(fā)到銳角三角形再到鈍角三角形的嘗試探究，整個(gè)過程比較繁雜冗長，探究的背景也始終都是在方格圖中，導(dǎo)致學(xué)生在面對沒有任何數(shù)據(jù)背景的任意三角形，需要測量數(shù)據(jù)時(shí)，就束手無策。

典型的學(xué)材設(shè)計(jì)3：給學(xué)生提供以平行四邊形為背景的一個(gè)直角三角形[ABE]（如圖2）。

這個(gè)學(xué)材設(shè)計(jì)是借助平行四邊形和直角三角形之間的特殊關(guān)系，讓學(xué)生完成“加倍”的認(rèn)知，從計(jì)算平行四邊形中直角三角形的面積出發(fā)去推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式，從而逐步完成任意三角形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)。這樣使用學(xué)材設(shè)計(jì)的推導(dǎo)方式比較單一。

二、學(xué)材設(shè)計(jì)的調(diào)正策略及設(shè)計(jì)意圖分析

學(xué)材設(shè)計(jì)片段一：

先給學(xué)生出示直角三角形和方格圖。直接追問學(xué)生怎么算三角形的面積，需要什么數(shù)據(jù)條件。根據(jù)學(xué)生的反饋，再給學(xué)生提供一整張以方格圖為背景的A4紙，紙上印有3個(gè)三角形，讓學(xué)生有創(chuàng)作的空間。

[設(shè)計(jì)意圖]這樣設(shè)計(jì)學(xué)材，是基于兩個(gè)方面的考慮：其一，直接向?qū)W生提出研究的內(nèi)容，大部分學(xué)生在看教材、做作業(yè)的過程中，發(fā)現(xiàn)了公式，并能夠運(yùn)用公式來進(jìn)行面積計(jì)算，學(xué)生由此發(fā)現(xiàn)這節(jié)課并不只是研究怎么算，而是重點(diǎn)研究為什么這樣算，這給本堂課注入了核心的思考力。其二，給學(xué)生提供方格圖，能夠讓學(xué)生對照具體數(shù)據(jù)，研究其中的數(shù)理，這讓學(xué)生面對底和高這些抽象的名稱時(shí)更容易說理和分析。

學(xué)材設(shè)計(jì)片段二：

提問：“三角形的面積公式中為什么要除以2？”學(xué)生展開討論，有的認(rèn)為從三角形的中位線割開，通過旋轉(zhuǎn)拼成一個(gè)長方形，這個(gè)長方形的長與原來的三角形的底一樣，但它的寬是原來三角形的一半，因此高需要除以2。也有學(xué)生認(rèn)為將三角形轉(zhuǎn)化成長方形之后，底邊只有原來的一半，所以底邊要除以2。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，筆者向?qū)W生直觀呈現(xiàn)中位線割補(bǔ)的動(dòng)態(tài)過程，讓學(xué)生直觀看到怎么樣切割才能夠拼成平行四邊形或是長方形。（如圖3）

學(xué)生由此認(rèn)識(shí)到，將三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形或者長方形，需要沿著三角形高的中點(diǎn)到斜邊的中點(diǎn)或從底的中點(diǎn)到斜邊的中點(diǎn)進(jìn)行分割，將高割掉一半或者是將底邊割掉一半來拼成學(xué)過的平行四邊形或者長方形。

[設(shè)計(jì)意圖]這一學(xué)材是根據(jù)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)來進(jìn)行設(shè)計(jì)的，此設(shè)計(jì)以方格圖為背景，使學(xué)生能夠利用割補(bǔ)轉(zhuǎn)化的方法將單個(gè)直角三角形直接分割轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的平行四邊形或是長方形，促使學(xué)生輕松理解三角形面積公式的本質(zhì)內(nèi)涵。

學(xué)材設(shè)計(jì)片段三：

給學(xué)生直觀呈現(xiàn)一個(gè)平行四邊形，已知平行四邊形的面積是6平方厘米，要求學(xué)生觀察思考：能否從平行四邊形中看到三角形？學(xué)生認(rèn)為，平行四邊形的對角線能將其等分成兩個(gè)三角形，三角形的面積是平行四邊形面積的一半。緊接著，又給學(xué)生一個(gè)“單身”的三角形，要求學(xué)生找到“單身”三角形的“伙伴”——平行四邊形（如圖4）。

[設(shè)計(jì)意圖]設(shè)計(jì)這樣的學(xué)材，有兩個(gè)方面的目的，一是強(qiáng)化學(xué)生的直觀感知。先讓學(xué)生將一個(gè)平行四邊形分割成兩個(gè)三角形，然后再從單個(gè)的三角形去想象拼成的平行四邊形，這樣配合動(dòng)態(tài)直觀的感知過程，能夠讓學(xué)生進(jìn)一步內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)。二是通過故事化的語言，讓學(xué)生牢牢記住三角形的“好伙伴”是平行四邊形。在后續(xù)的練習(xí)中，學(xué)生加深了對“÷2”的印象，感受到“底乘高”算的是平行四邊形的面積，要“÷2”才是三角形的面積。

綜上可知，教師要以學(xué)材設(shè)計(jì)為抓手，調(diào)正原有認(rèn)知和最終認(rèn)知之間的差異。只有這樣，才能夠讓學(xué)生經(jīng)歷從不完整的原有認(rèn)知到構(gòu)建完整認(rèn)知的過程。這樣的過程正是學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的過程，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和自主探究能力的根本所在。

（責(zé)編 黃春香）