戴一范++張淑杰++周陽(yáng)

摘要： 為獲得空間桁架結(jié)構(gòu)的合理構(gòu)型，以某空間設(shè)備支撐結(jié)構(gòu)為例，分析結(jié)構(gòu)材料在設(shè)計(jì)空間的分布形式和桁架結(jié)構(gòu)的傳力路徑。在已知載荷約束和設(shè)計(jì)空間大小的條件下，基于連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法，以靜態(tài)多工況剛度和動(dòng)態(tài)固有頻率為多目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化分析。依據(jù)設(shè)計(jì)要求確定計(jì)算模型的結(jié)點(diǎn)數(shù)和結(jié)點(diǎn)位置，獲得滿(mǎn)足要求的空間桁架結(jié)構(gòu)并進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化結(jié)果比原模型質(zhì)量減少36.7%，一階模態(tài)提高3.6%。

關(guān)鍵詞： 桁架結(jié)構(gòu)； 拓?fù)鋬?yōu)化； 多目標(biāo)； 構(gòu)型

中圖分類(lèi)號(hào)： V19文獻(xiàn)標(biāo)志碼： B

Optimization design of space truss structure

DAI Yifan1， ZHANG Shujie1， ZHOU Yang2

（1. School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics， Tongji University， Shanghai 200092， China；

2. Shanghai Yuesheng Information Technology Co.， Ltd.， Shanghai 201100， China）

Abstract： In order to obtain the reasonable configuration of space truss structure， the distribution form of structural material and the transmission path of truss structure are analyzed by taking the supporting structure of space equipment as an example. On the basis of continuum topology optimization method， under the condition that the load constraint and design space size are known， the static multicondition stiffness and dynamic natural frequency are optimized and analyzed as multiobjective functions. According to the design requirements， the node number and node positions of the calculation model are determined， the space truss structure is obtained， and the optimum design is achieved. The final optimization result is that the mass of the original model is reduced by 36.7% compared with the original models， and the first mode is improved by 3.6%.

Key words： truss structure； topology optimization； multiple objective； configuration

收稿日期： 2017[KG*9〗05[KG*9〗17修回日期： 2017[KG*9〗06[KG*9〗28

作者簡(jiǎn)介： 戴一范（1989—），男，廣西平南人，碩士研究生，研究方向?yàn)楹教炱鹘Y(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，（Email）08daiyifan@#edu.cn0引言

桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)常用的基結(jié)構(gòu)法[12]以虛擬的初始基結(jié)構(gòu)入手，通過(guò)改變桿件結(jié)點(diǎn)位置、拓?fù)溥B接情況和截面尺寸實(shí)現(xiàn)桁架結(jié)構(gòu)的拓?fù)浜筒季謨?yōu)化，其最優(yōu)解是基結(jié)構(gòu)的一個(gè)子集，因此合理的結(jié)構(gòu)形式是整個(gè)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的基礎(chǔ)。AZID等[3]基于遺傳算法，提出桁架基結(jié)構(gòu)的自動(dòng)形成機(jī)制，避免傳統(tǒng)的基結(jié)構(gòu)法中存在的缺陷；姜冬菊等[4]智能生成形式多樣、合理的基結(jié)構(gòu)代替?zhèn)鹘y(tǒng)優(yōu)化模型中單一基結(jié)構(gòu)。此類(lèi)問(wèn)題的研究大多是針對(duì)二維平面桁架的。在特定的載荷和約束條件下，對(duì)于三維空間桁架，很難采用定量的方法來(lái)描述其結(jié)構(gòu)形式，因此該類(lèi)研究較少。

本文在已知三維設(shè)計(jì)空間大小和約束載荷的條件下，基于連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法建立優(yōu)化模型，以多工況下靜態(tài)剛度和動(dòng)態(tài)固有頻率為目標(biāo)函數(shù)，獲得結(jié)構(gòu)材料在設(shè)計(jì)空間的分布形式和傳力路徑，構(gòu)造空間桁架的結(jié)構(gòu)構(gòu)型，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行詳細(xì)設(shè)計(jì)。

1優(yōu)化理論

1.1連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化

連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化主要針對(duì)平面、板殼、實(shí)體等結(jié)構(gòu)，在滿(mǎn)足一定的邊界載荷條件下，尋找結(jié)構(gòu)材料在設(shè)計(jì)空間的分布形式，并確定結(jié)構(gòu)內(nèi)有無(wú)孔洞以及孔洞的數(shù)量和位置等拓?fù)湫问?，使結(jié)構(gòu)能將外載荷傳遞到支座。[5]

目前，連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法主要有均勻化方法、變密度法和變厚度法[6]等。其中，變密度法作為常用的優(yōu)化方法，已經(jīng)被大多數(shù)國(guó)外先進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件采用，并取得良好的效果。變密度法采用固體各向同性材料懲罰（solid isotropic material with penalization，SIMP）模型方法，將有限元模型設(shè)計(jì)空間的每個(gè)單元的密度作為設(shè)計(jì)變量。引入一種假想的密度可變的材料，其相對(duì)密度（偽密度）與彈性模量之間的關(guān)系也是假定的，以每個(gè)單元的偽密度為設(shè)計(jì)變量，將結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為材料最優(yōu)分布設(shè)計(jì)問(wèn)題。SIMP模型通過(guò)引入懲罰因子對(duì)中間密度值進(jìn)行懲罰，使中間密度向01聚集，拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果能很好地逼近實(shí)體和孔洞分明的01優(yōu)化結(jié)果。[7]材料插值模型的懲罰函數(shù)定義為Ei（x）=xpE0，0≤xmin≤x<1（1）式中：Ei（x）為第i個(gè)單元的密度；E0為單元滿(mǎn)材料時(shí)的彈性模量；x為材料的相當(dāng)密度；p為懲罰因子。

采用OptiStruct進(jìn)行連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化，使用SIMP插值方法作為材料模型，用凸規(guī)劃法中的移動(dòng)漸進(jìn)線法作為優(yōu)化算法。

1.2結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)

結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化以體積作為約束，同時(shí)考慮多工況下靜態(tài)剛度目標(biāo)和動(dòng)態(tài)振動(dòng)頻率目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化。每一個(gè)工況對(duì)應(yīng)一個(gè)剛度最優(yōu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，不同的載荷工況會(huì)得到不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。[8]因此，多工況拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題屬于多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。本文由折中規(guī)劃法結(jié)合平均頻率法可得到多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的綜合目標(biāo)函數(shù)為[9]MIN F（x）=ω2mk=1wkCk（x）-Ck，minCk，max-Ck，min2+（1-ω）2Λmax-Λ（x）Λmax-Λmin212（2）式中：F（x）為綜合目標(biāo)函數(shù)；ω為柔度目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重，取值為0.6；m為靜力載荷工況數(shù)，取值為4；wk為第k個(gè)工況的權(quán)值，分別取值為0.4、0.2、0.2和0.2；Ck，max和Ck，min分別為第k個(gè)工況柔度目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值；Λ（x）為平均頻率；Λmax為固有頻率目標(biāo)函數(shù)的最大值，可以通過(guò)單獨(dú)以頻率為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化獲得；Λmin為固有頻率目標(biāo)函數(shù)的最小值，可采用原來(lái)模型的固有頻率。

2實(shí)例研究

為獲取某空間設(shè)備支撐桁架的結(jié)構(gòu)形式，對(duì)其進(jìn)行連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化。該桁架結(jié)構(gòu)示意見(jiàn)圖1，其中黃色部分表示空間設(shè)備，為非設(shè)計(jì)區(qū)域；藍(lán)色部分表示支撐桁架所在的空間，即設(shè)計(jì)區(qū)域。設(shè)計(jì)區(qū)域直徑為3 m，高度為1 m?？臻g設(shè)備通過(guò)48個(gè)壓緊點(diǎn)連接到設(shè)計(jì)區(qū)域即支撐桁架上。

2.1邊界載荷條件

假設(shè)空間設(shè)備的質(zhì)量為30 kg，通過(guò)48個(gè)壓緊點(diǎn)將自身結(jié)構(gòu)質(zhì)量均勻傳遞到設(shè)計(jì)區(qū)域上，代表支撐桁架所要承受的結(jié)構(gòu)重力。支撐桁架通過(guò)底部的3個(gè)支撐點(diǎn)與底部基座相連接，設(shè)計(jì)要求其第1階固有頻率不小于60.0 Hz。設(shè)計(jì)區(qū)域的材料密度為1 500 kg/m3，彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3。在本例中，主要考慮4種靜態(tài)載荷工況和1種動(dòng)態(tài)固有頻率工況，模擬在實(shí)驗(yàn)裝配及調(diào)試階段的靜力學(xué)環(huán)境，約束條件為底部3個(gè)支撐點(diǎn)固支，各工況描述見(jiàn)表1。

2.2優(yōu)化模型建立

先建立結(jié)構(gòu)的有限元模型，定義設(shè)計(jì)區(qū)域的材料屬性，確定載荷和邊界條件并建立相應(yīng)的載荷分析工況。根據(jù)設(shè)計(jì)區(qū)域的幾何結(jié)構(gòu)和空間布置要求，指定拓?fù)鋬?yōu)化的設(shè)計(jì)空間。

拓?fù)鋬?yōu)化模型包括設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件3部分。以設(shè)計(jì)空間內(nèi)每個(gè)單元的相對(duì)密度為設(shè)計(jì)變量，以式（2）為拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)，以體積比（即優(yōu)化結(jié)構(gòu)體積與可設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)體積的比值）為優(yōu)化約束條件。具體優(yōu)化問(wèn)題可描述為：在5種工況下，以設(shè)計(jì)區(qū)域體積比為約束，使得結(jié)構(gòu)的柔度最?。磩偠茸畲螅┎⑶业?階動(dòng)態(tài)固有頻率最大。連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為

MINF（X）=f（x1，x2，…，xn），

X=（x1，x2，…，xn）

s.t.V（X）=ni=1xivi≤hni=1vi，i=1，…，n

Xli≤Xi≤Xui（3）

式中：X=x1，x2，…，xn為拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)變量；xi為第i個(gè)單元的相對(duì)密度；F（X）為同時(shí)考慮剛度和頻率要求的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)；V（X）為設(shè)計(jì)區(qū)域結(jié)構(gòu)的總體積；h為設(shè)計(jì)區(qū)域的優(yōu)化體積比；vi為第i個(gè)單元的體積。

2.3優(yōu)化結(jié)果

采用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法，在OptiStruct中通過(guò)求解靈敏度構(gòu)造顯式模型，用最小步長(zhǎng)迭代尋優(yōu)計(jì)算，在計(jì)算結(jié)果收斂的前提下，經(jīng)過(guò)81次迭代得到拓?fù)鋬?yōu)化分析結(jié)果。隱藏相對(duì)密度小于0.1的單元，得到單元密度分布云圖見(jiàn)圖2，此結(jié)構(gòu)即為同時(shí)滿(mǎn)足多工況靜態(tài)剛度要求和第1階動(dòng)態(tài)固有頻率要求的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)。連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型中各目標(biāo)的迭代歷程見(jiàn)圖3。結(jié)構(gòu)第1階動(dòng)態(tài)固有頻率經(jīng)過(guò)81次迭代后收斂值為98.8 Hz，設(shè)計(jì)區(qū)域的優(yōu)化體積比在迭代歷程中違反約束的上限值0.05。

2.4提取分析結(jié)果

由拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果可以得到在靜態(tài)多工況下柔度最小且第1階固有頻率最大的結(jié)構(gòu)。因此，可由圖2的單元密度分布云圖確定桁架材料在設(shè)計(jì)空間的分布形式和具體的傳力路徑，并按照沿桁架材料的分布形式和力的傳遞路徑布置桿件的原則，得到桁架結(jié)構(gòu)的初步骨架模型和結(jié)點(diǎn)位置，見(jiàn)圖4。

去除所有單元密度分布，并根據(jù)圖4的結(jié)果抽象后用線和點(diǎn)來(lái)表示桿件和結(jié)點(diǎn)位置，得到桁架結(jié)構(gòu)初步構(gòu)型見(jiàn)圖5。

2.5確定空間桁架的結(jié)構(gòu)形式

由連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果可知，第1階固有頻率為98.8 Hz，大于60.0 Hz，此時(shí)的優(yōu)化結(jié)果是一個(gè)類(lèi)剛架系統(tǒng)，雖然可以顯示對(duì)系統(tǒng)剛度貢獻(xiàn)最大的布局形式，但設(shè)計(jì)材料在各結(jié)點(diǎn)位置應(yīng)處于固接的連續(xù)狀態(tài)。圖5中的桿件實(shí)際上是通過(guò)鉸接來(lái)連接的，并不是真實(shí)優(yōu)化結(jié)果應(yīng)有的固接連續(xù)狀態(tài)，會(huì)導(dǎo)致桁架結(jié)構(gòu)剛度和穩(wěn)定性不足。

為解決上述問(wèn)題，需先在圖5所示的桁架結(jié)構(gòu)初步構(gòu)型基礎(chǔ)上添加一些非固定的設(shè)計(jì)結(jié)點(diǎn)，再通過(guò)連接選擇以增加桿件數(shù)，將桁架的結(jié)構(gòu)形式擴(kuò)展成更細(xì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。具體的桿件連接措施為：（1）2根相鄰桿件間的夾角不要過(guò)小或過(guò)大，以近似為等邊三角形形狀為好；（2）2個(gè)結(jié)點(diǎn)間連接的桿件應(yīng)盡可能最短，并且不能相交；（3）每個(gè)結(jié)點(diǎn)所連接的桿件數(shù)目不能超過(guò)8個(gè)。

綜合考慮工程實(shí)際要求，如邊界條件和設(shè)計(jì)空間的對(duì)稱(chēng)性、最小距離限制、桁架最短桿長(zhǎng)不小于30 cm等要求，確定非固定的設(shè)計(jì)結(jié)點(diǎn)數(shù)為3個(gè)，結(jié)點(diǎn)位置通過(guò)混沌序列在設(shè)計(jì)空間內(nèi)隨機(jī)生成。首先通過(guò)混沌映射中經(jīng)典的Logistic映射[10]產(chǎn)生具有混沌特性的任意點(diǎn)，然后再映射到給定的設(shè)計(jì)域內(nèi)。Logistic映射方程為xn+1=λxn（1-xn），0

采用混沌序列的Logistic映射隨機(jī)生成非固定的設(shè)計(jì)結(jié)點(diǎn)后，經(jīng)過(guò)桿件的連接選擇，獲得空間桁架的結(jié)構(gòu)構(gòu)型，見(jiàn)圖6，圖中的白線表示在圖5的桁架初步結(jié)構(gòu)構(gòu)型基礎(chǔ)上新添加的桿件。

3空間桁架結(jié)構(gòu)的詳細(xì)設(shè)計(jì)

在圖6桁架結(jié)構(gòu)構(gòu)型的基礎(chǔ)上進(jìn)行詳細(xì)設(shè)計(jì)，以桁架結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小、第1階固有頻率最大為優(yōu)化目標(biāo)，由折中規(guī)劃法建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化模型見(jiàn)圖7。

以桁架結(jié)構(gòu)中9類(lèi)不同桿件的內(nèi)徑R（見(jiàn)圖8）為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化。各桿件內(nèi)徑R的初始值和變化量見(jiàn)表2。采用HyperMesh中的moph控制模塊定義R，經(jīng)30步迭代計(jì)算后的優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)表3。最終優(yōu)化結(jié)果顯示，桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的質(zhì)量比原模型大幅減小，達(dá)到36.7%；第1階固有頻率有所提升，比原模型提高3.6%，符合設(shè)計(jì)要求。

4結(jié)論

針對(duì)空間復(fù)雜桁架結(jié)構(gòu)難以確定結(jié)構(gòu)形式的問(wèn)題，以某空間設(shè)備支撐桁架為例，基于連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法，構(gòu)建滿(mǎn)足剛度和頻率要求的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)，獲得桁架材料在設(shè)計(jì)空間的分布形式和傳力路徑。根據(jù)實(shí)際工程要求確定結(jié)點(diǎn)數(shù)和桿件連接，獲得滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求的一種桁架結(jié)構(gòu)形式，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行詳細(xì)優(yōu)化設(shè)計(jì)，最終結(jié)果比原模型質(zhì)量減少36.7%，第1階模態(tài)提高3.6%，符合設(shè)計(jì)要求。本文提出的研究方法可為空間復(fù)雜桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供借鑒和指導(dǎo)。參考文獻(xiàn)：

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