黃嘉艷+蔣金山

摘要：概率偽形態(tài)學(xué)是一種新的形態(tài)學(xué)處理方法，與傳統(tǒng)形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算不同，它無需對原數(shù)據(jù)進(jìn)行排列而求得極值，而是基于切比雪夫不等式估計鄰域內(nèi)數(shù)據(jù)的兩個偽極值來定義腐蝕和膨脹結(jié)果，其中參數(shù)k可用來調(diào)節(jié)偽極值與實(shí)際極值的逼近程度，并使概率偽形態(tài)學(xué)方法兼具線性和非線性特性。通過對圖像直方圖進(jìn)行規(guī)定化處理自適應(yīng)地確定參數(shù)k，減小了直接在原直方圖上估計參數(shù)造成的誤差。與傳統(tǒng)形態(tài)學(xué)方法對比，概率偽形態(tài)學(xué)方法的腐蝕膨脹結(jié)果較好地保持圖像的形狀和細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)，同時在邊緣提取中得到的結(jié)果較理想。

關(guān)鍵詞：概率偽形態(tài)學(xué)；參數(shù)選??；自適應(yīng)；腐蝕；膨脹

中圖分類號：TP317.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-9416（2017）11-0075-06

1 引言

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)（Mathematical Morphology，MM）是幾何描述分析和非線性圖像處理的有力工具，這一理論框架是上世紀(jì)80年代由Matheron[1]和Serra[2]等人提出的。MM最初在二值圖像上得到廣泛應(yīng)用，后來將其推廣到灰度圖像上，并根據(jù)定義的序關(guān)系比較鄰域內(nèi)數(shù)據(jù)的大小，來定義形態(tài)學(xué)膨脹、腐蝕運(yùn)算[3]。由于二值圖像和灰度圖像都是標(biāo)量函數(shù)，在標(biāo)量域中數(shù)據(jù)之間存在自然的序關(guān)系，因此，二值形態(tài)學(xué)和灰度形態(tài)學(xué)本質(zhì)上無區(qū)別[4]。而將MM拓展到彩色圖像上就不那么直接，首先需要定義彩色圖像像素之間的全序關(guān)系。文獻(xiàn)[5]定義了4種矢量序來對多元數(shù)據(jù)進(jìn)行排序：邊緣序（M-Ordering）、約簡序（R-Ordering）、偏序（P-Ordering）、條件序（C-Ordering）?；谶吘壭?、條件序、約簡序的形態(tài)學(xué)方法在彩色圖像中得到普遍的應(yīng)用[6]。然而，由于目前對向量的排序并沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，上面定義的四種矢量序關(guān)系在不同應(yīng)用中存在各自缺點(diǎn)和不足，具有一定的局限性。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法（Gray-Level Mathematical Morphology， GLMM）就是基于序關(guān)系對圖像進(jìn)行處理的。

概率偽形態(tài)學(xué)方法（Probabilistic Pseudo-Morphology，PPM）[7]是在偽形態(tài)學(xué)[8， 9]的基礎(chǔ)上提出來的，不同于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)需要考慮數(shù)據(jù)序關(guān)系定義問題，PPM基于切比雪夫不等式估計鄰域內(nèi)的兩個“偽極值”，來定義形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算，并從灰度圖像推廣到彩色圖像（這里的彩色圖像為RGB圖像）。在彩色圖像處理過程中結(jié)合主成分析法（Principal Component Analysis， PCA），在第一主成分?jǐn)?shù)據(jù)上結(jié)合切比雪夫不等式估計局部變量的偽極值，重新定義了形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算：偽腐蝕、偽膨脹。與傳統(tǒng)形態(tài)學(xué)定義邊緣序方法對比，邊緣序方法將R、G、B各分量分開處理來進(jìn)行運(yùn)算，容易引入“假色”，PCA的應(yīng)用能有效的緩解了此問題。本文首先闡述概率偽形態(tài)學(xué)方法定義的基本運(yùn)算，再在灰度圖像上討論參數(shù)k的選取，并說明在參數(shù)k下的偽極值很好的逼近真實(shí)極值，然后對參數(shù)k的作用意義進(jìn)行分類。最后，通過誤差分析驗(yàn)證，在選取的k值下概率偽形態(tài)學(xué)方法得到的基本運(yùn)算結(jié)果與傳統(tǒng)灰度形態(tài)學(xué)的結(jié)果數(shù)值上相似，但視圖結(jié)果顯示，概率偽形態(tài)學(xué)方法抗造性強(qiáng)，能更好的保持了圖像的細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)和形狀，另外，運(yùn)用兩種方法進(jìn)行邊緣提取，概率偽形態(tài)學(xué)方法能得到邊緣更加清晰，輪廓線條更加平滑。

2 概率偽形態(tài)學(xué)

概率偽形態(tài)學(xué)方法是以切比雪夫不等式為理論基礎(chǔ)，該不等式表示任意隨機(jī)變量分布在某個以均值為中心點(diǎn)的特定區(qū)間以外的最大概率，適用于任意分布，要求該分布滿足均值和方差是有限的[10]?，F(xiàn)令為任意隨機(jī)變量，分別是表示其均值和標(biāo)準(zhǔn)差（都為正數(shù)），則切比雪夫不等式表示如下：

3.2.2 誤差分析及驗(yàn)證參數(shù)k的有效性

利用誤差進(jìn)行定性分析，計算二者：不同參數(shù)k下的概率偽形態(tài)學(xué)方法PPM、傳統(tǒng)形灰度態(tài)學(xué)方法GLMM在相同結(jié)構(gòu)元素下的膨脹腐蝕結(jié)果之間的二次誤差，根據(jù)公式：

其中n圖像像素點(diǎn)的個數(shù)，xi、yi分別是PPM、GLMM的運(yùn)算結(jié)果。通過對比在不同參數(shù)下二者的誤差，來驗(yàn)證存在參數(shù)k使二者誤差最小，進(jìn)一步比較得到經(jīng)過高斯規(guī)定化圖像直方圖上得到的參數(shù)下的誤差更小。即概率偽形態(tài)學(xué)在此參數(shù)下的運(yùn)算結(jié)果更好的逼近傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)得到的真實(shí)運(yùn)算結(jié)果。

由于概率偽形態(tài)學(xué)方法通過借助切比雪夫不等式估計傳統(tǒng)灰度形態(tài)學(xué)得到的運(yùn)算結(jié)果，通過比較由規(guī)定化直方圖估計得到的參數(shù)以及在原直方圖上估計的參數(shù)各自的誤差大小，來說明前者得到參數(shù)使結(jié)果更優(yōu)。圖4為其中3幅圖像在不同參數(shù)k下的誤差情況。使用5*5、11*11方形結(jié)構(gòu)元素對圖像進(jìn)行膨脹、腐蝕運(yùn)算。左邊為二次誤差，右邊為對應(yīng)的總誤差，由圖可見，每幅圖像都存在某一k*使得概率偽形態(tài)學(xué)的運(yùn)算結(jié)果與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的誤差最小，為了進(jìn)一步說明在高斯函數(shù)規(guī)定化直方圖上設(shè)置的參數(shù)比在原直方圖上進(jìn)行估計得到的參數(shù)使運(yùn)算結(jié)果誤差更小，即基于高斯函數(shù)規(guī)定化直方圖參數(shù)設(shè)置方法更優(yōu)，通過比較各自參數(shù)下的膨脹、腐蝕誤差結(jié)果及總誤差，具體數(shù)據(jù)見表2，其中參數(shù)設(shè)置列中“規(guī)：”表示在經(jīng)過高斯函數(shù)規(guī)定化直方圖圖像上進(jìn)行的參數(shù)設(shè)置；“原：”表示在原圖像直方圖上進(jìn)行參數(shù)設(shè)置。通過比較各項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，前者誤差不同程度小于后者且總誤差也較小，3幅圖像在高斯函數(shù)規(guī)定化直方圖得到的k=2、1.73、2.11，對比在原直方圖上估計的參數(shù)k=2.64、1.97、3.07的結(jié)果誤差更小，由此證明高斯函數(shù)規(guī)定化設(shè)置參數(shù)這種方法的有效性。

4 對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

圖5（a）、（c）分別是兩種方法設(shè)置的參數(shù)下的概率偽形態(tài)學(xué)（PPM）腐蝕和膨脹結(jié)果視圖，與傳統(tǒng)灰度形態(tài)學(xué)（GLMM）對應(yīng)的結(jié)果視圖（b）進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)：①PPM腐蝕膨脹視圖結(jié)果比GLMM腐蝕膨脹視圖結(jié)果輪廓更加清晰，圖像的對比度改進(jìn)明顯；②在對比高斯函數(shù)規(guī)定化直方圖參數(shù)和原直方圖參數(shù)得到的腐蝕膨脹結(jié)果，發(fā)現(xiàn)前者比后者的視圖輪廓線更加平滑，后者得到圖像的輪廓線較粗，使得腐蝕膨脹后的圖像細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)難以辨析，但前者更好地保持了圖像的細(xì)節(jié)和結(jié)構(gòu)，輪廓線更分明，視圖效果更好。endprint

圖6、圖7是在高斯函數(shù)規(guī)定化直方圖上得到的參數(shù)k的概率偽形態(tài)學(xué)和傳統(tǒng)灰度形態(tài)學(xué)的腐蝕膨脹結(jié)果作對比，使用5*5方形平面結(jié)構(gòu)元素11*11方形平面結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行操作，其由局部細(xì)節(jié)圖可明顯看出它們之間差異。GLMM受圖像的紋理復(fù)雜性和結(jié)構(gòu)元素尺寸的影響較大，使圖像遺失了某些特征，而PPM更好的保留了圖像的紋理結(jié)構(gòu)，且結(jié)果更加平滑柔和。如圖6（b）右局部放大圖中樹杈和小船船體形狀受方形結(jié)構(gòu)元素影響明顯，圖7（b）人像五官呈現(xiàn)方塊狀，而PPM偽腐蝕結(jié)果受結(jié)構(gòu)元素形狀影響小，如圖6（a）、（c）、（e）和（g），其結(jié)果比較平滑；另外，PPM的結(jié)果比GLMM更好的保持了圖像的細(xì)節(jié)，如圖6（e）、（g），較大程度地保留了樹的輪廓、樹干粗細(xì)形狀，圖7（a）、（c）人像眉毛、眼睛鼻梁等細(xì)節(jié)形狀得到保持。這是由于PPM的偽腐蝕偽膨脹運(yùn)算涉及局部的鄰域數(shù)據(jù)分布（均值和標(biāo)準(zhǔn)差），從動態(tài)統(tǒng)計角度看，該方法抗噪性較強(qiáng)。對比傳統(tǒng)方法，PPM對局部噪聲不敏感，使它更好的保持圖像的局部結(jié)構(gòu)。

將概率偽形態(tài)學(xué)在參數(shù)k*下邊緣提取結(jié)果與傳統(tǒng)形態(tài)學(xué)比較，在相同形狀、尺寸的結(jié)構(gòu)元素下，定義形態(tài)學(xué)梯度算子如下：

其中dil_img表示圖像的膨脹；ero_img表示圖像的腐蝕。圖8是在3*3方形結(jié)構(gòu)元素作用下概率偽形態(tài)學(xué)和傳統(tǒng)形態(tài)學(xué)邊緣提取結(jié)果，由圖8可以看出，在確定的參數(shù)k*下概率偽形態(tài)學(xué)方法得到的邊緣更加清晰，與背景對比度較高，更加平滑?？傮w上講，概率偽形態(tài)學(xué)能獲得較理想的邊緣結(jié)果。

5 結(jié)語

本文主要對概率偽形態(tài)學(xué)方法中參數(shù)k的自適應(yīng)設(shè)置進(jìn)行探討，通過高斯函數(shù)規(guī)定化直方圖后再進(jìn)行參數(shù)設(shè)置，對比在原圖像進(jìn)行參數(shù)估計，前者得到的參數(shù)能使概率偽形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算結(jié)果和傳統(tǒng)形態(tài)學(xué)方法的基本運(yùn)算結(jié)果誤差更小，從視圖效果來看，參數(shù)k下的概率偽形態(tài)學(xué)比傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)抗噪性強(qiáng)，能更好地保持圖像的細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)和形狀。對彩色圖像進(jìn)行PPM的偽腐蝕、偽膨脹運(yùn)算是在RGB空間上進(jìn)行，由于該空間上的三個軸表示三基色的數(shù)量級，具有相關(guān)性，在這種顏色空間上更適用PCA；也可在其他如HSV、CIELAB[15]等顏色空間上嘗試執(zhí)行該方法。另外由于概率偽形態(tài)學(xué)方法應(yīng)用PCA在處理彩色圖像，圖像數(shù)據(jù)通過在不相關(guān)的特征方向上進(jìn)行投影得到新數(shù)據(jù)空間，考慮將該方法應(yīng)用到圖像去噪中，對去除高斯非相關(guān)性噪聲有顯著效果，后續(xù)會沿這個方向作進(jìn)一步探究。

參考文獻(xiàn)

[1]G.Matheron.Random sets and integral geometry[M].John Wiley and Sons，Inc，1975.

[2]J.Serra.Image analysis and mathematical morphology[M]. Academic Press，1982；vol 1.

[3]C.Ronse.Why mathematical morphology needs complete lattices[J].1990，21（2）：129-154.

[4]尹星云.數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本原理和發(fā)展[J].科學(xué)創(chuàng)新導(dǎo)報，2008，28：184.

[5]V.Barnett.The ordering of multivariate data[J].Journal of the Royal Statistical Society，1976；139： 318-355.

[6]A.Hanhuery.J.Serra，Mathematical morphology in CIELAB space[M]. Image Anal.Stereol，2002.

[7]A.Caliman，M.Ivanovici，N.Richard. Probabilistic pseudo-morphology for grayscale and color images[J]. Pattern Recognition，2014；47（2）： 721-735.

[8]A. Hanbury，J.Serra.Morphological operators on the unit circle[J]. IEEE Transactions on Image Processing，2001；10： 1842-1850.

[9]J. Angulo，Pseudo-morphological image diffusion using the counter-harmonic paradigm. Advanced Concepts for Intelligent Vision Systems [J]. Lecture Notes in Computer Science.Berlin， Heidelberg：Springer，2010；6474： 426-437.

[10]A.Papoulis.Probability random variables and stochastic processes [M]，3rd.McGraw-Hill，1991.

[11]Rafael C.Gonzalez，Richard E.Woods. 數(shù)學(xué)圖像處理[M].阮秋琦，阮宇智，譯.3版.北京：電子工業(yè)出版社，2008： 72-83.

[12]肖斌，畢秀麗，王振邦.一種基于高斯函數(shù)的直方圖規(guī)定化算法[J].鐵道學(xué)報，2006；28（4）：119-122.

[13]趙通，王國胤，肖斌. 基于多峰高斯函數(shù)的直方圖規(guī)定化算法[J]. 計算機(jī)科學(xué)，2014；41（12）：245-250.

[14]黎光明，張敏強(qiáng)，戴海琦.概率理論偏態(tài)分布數(shù)據(jù)方差分量標(biāo)準(zhǔn)誤估計[J]. 江西師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2012； 36（5）：456-458.endprint

[15]B.Burgeth，A.Kleefeld.Morphology for color images via Loewner order for matrix fields.Mathematical Morphology and Its Applications to Signal and Image Processing. Lecture Notes in Computer Science. Berlin， Heidelberg： Springer，2013； 7883：243-254.

Abstract：Probabilistic pseudo-morphology is a new morphological method differing from the traditional in the basic operational process：dilation and erosion. It does not need to rank the original data then obtain the extremes， instead， it estimates two pseudo-extremes of neighborhood data based on Chebyshev inequality to determine the operations. The parameter k can be used to adjust the approximation degree of the pseudo-extreme value and the actual extreme value， and makes the probabilistic pseudo-morphological method have both linear and nonlinear characteristics. By regularizing the image histogram can adaptively determine the parameter k， then reducing the error caused by estimating directly on the original histogram. Compared with the traditional morphological methods， the results of probabilistic pseudo-morphological erosion and dilation can keep better shape and structure of the details of the image， and the results in the edge extraction is also better.

Key Words：probabilistic pseudo-morphology； parameter setting； adaptivity； erosion； dilationendprint