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(空軍預警學院,湖北武漢430019)

0 引言

進入21世紀以來,航空技術發(fā)展迅速,空中目標的機動性越來越強,對機動目標的跟蹤方法研究也成為了當前目標跟蹤研究方向的一大熱門。對雷達而言,目標機動具有不確定性和無先驗性的特點[1],對于傳統(tǒng)的單模型濾波器,一旦目標因為機動超出模型的跟蹤范圍,機動跟蹤濾波會產生較大的誤差[2]。交互式多模型(Interacting Multiple Model,IMM)算法[3]包含了多個不同模型的濾波器,利用Markov矩陣將濾波器之間的切換關系聯(lián)系起來,取得了較好的效果。

實際應用中,IMM算法性能受到諸多因素影響。

一方面,Markov概率轉移矩陣決定著IMM算法的交互程度,但是標準的IMM算法中,Markov概率轉移矩陣是根據經驗事先給出的固定值。針對這個問題,文獻[4]提出了一種自適應的AMP-IMM算法,通過兩模型誤差壓縮率的比值來實現(xiàn)Markov概率轉移矩陣的自適應,但是這種算法僅僅在兩模型的時候有效,難以滿足實際多模型的需求;文獻[5]針對文獻[4]提出算法的短板,定義了一種新的誤差壓縮率,把文獻[4]提出的算法推廣到了3個及3個以上的模型中,但是算法實際應用中的穩(wěn)定性不足;文獻[6]提出了一種簡單有效的利用量測數(shù)據在線估計模型轉移概率的方法,但是該算法無法精準調整任意兩種模型的切換概率,實際效果不夠理想。

另一方面,濾波器模型的選擇也影響著IMM算法的濾波結果。通常而言,在雷達跟蹤系統(tǒng)中,狀態(tài)方程和量測方程不可能在同一坐標系下都是線性方程[7],需要用到非線性的濾波算法。目前應用比較成熟的非線性濾波算法是無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter,UKF)算法[8],在處理三維及三維以下的非線性系統(tǒng)時有較好的效果。在此基礎上,Ienkaran提出了容積卡爾曼濾波(Cubature Kalman Filter,CKF)算法[9],相對于UKF算法,在三維以上的高維系統(tǒng)中,濾波效果更好,并且實現(xiàn)過程更簡單,運算速度也更快,非常適合解決高維系統(tǒng)的濾波問題。

本文結合IMM算法和CKF算法提出了一種利用后驗信息自適應修正Markov概率轉移矩陣的IMM-CKF算法。

1 CKF算法

首先建立目標的狀態(tài)方程和觀測方程:

式中:X k∈R nx代表系統(tǒng)的狀態(tài)量,Z k代表系統(tǒng)的觀測量,f(·)和h(·)代表非線性函數(shù);w k-1和v k分別代表過程噪聲和觀測噪聲,它們都是零均值的高斯噪聲,方差分別為Q k-1和R k。

CKF算法的步驟如下:

第一步:狀態(tài)預測

1)根據k時刻的狀態(tài)估計值X k和P k生成容積點ξi,k:

式中,m=2n x代表容積點個數(shù),n x代表狀態(tài)量的維數(shù),其中[1]=[I n×n,-I n×n],I表示n維單位矩陣,[1]i為[1]的第i列向量。

2)計算容積點的傳播

3)計算狀態(tài)量的一步預測X k+1|k和狀態(tài)協(xié)方差的一步預測P k+1|k

第二步:量測更新

1)根據一步預測值生成容積點ξi,k+1|k

3)生成量測的一步預測和協(xié)方差的一步預測

式中,R k+1表示量測的噪聲協(xié)方差,P zz代表系統(tǒng)觀測量的協(xié)方差,P xz代表系統(tǒng)狀態(tài)量和觀測量的互協(xié)方差。

4)計算濾波增益

第三步:狀態(tài)更新

2 轉移概率自適應的IMM-CKF算法

2.1 Markov概率轉移矩陣自適應

IMM-CKF算法依舊存在著IMM算法固有的缺陷:Markov矩陣是固定不變的。而Markov矩陣控制著IMM-CKF算法中子模型之間的交互關系。在IM M-CKF算法中,由于多種子模型是并行工作的,如果子模型與目標的運動狀態(tài)越匹配,那么其他模型轉移到該子模型的概率就越大,該子模型在最終的濾波結果中占據的權值就越高。由于目標存在機動性,不同時刻的運動狀態(tài)會發(fā)生較大的變化,模型之間的轉移概率需要根據運動的情況進行調整,如果不能及時調整Markov矩陣中模型之間的轉移概率大小,就會造成算法模型與目標實際運動情況的匹配度降低,運用不匹配模型進行濾波最終會降低算法的濾波精度。

針對上述問題,文獻[6]提出了一種利用模型概率μi來調整P M的方法,它針對矩陣P M中同一列的所有元素都采用相同的變化率進行調整,但是目標在不同的運動狀態(tài),模型集M中每個子模型的匹配程度是不同的,因此,模型兩兩之間的切換速度的變化是不同的,即P M中每一個元素變化速度是不同的。綜上所述,同一列元素的變化速度也就不一樣,需要針對P M中的每一個元素設置單獨的調整系數(shù)。在此基礎上,本文提出了一種更加精細的調整算法。

假設IM M算法中包含有M個子模型,Markov概率轉移矩陣為P M,P M中的元素P ij(i,j=1,2,…,M)表示模型i切換到模型j的概率。在IM M算法中,設定t-1時刻,模型i的概率表示為μi(t-1),模型i到模型j的混合轉移概率為U ij:

定義t-1時刻概率轉移矩陣P M中元素P ij(t-1)的矩陣調整系數(shù)為

式中:i,j=1,2,…,M;α＞0,α表示調整系數(shù)的強度參數(shù)。如果0＜α＜1,則減慢εij的調整速度;如果α＞1,則加快εij的調整速度,本文默認值為α=1。如果P ij(t-1)-U ij(t-1)＞0,那么εij＞1,下一時刻需要提高P ij(t-1),此時模型j與目標的運動更匹配;如果P ij(t-1)-U ij(t-1)＜0,那么εij＜1,下一時刻需要減小P ij(t-1),此時模型j與目標的運動不匹配。這樣可以通過每一個εij(t)單獨調整P M中的每一個獨立元素,更加精確地完成對目標不同運動模式的自適應調整。

設定調整后的Markov概率轉移矩陣為P′M,則矩陣P′M中的元素為P′ij(t):

調整之后的Markov概率轉移矩陣還需要進行歸一化處理,使其滿足Markov概率轉移矩陣的兩條要求:

1)Markov概率轉移矩陣中的任意元素都不小于0;

2)Markov概率轉移矩陣中任意一行的元素之和為1。

歸一化之后的Markov轉移概率為

經過上述處理步驟之后,Markov概率轉移矩陣可以根據目標的運動情況進行自適應調整:對于匹配的子模型,提高其他模型轉移到匹配子模型的概率,降低非匹配模型的轉移概率。與此同時,在最終的輸出結果中,匹配模型的權重也相應得到了提高,降低了非匹配模型與匹配模型在輸出結果中的競爭帶來的誤差,提高了濾波的精度。

2.2 自適應IMM-CKF算法

自適應IM M-CKF算法的流程如圖1所示。

圖1 自適應IM M-CKF算法的流程

假設跟蹤的目標有M種可能的運動狀態(tài),設計的IMM模型集中包含M個濾波器模型。在k-1時刻,系統(tǒng)的最終的狀態(tài)估計為X(k-1|k-1),模型j的狀態(tài)估計為X j(k-1|k-1),濾波協(xié)方差為P j(k-1|k-1)。

第一步:模型j輸入交互

將k-1時刻系統(tǒng)的狀態(tài)估計與模型j的概率融合,得到模型j的混合狀態(tài)估計,將混合估計作為當前濾波循環(huán)的初始狀態(tài):

第二步:模型j濾波開始

將第一步中生成的混合狀態(tài)估計X oj(k-1|k-1)和混合協(xié)方差估計P oj(k-1|k-1)作為模型j的輸入,利用上一節(jié)給出的CKF算法進行濾波,模型j濾波輸出的狀態(tài)估計結果為X j(k|k),協(xié)方差估計結果為P j(k|k),并且得到殘差為γj(k|k),殘差的協(xié)方差為P zz,j(k)。

第三步:模型j概率更新

模型j的似然函數(shù)為

第四步:所有濾波器輸出結果融合

系統(tǒng)最終狀態(tài)估計為

系統(tǒng)最終協(xié)方差估計為

3 仿真分析

為了檢驗本文給出的Markov概率轉移矩陣自適應IM M-CKF濾波算法的有效性,運用蒙特卡洛仿真實驗來對算法的性能進行檢驗。

設定目標在二維平面運動,目標初始位置坐標為(2 000 m,2 000 m),雷達的初始位置為(-10 000 m,1 000 m),目標的初始速度為(0 m/s,100 m/s),初始協(xié)方差矩陣P0=diag(30,5,30,5),仿真的周期T=1 s,仿真時間為500 s,目標的運動軌跡為:在t=0～15 s目標進行勻速直線運動;在t=151～300 s,目標進行低速轉彎運動,轉彎角速度為-1.8°/s;在t=301～400 s,目標進行勻速直線運動;在t=401～450 s,目標進行高速轉彎運動,轉彎角速度為5.4°/s;在t=451～500 s,目標進行勻速直線運動。

算法的模型集包含3個子模型,分別為勻速模型、低速轉彎模型和高速轉彎模型。其中模型一的勻速運動采用CV模型建模,目標的運動狀態(tài)方程[10]如下:

系統(tǒng)的過程噪聲協(xié)方差Qcv=diag(0.01,0.01,0.01,0.01)。

模型二和模型三采用CT模型建模,目標的運動狀態(tài)方程[10]如下:

對于低速轉彎模型,w=-1.8°/s,對于高速轉彎模型,w=5.4°/s。低速轉彎模型的過程噪聲協(xié)方差Qct1=diag(0.01,0.01,0.01,0.01),高速轉彎模型的噪聲協(xié)方差Qct2=diag(0.01,0.01,0.01,0.01)。

IMM算法中設定每個模型的初始模型概率值都為1/3,觀測噪聲方差R=diag(102,0.0062),模型的Markov概率轉移矩陣為

仿真實驗采用標準IMM-CKF算法以及本文提出的自適應IMM-CKF算法進行跟蹤濾波,分別進行了100次蒙特卡洛仿真實驗,通過位置和速度的均方根誤差來比較算法的跟蹤性能,算法仿真的結果如圖2所示。

圖2 跟蹤濾波軌跡

3.1 模型概率對比分析

對比圖3和圖4,自適應IMM-CKF算法的濾波模型概率明顯與運動狀態(tài)的匹配程度更好。由于IMM算法的模型集包含多個子模型,因此在濾波的過程中模型之間存在競爭關系。以t=151～300 s慢速轉彎階段為例,在圖3所示的標準IMM-CKF算法概率變化曲線中,慢速轉彎的模型概率雖然達到了0.7左右,但是,其他幾個不匹配模型的概率依然占到了0.3左右的概率,這會降低最終的融合結果精度;而在圖4自適應的IMM-CKF算法概率變化曲線中,慢速轉彎的模型概率基本趨近于1,其他不匹配模型的概率接近于0,自適應算法的模型概率與目標的運動狀態(tài)匹配得更好。

圖3 IMM-CKF模型概率曲線

圖4 自適應IMM-CKF濾波算法

3.2 跟蹤性能對比分析

從仿真的結果可知:

1)模型誤差更小。在圖5中,在濾波開始階段,位置均方根誤差曲線在前期經過一段時間自適應調整之后,自適應IMM-CKF算法的誤差曲線要低于標準IMM-CKF算法,這是因為自適應IMM-CKF算法引入了后驗信息實時修正Markov概率轉移矩陣,模型的匹配程度更好,在跟蹤濾波效果上要優(yōu)于標準IMM-CKF算法,這與前期的理論分析是一致的。但是由于IMM算法先天存在著模型切換時間滯后的問題,自適應算法沒有明顯改善這一缺點,在滯后的短暫幾個時刻會引起較大的誤差,這一點在圖4和圖5中也顯示出來了。

2)模型之間的切換時間更短。對比圖5和圖6,在模型的切換時刻,即t=150,300,400和450 s,圖5中自適應IMM-CKF算法可以迅速完成模型的切換,而圖4中標準IMM-CKF算法需要一定的過渡時間才能完成模型的切換。

圖5 位置的均方根誤差

圖6 速度的均方根誤差

3)新算法的濾波性能更好。從表1的數(shù)據對比可以看出,新算法在X方向位置的RMSE均值比標準算法提高了23.96%,X方向速度的RMSE均值比標準算法提高了63.37%,而算法耗時僅僅增加了5.97%,新算法在性能上比標準算法提升明顯。

表1 仿真結果性能對比

4 結束語

本文針對標準IMM算法中Markov概率轉移矩陣固定不變的問題,通過Markov概率轉移調整系數(shù),引入后驗信息對Markov概率轉移矩陣進行實時調整,設計了一種自適應IMM-CKF算法,不僅提高了算法的跟蹤濾波精度,并且算法具有更好的模型匹配度、更短的模型切換時間間隔。

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