吳 宏

（1.華中師范大學(xué)教育學(xué)院，湖北 武漢 430079；

2.喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844006）

2001年《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》課程目標(biāo)中，提出了“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。2011年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”獨(dú)立于數(shù)學(xué)知識(shí)，成為數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)目標(biāo)的“四基”之一。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為教師基于學(xué)校課程目標(biāo)、結(jié)合實(shí)際進(jìn)行教學(xué)創(chuàng)新、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供了嶄新的視角?！敖?jīng)驗(yàn)是以靜態(tài)與動(dòng)態(tài)兩種狀態(tài)存在的?！盵1]除了從經(jīng)驗(yàn)事物本身、從目標(biāo)角度考察數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之外，還需要從經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程角度思考數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的應(yīng)用。數(shù)學(xué)教學(xué)如何利用活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？如何幫助學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)形成和條理化過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵分析，其應(yīng)用價(jià)值體現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計(jì)、課程資源開(kāi)發(fā)和教學(xué)評(píng)價(jià)等方面。

一、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

（一）內(nèi)涵及其性質(zhì)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在參與數(shù)學(xué)主題的相關(guān)活動(dòng)中，經(jīng)由觀察、感知、體驗(yàn)和思考，由感性上升為理性的條理化和結(jié)構(gòu)化過(guò)程。在主動(dòng)因素和被動(dòng)因素的介入中，借助知識(shí)間的相似之處和因果關(guān)系，形成一系列的聯(lián)結(jié)，體現(xiàn)了活動(dòng)的過(guò)程本質(zhì)，起到了聯(lián)結(jié)學(xué)生“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”和獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的橋梁紐帶作用。它具備主體間性、差異性、不完備性和連續(xù)性：體現(xiàn)在活動(dòng)造成對(duì)象的變化以及自身所發(fā)生變化的主體間性；學(xué)生所處的社會(huì)、文化、語(yǔ)言和認(rèn)知等背景不同，決定了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)存在個(gè)性或差異性；處于不同階段的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具備一定的不穩(wěn)定性或不完備性；數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展具備連續(xù)性，其形成過(guò)程可以為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供活動(dòng)機(jī)會(huì)，目的在于聯(lián)系未來(lái)和超越已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，指向數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的達(dá)成和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的不斷完善。進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵，需分析數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與相近表述的區(qū)別與聯(lián)系。

（二）概念的甄別

首先，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不等價(jià)于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是從哲學(xué)角度審視數(shù)學(xué)，體現(xiàn)為數(shù)學(xué)研究的價(jià)值取向和數(shù)學(xué)家思維的經(jīng)驗(yàn)圖式。[2]數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是從教學(xué)的角度出發(fā)，強(qiáng)調(diào)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在數(shù)學(xué)教育中的重要性。靜態(tài)存在的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生應(yīng)達(dá)成的經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，包括實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)、解題的經(jīng)驗(yàn)和思維的經(jīng)驗(yàn)[3]；動(dòng)態(tài)存在的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，經(jīng)驗(yàn)不斷豐富和條理化的過(guò)程。其次，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)含義相近?；顒?dòng)實(shí)現(xiàn)了學(xué)習(xí)過(guò)程與對(duì)象的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)教育引入的活動(dòng)概念包括了書(shū)本學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)體現(xiàn)了學(xué)習(xí)的活動(dòng)本質(zhì)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)內(nèi)涵的拓展與深化。再次，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)既有重合，又各有側(cè)重。二者的共同點(diǎn)在于，參與數(shù)學(xué)活動(dòng)是建立在數(shù)學(xué)的真切感受和深刻理解基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生的情感或生成的意義。活動(dòng)體驗(yàn)是對(duì)數(shù)學(xué)在內(nèi)心中的地位、意義、價(jià)值、對(duì)象與自我同一性的把握和確認(rèn)，側(cè)重于對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度、感受和認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是以自我的需要、認(rèn)知結(jié)構(gòu)和已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)感受、理解和建構(gòu)，生成對(duì)數(shù)學(xué)獨(dú)特的領(lǐng)悟和意義，側(cè)重于經(jīng)驗(yàn)的條理和結(jié)構(gòu)化過(guò)程特性。基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程特性，在經(jīng)驗(yàn)豐富和發(fā)展的過(guò)程中，不同階段呈現(xiàn)不同的層次和類別。

（三）層次和類別

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)處于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)和終點(diǎn)時(shí)，分別稱作原始活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和正式活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。原始活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在探索他們熟悉的環(huán)境、自主選擇的行動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)，具備粗糙、宏觀、未加提煉和受學(xué)生控制的特點(diǎn)。正式活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是由成人為學(xué)生選擇、給予行為指示的活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)，具備精煉和推演的特點(diǎn)。二者的區(qū)別是原始活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是偶然反省的結(jié)果；正式活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是繼續(xù)的和受調(diào)節(jié)的反省結(jié)果。從原始活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)發(fā)展到正式活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷非正式活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，它們是學(xué)生選擇的活動(dòng)和行為，并在某種程度上受到他人干預(yù)的經(jīng)驗(yàn)，或者通過(guò)觀察他人的行為獲得關(guān)于自我可能性的認(rèn)識(shí)。經(jīng)過(guò)原始活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的調(diào)動(dòng)與啟發(fā)，并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中反求諸己，達(dá)成數(shù)學(xué)深度理解和自我意義，才能實(shí)現(xiàn)正式活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，其過(guò)程體現(xiàn)為經(jīng)同化或順應(yīng)后的經(jīng)驗(yàn)條理化或網(wǎng)絡(luò)化（如圖1所示）。

圖1

依此模型，“前一結(jié)構(gòu)化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”在“下一結(jié)構(gòu)化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”形成前，將自動(dòng)介入循環(huán)，成為原始活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，作為正式活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)形成的基礎(chǔ)。以活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)于后面經(jīng)驗(yàn)形成有效遷移價(jià)值作為標(biāo)準(zhǔn)，可將數(shù)學(xué)原始活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和非正式活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)分為正面和負(fù)面活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。正面活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌虼龠M(jìn)學(xué)習(xí)的正遷移，有利于促進(jìn)新經(jīng)驗(yàn)的形成；負(fù)面活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在學(xué)習(xí)中起到負(fù)遷移作用，阻礙新經(jīng)驗(yàn)的形成。無(wú)論是正面還是負(fù)面活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，都能為新學(xué)習(xí)提供更多的可能。利用數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有助于教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)化、課程資源的開(kāi)發(fā)和過(guò)程評(píng)價(jià)的實(shí)施。

二、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)的路徑

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非簡(jiǎn)單的記憶和復(fù)制的淺層次學(xué)習(xí)，而是對(duì)知識(shí)的深度理解和靈活應(yīng)用，以能力為導(dǎo)向，建構(gòu)數(shù)學(xué)意義，養(yǎng)成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有助于為學(xué)生提供意義建構(gòu)的活動(dòng)機(jī)會(huì)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由符號(hào)走向邏輯和意義統(tǒng)一目標(biāo)的重要路徑。

從數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)視角思考教學(xué)方法的選擇。教學(xué)方法是為達(dá)到教學(xué)目的，在教學(xué)原則指導(dǎo)下，運(yùn)用教學(xué)手段而進(jìn)行的一整套師生相互作用的活動(dòng)。教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是教學(xué)方法選擇中應(yīng)關(guān)照的現(xiàn)實(shí)。第一，了解學(xué)生面對(duì)當(dāng)前情境的情感經(jīng)驗(yàn)（emotional experiences），調(diào)動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的積極性，形成良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)?；顒?dòng)不是表演，學(xué)生也不是“被經(jīng)歷”活動(dòng)，活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的主體參與本質(zhì)。第二，運(yùn)用多樣化的教學(xué)預(yù)評(píng)估技術(shù)和有目的的對(duì)話和活動(dòng)，確立學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。了解學(xué)生的原始活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和非正式活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，即學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)水平和關(guān)于新學(xué)習(xí)內(nèi)容的經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)狀，利用學(xué)生現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)結(jié)新的經(jīng)驗(yàn)。新舊經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)結(jié)需要橫向地聯(lián)系其他學(xué)科，縱向地審視數(shù)學(xué)自身的結(jié)構(gòu)，也就是做到拓展視野和前瞻后顧。第三，適當(dāng)選擇和設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“自然而然”的思維過(guò)程。關(guān)照學(xué)生的生命體驗(yàn)和自我發(fā)展需要，結(jié)合“最近發(fā)展區(qū)”選擇和組織適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)資源和方法，將活動(dòng)教學(xué)、教師指導(dǎo)下探究教學(xué)和直接指導(dǎo)教學(xué)的方法，運(yùn)用于單元或教學(xué)的不同階段，彼此交織形成方法的網(wǎng)絡(luò)。部分?jǐn)?shù)學(xué)應(yīng)用類問(wèn)題不只用于鞏固環(huán)節(jié)，還用來(lái)創(chuàng)設(shè)真實(shí)有效的活動(dòng)情境。第四，充分考慮學(xué)生間個(gè)體經(jīng)驗(yàn)差異，滿足不同學(xué)生的需求。第五，建立合作交流的課堂規(guī)范，重視學(xué)生共同經(jīng)驗(yàn)，又要放大學(xué)生的個(gè)體經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生建構(gòu)反思性經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)造平等互助的氛圍。

比如，《奇、偶數(shù)的概念和性質(zhì)》的教學(xué)設(shè)計(jì)。首先，關(guān)注數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)結(jié)和相互作用。利用學(xué)生已有的數(shù)概念，在觀察和操作經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，形成歸納和演繹思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；經(jīng)歷從概念的非正式語(yǔ)言表達(dá)發(fā)展到正式語(yǔ)言表達(dá)的階段，完成概念的抽象和概括;再由概念形成的經(jīng)驗(yàn)自然過(guò)渡到性質(zhì)的學(xué)習(xí)，作為發(fā)現(xiàn)數(shù)的奇偶性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。其次，創(chuàng)設(shè)疑難的問(wèn)題情境，以“問(wèn)題串”引導(dǎo)學(xué)生參與“再創(chuàng)造”的活動(dòng)。借助操作實(shí)物，觀察活動(dòng)確定疑難的所在。經(jīng)過(guò)反思，學(xué)生提出一系列有利于意義建構(gòu)的思維一致性問(wèn)題。結(jié)合特例提出解決疑難的各種假設(shè)，深入理解證明的必要性和意義。再次，充分關(guān)照學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提升。模式發(fā)現(xiàn)的活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生體驗(yàn)到歸納思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的兩次提升：第一次歸納是概念的形成，在經(jīng)驗(yàn)不斷完善和結(jié)構(gòu)化過(guò)程中，學(xué)生體會(huì)到概念及其產(chǎn)生的意義；第二次歸納是由直觀到抽象的性質(zhì)證明。

教學(xué)工具的選擇與運(yùn)用是基于既定教學(xué)方法，促成學(xué)生嘗試活動(dòng)與承受結(jié)果聯(lián)結(jié)、事物及其關(guān)系間的聯(lián)結(jié)為目標(biāo)：促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)由感性知覺(jué)上升到理性觀念，幫助學(xué)生從經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)形成并積累一系列的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。選擇教學(xué)工具既要考慮嘗試活動(dòng)和形成理性觀念階段的不同需求，又要考慮活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)發(fā)展過(guò)渡節(jié)點(diǎn)的需求。比如，采用信息交互技術(shù)資源（Information and Communication Technology，ICT）。運(yùn)用互聯(lián)網(wǎng)虛擬教具、網(wǎng)頁(yè)版本經(jīng)歷、手持設(shè)備和現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算器，著力于學(xué)生身體器官的直覺(jué)感知的試誤經(jīng)驗(yàn)與反省經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)結(jié)，在經(jīng)驗(yàn)的形成過(guò)程中深入理解重要數(shù)學(xué)概念，實(shí)現(xiàn)多種意義的建構(gòu)。同時(shí)，ICT還為學(xué)生形成新教學(xué)媒介下的經(jīng)驗(yàn)提供活動(dòng)機(jī)會(huì)。

三、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是課程資源開(kāi)發(fā)的源泉

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是經(jīng)驗(yàn)豐富和條理化過(guò)程中的意義建構(gòu)，有賴于滿足每一個(gè)學(xué)生需要的、生本課程資源的開(kāi)發(fā)。開(kāi)發(fā)課程資源可以從課程與教學(xué)理論專家、數(shù)學(xué)家關(guān)于經(jīng)驗(yàn)的論述以及活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的連續(xù)性中獲得啟發(fā)。

（一）泰勒以學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)作為課程選擇原則的啟發(fā)

泰勒以學(xué)習(xí)者獲得的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)作為課程內(nèi)容選擇。參照泰勒提出的五個(gè)原則[4]，開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)課程資源時(shí)，做出如下思考：第一，結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，確立形成活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)容，選擇課程資源為學(xué)生的活動(dòng)提供機(jī)會(huì)。數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)是培養(yǎng)“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，內(nèi)涵是在多種情境中，進(jìn)行數(shù)學(xué)地規(guī)劃、構(gòu)想、闡釋和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，包括在現(xiàn)實(shí)情境中讀懂?dāng)?shù)學(xué)的能力；應(yīng)用數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中做決斷的能力。就第一種能力而言，課程選擇與學(xué)生日常生活背景相關(guān)的問(wèn)題，采用現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的相關(guān)數(shù)據(jù)，給學(xué)生提供討論的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生闡釋現(xiàn)實(shí)生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的信息。為培養(yǎng)第二種能力，課程為學(xué)生提供日常生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)做出判斷和決策的機(jī)會(huì)，經(jīng)歷應(yīng)用數(shù)學(xué)做出抉擇的過(guò)程，參與數(shù)學(xué)交流和推理活動(dòng)。這類課程資源開(kāi)發(fā)中，教師需要具備數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí)，能將課程中已有純數(shù)學(xué)的問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系，改造或編制成有數(shù)學(xué)概念支撐的、引發(fā)學(xué)生探討并做出判斷的問(wèn)題。第二，為使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得滿足感，課程需要滿足學(xué)生的好奇心。問(wèn)題的呈現(xiàn)應(yīng)該是階梯式的，可以激發(fā)認(rèn)知沖突，以滿足不同層次學(xué)生的思維水平需要；問(wèn)題能體現(xiàn)數(shù)學(xué)形式和思想方法的美妙，滿足學(xué)生對(duì)美好事物的精神追求。第三，資源開(kāi)發(fā)應(yīng)該適合學(xué)生目前的成就水平、心理傾向和課程目標(biāo)等方面的條件。比如，多媒體技術(shù)用于課程資源的開(kāi)發(fā)，可以在數(shù)學(xué)抽象推理活動(dòng)前，為學(xué)生提供直觀感知和實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)要考慮學(xué)生計(jì)算機(jī)操作和軟件基礎(chǔ)水平，還不能偏離數(shù)學(xué)課程教學(xué)目標(biāo)的預(yù)設(shè)。第四，教師課程資源開(kāi)發(fā)有多種創(chuàng)造的可能性，資源的選擇和組織應(yīng)考慮學(xué)生的內(nèi)外部因素，明確活動(dòng)對(duì)于理解數(shù)學(xué)概念和經(jīng)驗(yàn)推廣的利弊，既滿足師生雙方的興趣，又能達(dá)到同樣的目標(biāo)。比如，關(guān)于“負(fù)負(fù)相乘為正”的算理，有研究者運(yùn)用類比、教具和模式發(fā)現(xiàn)三種方案開(kāi)發(fā)課程資源[5]，雖然出發(fā)點(diǎn)、側(cè)重點(diǎn)不同且各有利弊，但都可以幫助學(xué)生從經(jīng)驗(yàn)中理解“兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘”符號(hào)確定的算理。第五，同一課程資源可以形成多種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)多方面的發(fā)展目標(biāo)，充分發(fā)掘和體現(xiàn)課程資源的價(jià)值，將內(nèi)外部條件交互作用的考察，作為經(jīng)驗(yàn)選擇的參考。

（二）波利亞“怎樣解題”思維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ降膯l(fā)

問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要活動(dòng)，學(xué)生在嘗試問(wèn)題解決過(guò)程中，特別是問(wèn)題解決的進(jìn)度不夠順利時(shí)，希望有可資借鑒的模式。波利亞的問(wèn)題解決模式（以下簡(jiǎn)稱“解題模式”）能有效地幫助處于不同程度的學(xué)生引導(dǎo)和監(jiān)控自我問(wèn)題解決的過(guò)程。波利亞的解題模式由四部分組成：明確問(wèn)題；制訂計(jì)劃；實(shí)施計(jì)劃；回顧與反思。[6]借鑒波利亞的解題模式，開(kāi)發(fā)課程資源的步驟為：第一，借助解題模式的流程，搭建教學(xué)“腳手架”（scaffolding）。結(jié)合解題模式每個(gè)流程，提出引發(fā)學(xué)生思考的系列問(wèn)題，選擇和組織相關(guān)教學(xué)資源。第二，以思想方法積淀與拓展為目的，概括總結(jié)和開(kāi)拓視野。結(jié)合解題模式的“回顧與反思”環(huán)節(jié)，在尋找問(wèn)題聯(lián)系的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的拓展和延伸。第三，在問(wèn)題與課程相關(guān)性，以及恰當(dāng)“腳手架”基礎(chǔ)上，建構(gòu)新的問(wèn)題。如，關(guān)于“A—水平數(shù)學(xué)證明教學(xué)”課程資源的開(kāi)發(fā)[7]：（1）按照波利亞解題模式的四個(gè)環(huán)節(jié)，就數(shù)學(xué)證明個(gè)例設(shè)計(jì)系列的“腳手架”問(wèn)題。這些問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生參與有趣和意義建構(gòu)的活動(dòng)中，減少問(wèn)題解決過(guò)程中的挫敗感，不斷強(qiáng)調(diào)活動(dòng)的主要部分，確保學(xué)生參與可控的問(wèn)題解決的活動(dòng)，積極構(gòu)建活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。（2）在“回顧與反思”環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生就某一數(shù)學(xué)證明題，尋找類似問(wèn)題，由淺入深進(jìn)行類型與方法的拓展。（3）運(yùn)用“一般化”“特殊化”和“模式化”方法構(gòu)造有教育意義和價(jià)值的新問(wèn)題。以上課程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)證明的內(nèi)在聯(lián)系，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生參與邏輯清晰的討論，為學(xué)生發(fā)展活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)提供機(jī)會(huì)，促進(jìn)學(xué)生深度理解證明的意義。

（三）基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的連續(xù)性開(kāi)發(fā)課程資源

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展是連續(xù)的，表現(xiàn)以過(guò)去經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ)，發(fā)展現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)，在指向未來(lái)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，又以某種方式改變未來(lái)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)連續(xù)發(fā)展表現(xiàn)在：第一，針對(duì)同一數(shù)學(xué)主題，不同經(jīng)驗(yàn)類型間的密切聯(lián)系和連續(xù)互動(dòng)。構(gòu)建能體現(xiàn)不同活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)類型間連續(xù)互動(dòng)關(guān)系的圖式，以此為框架開(kāi)發(fā)課程資源。比如，已構(gòu)建的數(shù)學(xué)抽象概念理解活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)圖式[8]和數(shù)學(xué)建模活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)圖式[9]等，體現(xiàn)了相應(yīng)教學(xué)領(lǐng)域活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的連續(xù)互動(dòng)，都可以作為課程資源開(kāi)發(fā)的參考框架。第二，為了增進(jìn)對(duì)某一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解，表現(xiàn)在活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)螺旋上升發(fā)展的連續(xù)性。比如，對(duì)“乘法”概念的認(rèn)識(shí)，就不僅局限于“幾個(gè)相同加數(shù)的和”的含義。如果“乘法”概念的理解局限于“幾個(gè)相同的加數(shù)的和”，就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)，影響“乘法”概念結(jié)構(gòu)和推理經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展。開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)的多元表征對(duì)經(jīng)驗(yàn)的連續(xù)發(fā)展有積極作用。多元表征是同一數(shù)學(xué)對(duì)象表征的多樣化，包括直觀表征（動(dòng)作、具體實(shí)物、模型、圖形、表格）和符號(hào)表征，“教師針對(duì)所學(xué)內(nèi)容，發(fā)掘或者創(chuàng)設(shè)一些不同類型的直觀表征，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念的知覺(jué)理解”[10]，再結(jié)合符號(hào)表征可以促進(jìn)學(xué)生的概念性理解。

四、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是教學(xué)評(píng)價(jià)的指標(biāo)

（一）數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)

評(píng)價(jià)是一個(gè)確定實(shí)際發(fā)生的行為變化程度的過(guò)程，需要得到每一個(gè)主要教育目標(biāo)所隱含的每一種行為的證據(jù)。以數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為教學(xué)評(píng)價(jià)的指標(biāo)，為教育目標(biāo)期望的行為提供了有效證據(jù)。不僅找到表現(xiàn)這種行為的情境，而且鼓勵(lì)或喚起這種情境的行為，對(duì)于體現(xiàn)評(píng)價(jià)的過(guò)程性和實(shí)現(xiàn)評(píng)價(jià)為改進(jìn)教學(xué)都有著積極的意義。首先，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)參與課程評(píng)價(jià)是教師教學(xué)的依據(jù)。教師的“教”是以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成和發(fā)展為目的；教師在教學(xué)中“教導(dǎo)”的角色，是為學(xué)生提供以發(fā)展活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為目標(biāo)的多樣化活動(dòng)機(jī)會(huì)；教師教學(xué)的有效性是以引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、關(guān)注學(xué)生經(jīng)驗(yàn)發(fā)展的個(gè)性差異、達(dá)成數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)自我意義的建構(gòu)作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。其次，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為教學(xué)評(píng)價(jià)的指標(biāo)，表現(xiàn)對(duì)教學(xué)過(guò)程的關(guān)注，包括基于學(xué)生原始活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)評(píng)估、涉及學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平提升的課堂教學(xué)過(guò)程以及分階段、多方面活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平的評(píng)價(jià)、分析與改進(jìn)環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，其特點(diǎn)表現(xiàn)：一是共同創(chuàng)造知識(shí)；二是達(dá)成知識(shí)自我意義的實(shí)現(xiàn)；三是運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言合作學(xué)習(xí)；四是經(jīng)歷交流推理、問(wèn)題解決的思維過(guò)程。基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的評(píng)價(jià)，觀察學(xué)生參與、交往和對(duì)象活動(dòng)中的行為表現(xiàn)，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)背景以及達(dá)成目標(biāo)的成就，形成對(duì)他們的需要和能力的完整看法。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生主體能動(dòng)活動(dòng)的結(jié)果，通過(guò)評(píng)價(jià)學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)參與度和反思拓展學(xué)習(xí)，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的“主體”地位。

表1 學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中可獲得的經(jīng)驗(yàn)

（二）新加坡數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)實(shí)例

參與形成數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的相應(yīng)活動(dòng)，為評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)者提供可觀察的行為表現(xiàn)，也為多種評(píng)價(jià)主體提供可操作的評(píng)價(jià)指標(biāo)。新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)大綱列出數(shù)學(xué)教學(xué)的三個(gè)原則和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三個(gè)步驟。教學(xué)三個(gè)原則：第一，教是為了學(xué)，學(xué)是為了理解，理解是為了推理、應(yīng)用和最終的問(wèn)題解決；第二，教學(xué)是學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)上的建構(gòu)，重視學(xué)生的興趣和經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)他們參與反省性學(xué)習(xí)活動(dòng)；第三，教學(xué)應(yīng)聯(lián)系現(xiàn)實(shí)世界，運(yùn)用信息交互技術(shù)（ICT），關(guān)注培養(yǎng)21世紀(jì)所需的能力。學(xué)習(xí)的三個(gè)步驟：第一，準(zhǔn)備。學(xué)習(xí)準(zhǔn)備決定學(xué)習(xí)的成敗。教師關(guān)注學(xué)生前經(jīng)驗(yàn)，激勵(lì)語(yǔ)境（motivating contexts）和學(xué)習(xí)環(huán)境，幫助學(xué)生做好學(xué)習(xí)預(yù)備。第二，參與。這是學(xué)習(xí)的主要環(huán)節(jié)。教師綜合運(yùn)用活動(dòng)學(xué)習(xí)、教師指導(dǎo)下的探究和直接指導(dǎo)的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生積極參與新概念和技能的學(xué)習(xí)。第三，精通。教師在這個(gè)環(huán)節(jié)幫助學(xué)生鞏固和拓展學(xué)習(xí)，包括激勵(lì)實(shí)踐、反思回顧和擴(kuò)展學(xué)習(xí)。以數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為新的視角（參見(jiàn)表1）[11]，為評(píng)價(jià)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)提供了可觀察和可操作的方法。

借助數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以學(xué)生在這些活動(dòng)中所具有的行為表現(xiàn)作為評(píng)價(jià)的依據(jù)；密切聯(lián)系評(píng)價(jià)與課程內(nèi)容，通過(guò)評(píng)價(jià)程序使數(shù)學(xué)課程目標(biāo)真正成為教學(xué)的“向?qū)А??；顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)構(gòu)建了透明的學(xué)習(xí)路徑，幫助學(xué)生明確：自己學(xué)到了什么，目前的學(xué)習(xí)處于什么經(jīng)驗(yàn)水平；幫助教師思考：應(yīng)為學(xué)生提供哪些活動(dòng)機(jī)會(huì)，以形成新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平的不斷提升。

[1]馬復(fù).論數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996，5（4）：22－25，54.

[2]Davis P J,Hersh R,Marchisotto E A.數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)（學(xué)習(xí)版）[M].王前，譯.大連：大連理工大學(xué)出版社，2013：256,263.

[3]顧沛.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的“雙基”如何發(fā)展為“四基”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2012，21（1）：14-16.

[4]泰勒.課程與教學(xué)的基本原理[M].施良方，譯.北京：人民教育出版社，1994（1）：51-53.

[5][7][11]Pee Choon Toh,Tin Lam Toh,Berinderjeet Kaur.Learning Experiences to Promote Mathematics Learning Yearbook 2014[M].Singapore：Nanyang Technological University,2014：53-56，232-242，3.

[6]G·波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007：4.

[8]White P，Mitchelmore M C.Teaching for abstraction：A model[J].Mathematical Thinking and Learning,2010：12.

[9]Zbiek R M,Conner A.Beyond Motivation：Exploring Mathematical Modeling as a Context For Deepening Students'Understandings of Curricular Mathematics[J].Educational Studies in Mathematics，2006：63-70.

[10]李靜.從中美小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的多元表征看數(shù)學(xué)教學(xué)[J].比較教育研究，2013，（8）：83-87.