馬清亮， 楊海燕， 吳旭光

(1.火箭軍工程大學(xué)控制工程系，西安 710025； 2.西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，西安 710072)

多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞控制

馬清亮1， 楊海燕2， 吳旭光2

(1.火箭軍工程大學(xué)控制工程系，西安 710025； 2.西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，西安 710072)

對(duì)于多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)，提出一種具有公共Lyapunov矩陣的混合H2/H∞性能準(zhǔn)則?；诙囗?xiàng)式Lyapunov函數(shù)與平方和分解技術(shù)，推導(dǎo)出多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞狀態(tài)反饋控制器的存在條件。通過(guò)求解一個(gè)具有多項(xiàng)式平方和約束的參數(shù)極小化問(wèn)題，給出了混合H2/H∞模糊控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)； 混合H2/H∞控制； 多項(xiàng)式Lyapunov函數(shù)； 平方和優(yōu)化

0 引言

多項(xiàng)式模糊模型是在T-S模糊模型基礎(chǔ)上提出的一種用于描述非線(xiàn)性系統(tǒng)的新型模糊模型[1]。傳統(tǒng)T-S模糊模型的后件采用線(xiàn)性方程描述，采用T-S模糊模型，能夠逼近任意光滑的非線(xiàn)性系統(tǒng)。作為T(mén)-S模糊模型的推廣，多項(xiàng)式模糊模型在整體結(jié)構(gòu)上與T-S模糊模型類(lèi)似。由于采用了多項(xiàng)式非線(xiàn)性方程作為模糊模型的后件，因此，運(yùn)用多項(xiàng)式模糊模型能夠更有效地描述復(fù)雜非線(xiàn)性系統(tǒng)。對(duì)于T-S模糊系統(tǒng)，通常采用二次Lyapunov函數(shù)和線(xiàn)性矩陣不等式(LMI)技術(shù)設(shè)計(jì)模糊控制器；而對(duì)于多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)，則采用多項(xiàng)式Lyapunov函數(shù)與多項(xiàng)式平方和(SOS)優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)模糊控制器，因而能夠降低模糊控制器設(shè)計(jì)的保守性[2]。目前，已有學(xué)者針對(duì)多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制、魯棒

混合H2/H∞控制是具有H∞性能約束的H2優(yōu)化控制問(wèn)題。在控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中，混合H2/H∞控制同時(shí)考慮系統(tǒng)的H2性能和H∞性能，因而能夠使閉環(huán)系統(tǒng)一方面具有較強(qiáng)的魯棒性，另一方面又獲得優(yōu)良的調(diào)節(jié)性能。對(duì)于多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)的混合H2/H∞控制問(wèn)題，目前相關(guān)研究成果尚不多見(jiàn)。

本文在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)的混合H2/H∞狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。首先提出一種具有公共Lyapunov矩陣的多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞性能準(zhǔn)則；進(jìn)而，基于多項(xiàng)式Lyapunov函數(shù)與平方和優(yōu)化技術(shù)，給出了混合H2/H∞狀態(tài)反饋模糊控制器的存在條件和優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

1 問(wèn)題描述

考慮如下非線(xiàn)性系統(tǒng)

(1)

式中：x(t)∈Rn為狀態(tài)向量；f和g是光滑非線(xiàn)性函數(shù)；u(t)∈Rm是控制輸入；w(t)∈Rp是能量有界的外部干擾；z∞(t)∈Rq是控制輸出。

構(gòu)建描述式(1)非線(xiàn)性系統(tǒng)的多項(xiàng)式模糊模型，第i條模糊規(guī)則如下[1]所述。

Ifz1(t) isMi1and … andzp(t) isMip,then

(2)

對(duì)式(2)的多項(xiàng)式模糊模型進(jìn)行反模糊化處理，可得到全局多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)

(3)

根據(jù)平行分布補(bǔ)償原理，對(duì)于式(3)的多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)，可設(shè)計(jì)如下形式的狀態(tài)反饋模糊控制器，即

。

(4)

結(jié)合式(3)和式(4)，可得相應(yīng)的閉環(huán)多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)為

(5)

。

(6)

對(duì)于式(3)的多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)，本文研究目標(biāo)是確定模糊控制器式(4)中增益矩陣Ki(x)(i=1,…,r)，使得式(5)的閉環(huán)模糊系統(tǒng)是穩(wěn)定的，同時(shí)滿(mǎn)足如下性能指標(biāo)。

2)H2性能：由式(6)定義的系統(tǒng)H2性能指標(biāo)達(dá)到最小。

2 多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞性能分析

本章在分析多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)H2性能和H∞性能的基礎(chǔ)上，提出一種基于公共Lyapunov矩陣的多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞性能準(zhǔn)則。

2.1 多項(xiàng)式平方和分解

定義1對(duì)于多元多項(xiàng)式f(x)，其中x∈Rn，若存在一組多項(xiàng)式g1(x),g2(x),…,gm(x)，使得

(7)

則稱(chēng)f(x)為平方和(SOS)多項(xiàng)式[7]。

記ΣSOS表示所有平方和多項(xiàng)式的集合。若f(x)∈ΣSOS，則有f(x)≥0成立。

引理1[8]設(shè)f(x)是一個(gè)階次為2d的多元多項(xiàng)式，其中,x∈Rn；Z(x)是一個(gè)由x的單項(xiàng)式(階次不高于d)構(gòu)成的列向量，則f(x)是SOS多項(xiàng)式的充要條件是存在一個(gè)半正定矩陣Q，滿(mǎn)足

f(x)=ZT(x)QZ(x)

。

(8)

引理2設(shè)F(x)是一個(gè)次數(shù)為2d的N×N維對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式矩陣，其中：x∈Rn，Z(x)是一個(gè)由x的單項(xiàng)式(次數(shù)不高于d)構(gòu)成的列向量，考慮如下3個(gè)條件[7,9]：1)F(x)≥0對(duì)于?x∈Rn均成立；2)vTF(x)v是SOS多項(xiàng)式，其中，實(shí)向量v∈RN與x不相關(guān)；3) 存在一個(gè)半正定矩陣Q，滿(mǎn)足vTF(x)v=(v?Z(x))T·Q(v?Z(x))，其中，“v?Z(x)”表示向量v與Z(x)的Kronecker積。則有：1)?2)；2)?3)。

2.2 多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)的H2性能準(zhǔn)則

(9)

(10)

(11)

(12)

證明：考慮如下形式的候選多項(xiàng)式Lyapunov函數(shù)

(13)

沿式(5)的無(wú)外擾閉環(huán)模糊系統(tǒng)狀態(tài)軌線(xiàn)，對(duì)V(x)求導(dǎo)，可得

(14)

根據(jù)引理2，若條件式(10)和式(11)成立，則有

(15)

。

(16)

對(duì)式(16)兩邊分別從0到∞進(jìn)行積分，并考慮當(dāng)t→∞時(shí)，V(x(t))→ 0，可得

。

(17)

2.3 多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)的H∞性能準(zhǔn)則

下述定理給出了多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)H∞性能判別方法。

(18)

(19)

(20)

式中：Mij(x)=

證明：采用與本文中的定理1以及文獻(xiàn)[10]中的定理6類(lèi)似的推導(dǎo)思路，可證得該定理。限于篇幅，略。

2.4 多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)的混合H2/H∞性能準(zhǔn)則

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

運(yùn)用Matlab 平方和優(yōu)化工具箱(SOSTOOLS)以及半定規(guī)劃工具箱SeDuMi，可判定定理3中的所有條件式(21)～式(25)是否成立[11]。

3 多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞控制器設(shè)計(jì)

本章在定理3的基礎(chǔ)上，給出多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞狀態(tài)反饋模糊控制器的存在條件和設(shè)計(jì)方法。

3.1 混合H2/H∞狀態(tài)反饋模糊控制器的存在條件

(26)

(27)

(28)

(29)

。

(30)

證明：令

。

(31)

將式(31)代入式(22)～式 (25)，可得式(26)～式(29)。

3.2 混合H2/H∞狀態(tài)反饋模糊控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)

引入變量λ，令

。

(32)

根據(jù)引理2和Schur補(bǔ)引理，如果

(33)

成立，式中,v16是與x不相關(guān)的向量，則有式(32)成立。

定理5給出了混合H2/H∞狀態(tài)反饋模糊控制器的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

定理5對(duì)于式(3)的多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)和給定的標(biāo)量γ>0，如果以下的優(yōu)化問(wèn)題

(34)

(35)

且式(5)的閉環(huán)多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)H2性能的上界是λ*。

定理5中的式(34)優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)具有平方和約束條件的參數(shù)極小化問(wèn)題，即平方和優(yōu)化問(wèn)題，可運(yùn)用Matlab SOSTOOLS工具箱進(jìn)行求解[11]。

4 算例仿真

考慮如下非線(xiàn)性系統(tǒng)

(36)

采用扇形非線(xiàn)性建模技術(shù)，建立描述式(36)的非線(xiàn)性系統(tǒng)多項(xiàng)式模糊模型[7]，即

(37)

(38)

相應(yīng)閉環(huán)模糊系統(tǒng)的H2性能的上界λ*=370.502 1，即由式(6)描述的系統(tǒng)H2性能指標(biāo)滿(mǎn)足J2<370.502 1。

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性，分別對(duì)本文提出的混合H2/H∞控制方法和文獻(xiàn)[7]中的H∞控制方法進(jìn)行仿真分析與比較。圖1～圖3分別給出了式(36)的非線(xiàn)性系統(tǒng)在H∞模糊控制器以及混合H2/H∞模糊控制器作用下的狀態(tài)變化曲線(xiàn)和模糊控制輸入量變化曲線(xiàn)。

由圖1～圖3可知，H∞模糊控制器以及混合H2/H∞模糊控制器均能使式(36)的非線(xiàn)性系統(tǒng)在干擾作用下保持穩(wěn)定，具有良好的干擾抑制能力。

通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算可知，在H∞模糊控制器的作用下，式(36)非線(xiàn)性系統(tǒng)的實(shí)際H2性能為625.483 7；在混合H2/H∞模糊控制器的作用下，式(36)非線(xiàn)性系統(tǒng)的實(shí)際H2性能為326.670 2，從而表明與H∞控制相比，采用混合H2/H∞控制方法能夠使系統(tǒng)獲得更好的調(diào)節(jié)性能。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)x1(t)變化曲線(xiàn)Fig.1 Curve of system state x1(t)

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)x2(t)變化曲線(xiàn)Fig.2 Curve of system state x2(t)

圖3 模糊控制輸入u(t)變化曲線(xiàn)Fig.3 Curve of fuzzy control input u(t)

5 結(jié)論

本文在分析多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)H2性能和H∞性能的基礎(chǔ)上，提出了一種具有公共Lyapunov矩陣的多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞性能準(zhǔn)則；進(jìn)而，運(yùn)用多項(xiàng)式Lyapunov函數(shù)與平方和優(yōu)化技術(shù)，給出多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞狀態(tài)反饋模糊控制器存在條件，并將混合H2/H∞優(yōu)化控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)具有多項(xiàng)式平方和約束的參數(shù)極小化問(wèn)題，并給出了混合H2/H∞模糊控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

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MixedH2/H∞ControlofPolynomialFuzzySystems

MA Qing-liang1, YANG Hai-yan2, WU Xu-guang2

(1.Department of Control Engineering,Rocket Force University of Engineering,Xi’an 710025,China; 2.School of Marine Science and Technology,Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,China)

A mixedH2/H∞performance criterion with common Lyapunov matrix is proposed for polynomial fuzzy systems.Sufficient conditions for the existence of mixedH2/H∞state feedback fuzzy controller are derived based on the polynomial fuzzy Lyapunov function and Sum-of-Squares (SOS) decomposation technique.The optimalH2/H∞controller design approach is given by solving a parameter minimization problem with SOS constraints.

polynomial fuzzy system; mixedH2/H∞control; polynomial Lyapunov function; sum-of-squares optimization

馬清亮,楊海燕,吳旭光.多項(xiàng)式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞控制[J].電光與控制，2017，24(7)：1-6.MA Q L,YANG H Y,WU X G.MixedH2/H∞control of polynomial fuzzy systems[J].Electronics Optics & Control,2017,24(7):1-6.

TP13

A

10.3969/j.issn.1671-637X.2017.07.001

2016-06-28

2017-04-13

國(guó)家自然科學(xué)基金(61203007)

馬清亮(1974 —),男,河南商水人，博士，副教授，研究方向?yàn)橹悄芸刂?、非線(xiàn)性控制等。控制以及保性能控制等問(wèn)題展開(kāi)研究，并已有較多的研究成果[2-7]。