韓玖龍 ，孫 鵬 ，張志昌

（1.陜西省鎮(zhèn)坪縣水利局，陜西 鎮(zhèn)坪，725600；2.西安景天水利水電勘測設(shè)計(jì)咨詢有限公司，陜西 西安710016；3.西安理工大學(xué)，陜西 西安710048）

0 前言

底流消力池有三種形式，即挖深式消力池、消力坎式消力池和綜合式消力池。其中挖深式消力池的深度相對(duì)于消力坎式消力池坎高的水力計(jì)算更為復(fù)雜。

挖深式消力池水力計(jì)算的主要任務(wù)是確定消力池的深度和消力池的長度。對(duì)于消力池的長度已有許多經(jīng)驗(yàn)公式，本文不予討論。對(duì)于消力池的深度，我國的水力學(xué)教科書[1][2]以及水利行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)上均采用試算法[3-4]。該方法理論上成熟，方法上可靠，精度高，缺點(diǎn)是試算比較麻煩。所以許多學(xué)者試圖對(duì)其進(jìn)行簡化計(jì)算。早在1938年，前蘇聯(lián)的A.A烏根秋斯就對(duì)挖深式消力池做了簡化計(jì)算，他將試算法轉(zhuǎn)化為烏根秋斯曲線圖[5]，實(shí)際上就是圖解法。烏根秋斯的圖解法存在較大的誤差，筆者根據(jù)烏根秋斯圖解法的習(xí)題，用試算法求得的值比烏根秋斯曲線相差了32%。張志昌根據(jù)消力池深度計(jì)算的基本公式，通過分析給出了消力池深度的迭代計(jì)算方法[6]，該方法計(jì)算簡單，精度與試算法完全一致。Husain給出了一個(gè)計(jì)算消力池深度的簡單方法[7]，文獻(xiàn)[6]的驗(yàn)證結(jié)果表明，該方法與試算法相差26.4%。Forster也給出了一個(gè)簡化計(jì)算公式[8]，該公式將消力池相對(duì)深度d/hc1化為躍前斷面弗勞德數(shù)Fr1的函數(shù)，公式看似簡單，但由于躍前斷面弗勞德數(shù)Fr1與消力池深度有關(guān)，所以計(jì)算時(shí)仍需試算，且計(jì)算精度很差，文獻(xiàn)[6]的驗(yàn)證結(jié)果表明，該公式與傳統(tǒng)試算法甚至相差了62%。黃朝煊研究了消力池最不利條件下池深的極值[9]，給出了躍后相對(duì)水深與相對(duì)單寬流量的經(jīng)驗(yàn)公式，公式是假設(shè)一個(gè)消力池深度，求出躍前斷面的總水頭，然后直接求解躍后水深，但由于消力池深度隱含在公式中，所以仍需要試算才能確定消力池深度。倪漢根在擊波、水躍、跌水、消能一書中介紹了Hager等計(jì)算消力池深度的新方法[10]，Hager等稱這種方法為階控水躍，有三種計(jì)算方法。階控水躍在計(jì)算時(shí)需先確定水躍長度、水體的重量修正系數(shù)和躍后斷面的動(dòng)水壓力修正系數(shù)。在計(jì)算消力池深度時(shí)，仍要先假設(shè)一個(gè)消力池深度d，然后依次計(jì)算躍前水深hc1、躍前斷面的弗勞德數(shù)Fr1、動(dòng)水壓力修正系數(shù)、水躍長度Lj、水躍共軛水深比h2/hc1，將計(jì)算的水躍共軛水深比h2/hc1和下游水深ht與躍前水深hc1的比值ht/hc1相比較，如果ht/hc1>h2/hc1，水躍已經(jīng)淹沒，只要淹沒系數(shù)σj在合理的范圍內(nèi)，消力池深度d即為所求，如不在合理的范圍內(nèi)，則需重新假設(shè)消力池深度d，重復(fù)上面的計(jì)算過程，直到達(dá)到所需的精度為止。Hager等計(jì)算消力池深度的過程十分繁瑣，但其優(yōu)點(diǎn)是只要先假設(shè)一個(gè)消力池深度d，以后的計(jì)算均為顯式計(jì)算，不需要試算，也不需要迭代。階控水躍計(jì)算消力池的深度與傳統(tǒng)的試算法有一定的差距，Hager等自己提出的三種計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果也差距較大，例如文獻(xiàn)[10]給出的例題中，一種計(jì)算方法得到水躍的共軛水深比為3.26，另一種算法則為3.68，相差了11.4%，可見用階控水躍計(jì)算消力池深度的方法還值得進(jìn)一步商榷。

1 顯式計(jì)算方法

挖深式消力池如圖1所示。圖中0-0線為原河床地面線，0'-0'線為挖深后的護(hù)坦底面線。當(dāng)池中形成淹沒水躍后，水流出池時(shí)，其水流現(xiàn)象類似于寬頂堰的水流現(xiàn)象，水面跌落高度為Δz，然后與下面水面相銜接。

圖1 挖深式消力池剖面圖

未設(shè)消力池時(shí)，設(shè)原河床以上總水頭為E0，收縮斷面水深為hc，溢流壩的流速系數(shù)為，溢流面的單寬流量為q，寫上游水庫與收縮斷面的能量方程得

躍后共軛水深為設(shè)消力池后，設(shè)消力池的深度為d，以消力池底板算起的上游總水頭為T0，收縮斷面水深為hc1，則：

由圖 1的幾何關(guān)系可得：hT=σ1hc1"=d+ht+Δz （5）

式中，ht為下游水深；為水面跌落高度，其計(jì)算式為：

式中，φ'為消力池的流速系數(shù)。

對(duì)上式求導(dǎo)數(shù)并令其為零，求得0≤hc1/T0≤2/3，代入上式得η的取值范圍0≤η≤0.14815。

公式（9）為一元三次方程。一元三次方程的傳統(tǒng)解法為卡丹公式。近年來我國學(xué)者范盛金提出了一元三次方程的簡化計(jì)算方法，稱為盛金公式[11]，盛金公式比卡丹公式在判別式的選擇和計(jì)算方面都要簡單。

本文用盛金公式對(duì)式（9）求解得：

式中，θ=arccos（-1+27η/2）。

因?yàn)椋胧剑?）并將公式無因次化得：

式（11）即為計(jì)算躍后斷面相對(duì)水深的計(jì)算公式。

將式（6）代入式（5）整理得：

對(duì)上式無因次化得：

令k=d+ht+q2/[2g（φ'ht）2]/（σjT0）代入式

（12）得：（h"c1/T0）3-k（h"c1/T0）2+λ=0 （13）

對(duì)上式求導(dǎo)數(shù)，并令其等于零得：

對(duì)上式求解得 0≤（h"c1/T0）≤2k/3，代入式（13）得 0≤λ≤4k3/27。

由式（13）可以看出，一元三次方程的系數(shù) a=1、、c=0、d=λ，根據(jù)盛金公式求解公式（13），其判斷式為：

將0≤λ≤4k3/27代入上式判斷，在λ=0和λ=4k3/27時(shí)，Δ=B2-4AC=0，這兩種極端情況一般很少發(fā)生。當(dāng)0＜λ＜4k3/27時(shí)，Δ=B2-4AC=81λ-12k3λ＜0。所以公式（13）的解為：

式中，α=arccos[-1+27λ/（2k3）]。

令公式（11）和公式（14）相等得：

公式（15）看似簡單，實(shí)際上 η、k、α均含有消力池深度 d、是一個(gè)隱函數(shù)關(guān)系式，無法直接求出d。但在計(jì)算中只要假設(shè)一個(gè)d，就可以依次求出 η、θ、k、λ、α，再由公式（10）求出 hc1/T0，由公式（11）求 h"c1/T0，由公式（14）求出另一個(gè) h"c1/T0，如果公式（11）和公式（14）求得的h"c1/T0相等，消力池深度d即為所求。以上計(jì)算過程均為顯式計(jì)算，即顯式試算法，較傳統(tǒng)試算法計(jì)算公式簡單、計(jì)算過程方便。

2 顯式試算法應(yīng)用舉例

某溢流壩為WES剖面，壩頂部設(shè)閘門控制流量。已知壩頂部水頭H=3.2 m，下泄的單寬流量q=6 m3/（s·m），相應(yīng)的下游水深ht=3.05 m。已知壩高P=P1=10 m，溢流壩的流速系數(shù)φ=0.90，消力池的流速系數(shù)φ'=0.95，試判斷是否需要修建消力池，若需設(shè)置消力池，試設(shè)計(jì)一降低護(hù)坦式消力池，求消力池的深度d。

計(jì)算步驟：

1）判別壩下游水躍的銜接形式

因?yàn)橄掠螇胃逷1=10m＞1.33H=1.33×3.2=4.26m，為高壩，可不計(jì)行近流速水頭，即取H0=H=3.2m。

2）判斷是否需要修建消力池：

因?yàn)閔c

"=3.9709＞ht=3.05，所以需要修建消力池。

3）消力池深度的計(jì)算

首先估算消力池的深度。消力池深度的估算公式是從式（5）得來的，假設(shè)不考慮消力池后的水面降落，則消力池的估算深度為：

已知下游水深為ht=3.05m，所以第一次試算的消力池深度為：

下面求消力池的深度。假設(shè) d=1.12m，求參數(shù) T01、η、θ、κ、λ、α：

η=q2/（2gφ2T301）=62/（2×9.8×0.92×14.323）=7.72205×10-4由公式（11）求得：

由公式（11）求得 h"c1/T01：

可以看出，公式（11）和公式（14）求得的值不相等，需重新假設(shè)d，重復(fù)上面的計(jì)算過程?，F(xiàn)列表計(jì)算。在計(jì)算時(shí)用Excel列表，表中 q、E0、φ、σj、φ'、ht為已知值。再在表中列入需要計(jì)算的值 T0、η、θ、hc1/T01、h"c1/T01、k、λ 和 α 和的計(jì)算公式。計(jì)算時(shí)只改變一個(gè)參數(shù)就是消力池深度d，然后用鼠標(biāo)下拉，即可得到計(jì)算值。

表1 用公式（11）計(jì)算躍后水深表

表2 用公式（14）計(jì)算躍后水深表

對(duì)比表1和表2可以看出，當(dāng)d=1.103025m時(shí)，表1和表2計(jì)算的值相同，所以取d≈1.103m即為消力池深度。此算法與試算法的計(jì)算結(jié)果完全相同，但計(jì)算過程均為顯式計(jì)算，比試算法簡單的多。

3 結(jié)語

消力池深度傳統(tǒng)試算法的優(yōu)點(diǎn)是公式物理意義明確，計(jì)算精度高。缺點(diǎn)是消力池的躍前斷面水深在計(jì)算過程中為隱函數(shù)關(guān)系式，每假設(shè)一個(gè)消力池深度，都需通過試算或迭代計(jì)算求得躍前斷面水深，然后才利用其他公式求消力池的深度，計(jì)算過程比較復(fù)雜。Hager提出了消力池深度的階控水躍算法，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算中先假設(shè)一個(gè)消力池深度，以后的計(jì)算均為顯式計(jì)算，克服了試算的困難，缺點(diǎn)是計(jì)算過程中需先確定水躍長度、水體的重量修正系數(shù)和躍后斷面的動(dòng)水壓力修正系數(shù)，然后才能計(jì)算消力池的深度，計(jì)算公式多，計(jì)算過程較繁。本文受Hager階控水躍計(jì)算方法的啟發(fā)，從計(jì)算消力池深度的基本公式出發(fā)，利用范盛金求解一元三次方程的方法，給出了計(jì)算躍前斷面水深的顯式計(jì)算公式，從而實(shí)現(xiàn)了計(jì)算消力池深度的顯式試算法，此試算法比傳統(tǒng)試算法和Hager階控水躍算法簡單、方便。

[1]張志昌.水力學(xué)（下冊(cè)）[M].北京：中國水利水電出版社.2011:198-203.Zhang Z C.Hydraulics(two volumes)[M].Beijing:China Water Power Press,2011:198-203.(in Chinese)

[2]吳持恭.水力學(xué)(下冊(cè))[M]北京：高等教育出版社，2006:9-14.Wu Chi-gong.Hydraulics（two volumes）[M].Beijing:Higher Education Press.2006:9-14.(In Chinese)

[3]李啟業(yè)，郭竟章，夏毓常.等.SL253-2000中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn).溢洪道設(shè)計(jì)規(guī)范[S].北京：中國水利水電出版社.2000：58～60.Liqiye，guo jingzhang，xia yuchang.etal.SL253-2000.industry standard of the People's Republic of China Design code for spillway[S].Beijing:ChinaWater Power Press.2000：58～60.(in Chinese)

[4]陳登毅，張平易，徐宗喜.等.SL265-2001.中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn).水閘設(shè)計(jì)規(guī)范[M].北京：中國水利水電出版社.2001：56～57.Chen dengyi，zhang yiping，xu zongxi.et al.SL265-2001.industry standard of the People'sRepublic ofChina.Design specification for sluice[M].Beijing:ChinaWater Power Press.2001：56～57.(in Chinese)

[5]基謝列夫.水力學(xué)計(jì)算手冊(cè) [M].北京：電力工業(yè)出版社,1957:352-354.Кислев.Handbook ofHydraulic Calculations[M].Beijing:ElectricPower Industry Press,1957:352-354.(in Chinese)

[6]張志昌，李若冰.基于動(dòng)量方程的挖深式消力池深度的計(jì)算[J].西北農(nóng)林科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，40（12）：214-218.Zhang zhichang，Li ruobin.Calculation on the depth of deepened-stilling basin based o n momentum equation [J].Journal of Northwest A＆F University（Nat.Sci.Ed.）2012，40（12）：214-218.

[7]Husain D.Alhamid A A,Negm A A M.length and depth of hydraulic jump in sloping channels[J].Journal of Hydraulic Research,1994(6):899-910.

[8]Forster JW，Skrinde R A.Control of the hydraulic jump by sills[J].American SocietyofCivilEngineers，1950，115：973-987

[9]黃朝煊，王賀瑤，王正中，趙延風(fēng).消力池最不利條件下池深極值探討[J].水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2015，34（1）：79-84.Huang chaoxuan Wang heyao Wang zhengzhong Zhao yanfeng.Investigation of extremum depth of sluice stilling basin under the most unfavorable conditions[J]Journal of hydroelectric engineering,2015，34（1）：79-84.

[10]倪漢根，劉亞坤.擊波、水躍、跌水、消能[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2008：134～234.Ni Hangen,Liu Yakun.Shock wave,Hydraulic jump,Plunge,Energy dissipation [M].Dalian：Dalian University of Technology Press，2008：134～234.(in Chinese)

[11]范盛金.一元三次方程的新求根公式與判別法[J].海南師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1989，2（2）：91-98.Fan shengjin Anew extracting formula and a new distinguishingmeans on theone variable cubic equation[J].Naturalscience J ournalofHainan teacherscollege1989，2（2）：91-98.