王爾申，楊福霞，賈超穎，曲萍萍，龐 濤

(沈陽航空航天大學(xué),a.電子信息工程學(xué)院; b.遼寧省通用航空重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110136)

基于加權(quán)最小二乘法的RAIM 算法研究

王爾申a,b，楊福霞a，賈超穎a，曲萍萍a，龐 濤a

(沈陽航空航天大學(xué),a.電子信息工程學(xué)院; b.遼寧省通用航空重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110136)

針對(duì)最小二乘法在衛(wèi)星故障檢測(cè)和識(shí)別中存在的問題，研究將加權(quán)最小二乘算法用于衛(wèi)星故障檢測(cè)和識(shí)別，該算法將測(cè)量方程的協(xié)方差矩陣對(duì)角線元素作為加權(quán)因子，進(jìn)而得到基于加權(quán)最小二乘法的衛(wèi)星故障檢測(cè)算法。通過各顆衛(wèi)星偽距殘差的平方和建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)故障檢測(cè)誤警率和概率密度函數(shù)得到檢測(cè)門限，將計(jì)算得到的偽距殘差平方和與檢測(cè)門限進(jìn)行比較，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)故障的檢測(cè)和隔離。結(jié)合實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證對(duì)比了兩種算法的性能，結(jié)果表明：加權(quán)最小二乘RAIM算法在故障檢測(cè)的靈敏度和故障識(shí)別性能方面優(yōu)于最小二乘RAIM算法的性能。

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)； RAIM； 最小二乘算法； 加權(quán)最小二乘算法

0 引言

完好性是指衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)出現(xiàn)故障不能用于導(dǎo)航時(shí)及時(shí)向用戶進(jìn)行告警的能力。這些故障可能是衛(wèi)星上的電子故障、衛(wèi)星播發(fā)的衛(wèi)星星歷和時(shí)鐘模型偏差、異常大氣層延時(shí)及接收機(jī)故障等。完好性監(jiān)測(cè)就是將故障引起的定位誤差的發(fā)生控制在一定的概率內(nèi)[1]，保障衛(wèi)星導(dǎo)航定位結(jié)果的可靠性。接收機(jī)自主完好性監(jiān)測(cè)(Receiver Autonomous Integrity Monitoring，RAIM)是利用接收機(jī)內(nèi)部冗余觀測(cè)值的一致性檢驗(yàn)進(jìn)行完好性監(jiān)測(cè)。傳統(tǒng)最小二乘RAIM算法中的估計(jì)準(zhǔn)則是觀測(cè)值誤差平方和最小，其思想是以測(cè)量值的一致性為基礎(chǔ)進(jìn)行最小二乘估計(jì)，通過獲得觀測(cè)量誤差的距離殘差矢量，進(jìn)而根據(jù)概率分布確定故障檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量和檢測(cè)門限實(shí)現(xiàn)故障檢測(cè)[2]。

衛(wèi)星導(dǎo)航偽距測(cè)量值中包含多種誤差，包括與衛(wèi)星有關(guān)的衛(wèi)星時(shí)鐘誤差、衛(wèi)星星歷誤差，與信號(hào)傳播有關(guān)的大氣延時(shí)誤差(分為電離層延時(shí)和對(duì)流層延時(shí))，與接收機(jī)有關(guān)的多路徑效應(yīng)和電磁干擾。在有SA(Select Availability)政策時(shí)，SA是主要的誤差影響，上述這些誤差可以忽略不計(jì)；在取消SA政策時(shí)，電離層和對(duì)流層成為主要的誤差影響。因?yàn)椴煌鼋堑男l(wèi)星信號(hào)穿過大氣層角度不同，偽距測(cè)量誤差就不同[3]。因此，本文在最小二乘算法(Least Squares，LS)的基礎(chǔ)上，考慮各誤差對(duì)衛(wèi)星偽距測(cè)量值誤差的不同影響，研究了一種加權(quán)最小二乘RAIM算法[4](Weighted Least Squares，WLS)，并對(duì)加權(quán)因子選擇進(jìn)行了分析，通過實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 加權(quán)最小二乘RAIM算法

1.1 故障檢測(cè)模型

GNSS偽距觀測(cè)量的線性化方程為

y=HX+ε

(1)

式中：y是觀測(cè)偽距量減去利用衛(wèi)星的坐標(biāo)和用戶接收機(jī)的坐標(biāo)計(jì)算得到的距離組成的n×1維矢量；H是n×4維的觀測(cè)矩陣，是由各衛(wèi)星到用戶接收機(jī)的方向余弦向量和第4列全為1的元素構(gòu)成的線性化矩陣；X為未知的矢量，包括接收機(jī)的三維位置和接收機(jī)鐘差；ε為n×1維觀測(cè)噪聲矢量，服從均值為0、方差為σ2的高斯分布。

根據(jù)最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則，對(duì)式(1)運(yùn)用最小二乘估計(jì)求解，得到的解為

(2)

如果對(duì)式(1)觀測(cè)方程兩邊同時(shí)左乘加權(quán)矩陣，并結(jié)合式(2)對(duì)方程進(jìn)行最小二乘估計(jì)，此時(shí)得到的解為

(3)

式中,W為加權(quán)矩陣。

偽距殘差矢量v為

(4)

式中：矩陣A的協(xié)因數(shù)矩陣為Q=W-1-H(HTW·H)-1HT。

偽距殘差平方和為

SSSEWLS=vTv=yTWy。

(5)

當(dāng)觀測(cè)噪聲ε服從正態(tài)分布，SSSEWLS服從自由度為(n-4)的χ2分布，因此，對(duì)SSSEWLS作二元假設(shè)，給定誤警率PFA和概率密度函數(shù)，利用式(6)求得tWLS。

(6)

1.2 故障識(shí)別模型

故障識(shí)別依據(jù)巴爾達(dá)研究的數(shù)據(jù)探測(cè)法，該方法基于最小二乘殘差矢量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，且該統(tǒng)計(jì)量服從某種分布，給定顯著水平，通過對(duì)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)判斷某衛(wèi)星是否為故障星。因此根據(jù)殘差和觀測(cè)誤差的關(guān)系式，定義故障識(shí)別的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為

(7)

式中：i=1,2,…,n，n是可見衛(wèi)星數(shù)；vi為利用加權(quán)最小二乘法求得的偽距殘差；Q=W-1-H(HTWH)-1HT，Qii是矩陣Q的第i行第i列；di服從正態(tài)分布，即di～N(0,1)，對(duì)di做二元假設(shè)，給定總體的誤警率PFA，則可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的檢測(cè)門限TWLSe,算式為

(8)

2 加權(quán)因子的計(jì)算

衛(wèi)星的信號(hào)從發(fā)出到用戶接收的過程中會(huì)受到各種誤差的影響，分析這些誤差并抑制和減弱其影響，將有助于提高導(dǎo)航定位性能。在GNSS定位中，包含多種誤差，如衛(wèi)星鐘差、衛(wèi)星星歷誤差、大氣延時(shí)誤差(分為電離層和對(duì)流層)、多路徑效應(yīng)和電磁干擾等。而在利用最小二乘殘差法進(jìn)行故障檢測(cè)和識(shí)別時(shí)沒有充分考慮這些誤差對(duì)同一系統(tǒng)內(nèi)的衛(wèi)星有不同的影響，因此，在最小二乘殘差的基礎(chǔ)上，充分考慮這些誤差對(duì)同一系統(tǒng)內(nèi)的衛(wèi)星有不同的影響，研究了加權(quán)最小二乘殘差法，利用這些誤差對(duì)每個(gè)衛(wèi)星的不同影響作為加權(quán)因子，選取這些誤差的方差和的倒數(shù)作為加權(quán)因子。

(9)

(10)

3 算法驗(yàn)證和結(jié)果分析

為了驗(yàn)證加權(quán)最小二乘算法在故障檢測(cè)和識(shí)別中的有效性，選用GPS星座，采集以2014年5月29日00點(diǎn)開始的24 h的數(shù)據(jù)，接收機(jī)坐標(biāo)為(-2 965 385.050,-972 576.616, 5 543 892.887)，單位為m。同時(shí)，通過驗(yàn)證所采集的數(shù)據(jù)期間并未有故障發(fā)生。

表1 GPS作為輔助導(dǎo)航時(shí)不同航路階段的完好性要求

表2 檢測(cè)門限值TDWLS

從表2可看出，相同的誤警率，隨著可見衛(wèi)星數(shù)的增加，檢測(cè)門限值變大；相同的可見衛(wèi)星數(shù)，隨著誤警率的增加，檢測(cè)門限值變小。

在驗(yàn)證中設(shè)定誤警率為0.002/h，為了驗(yàn)證算法的檢測(cè)性能，人為地對(duì)12號(hào)衛(wèi)星的1～18 000歷元的偽距添加不同的偏差，并分別利用最小二乘RAIM算法和加權(quán)最小二乘RAIM算法進(jìn)行故障檢測(cè)和識(shí)別。

圖1為在1～18 000歷元中添加偏差。在添加如圖1所示的偏差下，分別利用最小二乘法和加權(quán)最小二乘法進(jìn)行故障檢測(cè)，得到如圖2結(jié)果。

圖1 添加偽距偏差值Fig.1 Adding pseudo-range bias

圖2 最小二乘法和加權(quán)最小二乘法故障檢測(cè)Fig.2 Least squares and weighted least squares fault detection

圖2為在添加圖1所示的故障下顯示的故障檢測(cè)結(jié)果。其中在2000～16 000歷元分別加入偏差值為50 m和65 m的階躍故障，利用最小二乘法和加權(quán)最小二乘法得到檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量都大于檢測(cè)門限，因此，兩種算法都能夠檢測(cè)到故障；在4000～6000歷元以及在8000～14 000歷元分別加入偏差值為55 m和60 m的階躍故障，利用最小二乘法和加權(quán)最小二乘法得到檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量都大于檢測(cè)門限，因此，可得利用最小二乘法和加權(quán)最小二乘法都能夠檢測(cè)到故障，兩種算法都有效。

為了驗(yàn)證加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)和識(shí)別性能，并與最小二乘RAIM算法比較。仿真時(shí)選取1～18 000歷元數(shù)據(jù)，對(duì)第12號(hào)衛(wèi)星的偽距中人為加入故障偏差，偏差值從0 m遞增到100 m，步長為5 m，分別用最小二乘法和加權(quán)最小二乘法每隔10個(gè)歷元進(jìn)行一次故障檢測(cè)和識(shí)別。

從圖3可以看出，在加入的相同偽距偏差下，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)率都大于最小二乘RAIM算法。當(dāng)偽距偏差為40 m時(shí)，最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)率為0，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)率為51.94%；當(dāng)偽距偏差為55 m時(shí)，最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)率為90.72%，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)率為94.44%；當(dāng)偽距偏差為75 m時(shí)，最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)率為99.39%，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)率為100%；當(dāng)偽距偏差為大于80 m時(shí)，最小二乘RAIM算法和加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)率均為100%。由此可得，加權(quán)最小二乘RAIM算法對(duì)故障的敏感度更高，并具有比最小二乘RAIM算法更強(qiáng)的檢測(cè)性能。

圖3 最小二乘法和加權(quán)最小二乘法故障檢測(cè)率Fig.3 Fault detection rate of least squares method and weighted least squares method

圖4給出了檢測(cè)到存在故障衛(wèi)星時(shí)，加權(quán)最小二乘RAIM算法與最小二乘RAIM算法的故障識(shí)別率的比較。

圖4 最小二乘法和加權(quán)最小二乘法故障識(shí)別率圖Fig.4 Fault identification rate of least squares method and weighted least squares method

從圖4可以看出，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障識(shí)別率都大于最小二乘RAIM算法。當(dāng)偽距偏差為40 m時(shí)，最小二乘RAIM算法的故障識(shí)別率為0，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)率為42.61%；當(dāng)偽距偏差為55 m時(shí)，最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)率為89.56%，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)率為93.50%；當(dāng)偽距偏差為75 m時(shí)，最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)率為99.67%，加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)率為100%；當(dāng)偽距偏差為大于80 m時(shí)，最小二乘RAIM算法和加權(quán)最小二乘RAIM算法的故障檢測(cè)率均為100%。由此可得，加權(quán)最小二乘RAIM算法對(duì)故障的敏感度更高，由此并具有比最小二乘RAIM算法更好的識(shí)別性能。

4 結(jié)論

本文研究了加權(quán)最小二乘法，建立了進(jìn)行故障檢測(cè)和識(shí)別的RAIM算法模型，同時(shí)分析了加權(quán)矩陣，給出了算法的詳細(xì)流程和加權(quán)因子的計(jì)算方法。通過實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)算法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明：加權(quán)最小二乘RAIM算法在故障檢測(cè)和識(shí)別性能等方面優(yōu)于采用最小二乘RAIM算法，其結(jié)果對(duì)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)自主完好性監(jiān)測(cè)具有一定的參考價(jià)值。

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ResearchonRAIMAlgorithmBasedonWeightedLeast-SquareMethod

WANG Er-shena,b, YANG Fu-xiaa, JIA Chao-yinga, QU Ping-pinga, PANG Taoa

(Shenyang Aerospace University,a.School of Electronic and Information Engineering;b.Liaoning General Aviation Key Laboratory,Shenyang 110136,China)

In order to solve the problems of the least-square method in satellite fault detection,a Weighted Least-Square (WLS) algorithm is proposed for satellite fault detection and recognition.The algorithm uses the diagonal-line factor in the covariance matrix of the measurement equation as the weighting factor.Then the satellite-fault-detection algorithm based on the WLS method is obtained.The test statistic is established by using the quadratic sum of the pseudo-range residual errors of each satellite.The detection threshold is obtained from the false alarm rate of the fault detection and the probability density function.The calculated quadratic sum of the pseudo-range residual error is compared with the detection threshold,and then the fault detection and isolation is realized.Analysis is made to the performance of the two algorithms according to the measured data.The results show that the WLS RAIM algorithm is superior to the least-square RAIM algorithm on the fault detection sensitivity and fault recognition performance.

Beidou Satellite Navigation System (BDS); Receiver Autonomous Integrity Monitoring (RAIM); least-square method; weighted least-square method

王爾申，楊福霞，賈超穎，等.基于加權(quán)最小二乘法的RAIM 算法研究[J].電光與控制，2017，24 ( 11) : 7-10.WANG E S，YANG F X，JIA C Y，et al.Research on RAIM algorithm based on weighted least-square method[J].Electronics Optics & Control，2017，24( 11) : 7-10．

2016-11-01

2017-01-15

國家自然科學(xué)基金(61571309,61101161)；遼寧省“百千萬人才工程 ”資助項(xiàng)目

王爾申(1980 —),男，遼寧遼陽人，博士，副教授，研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航和接收機(jī)信號(hào)處理算法。

V241.6； TN967.1

A

10.3969/j.issn.1671-637X.2017.11.002