劉燕

學(xué)生對此問題展開行動研究，大部分學(xué)生首先猜想結(jié)論是成立的，然后利用格子紙數(shù)出等腰三角形、平行四邊形的面積，證明猜測是對的.少數(shù)幾個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)再畫幾個(gè)類似的多邊形嘗試后結(jié)論也成立.顯然，在格子紙上畫多邊形很容易計(jì)算出各個(gè)圖形的面積，那么曲邊形呢？在格子紙上做曲邊形是不容易計(jì)算面積的，結(jié)論是否不變，需要我們繼續(xù)研究，當(dāng)以直角三角形各邊為底邊向外做曲邊形的時(shí)候，會有哪些有趣的結(jié)論呢？這個(gè)時(shí)候問題1升級為問題2.

問題2 如圖3，當(dāng)以直角三角形三邊向外做半圓的時(shí)候，在斜邊上所畫的半圓的面積，與在兩條直角邊上所畫的半圓的面積之和還相等嗎？在圖4中，兩個(gè)月牙形的面積之和與△ABC的面積又有什么關(guān)系呢？

進(jìn)一步對問題展開行動研究，學(xué)生拿出圓規(guī)畫半圓，用直尺量出直角三角形各邊長和所有半圓的直徑，利用已掌握的直角三角形邊長和圓的面積公式等知識點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)圖3中兩個(gè)小半圓的面積之和等于大半圓的面積，對圖3進(jìn)行一個(gè)小小的整容得到圖4.圖4中最大的半圓減掉與兩個(gè)小半圓公共的部分后剩下△ABC，則兩個(gè)小半圓所剩下的月牙形面積之和等于△ABC的面積.由于一部分學(xué)生對面積公式不熟練，他們發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程顯得很不容易.師生進(jìn)一步探究后發(fā)現(xiàn)，下列圖形中結(jié)論也成立.

在圖5中，學(xué)生拿出直尺量出直角三角形各邊長，用量角器測量六個(gè)扇形的圓心角，求出陰影部分面積，得出大扇形重疊部分的面積等于兩個(gè)小扇形重疊部分的面積之和；在圖6中，同學(xué)們拿出直尺量出直角三角形各邊長和三個(gè)正方形的邊長，求出正方形和圓的面積，雖然部分同學(xué)出現(xiàn)稍有誤差的答案，但是大部分同學(xué)能得出大正方形挖掉內(nèi)接正方形陰影部分的面積等于兩個(gè)小正方形挖掉內(nèi)接正方形陰影部分的面積之和.

以上研究的圖形都滿足結(jié)論成立，我們還不能說所有的圖形都滿足此結(jié)論，因?yàn)槲覀冄芯康膱D形都是二維平面的圖形.除了二維平面我們還知道多維空間的存在（現(xiàn)階段只考慮三維空間），要想所有的圖形都滿足此結(jié)論，我們還得進(jìn)一步研究三維空間的圖形，此時(shí)知識點(diǎn)進(jìn)一步由平面拓展到空間.知識點(diǎn)應(yīng)用范圍變大，問題2升級為問題3.

問題3 繼續(xù)將勾股定理向空間推廣，從二維空間到三維空間（如圖7），請猜想：以直角三角形的某條邊為一邊作立方體時(shí)，斜邊上立方體的表面積與兩直角邊上兩個(gè)立方體的表面積之和還相等嗎？體積呢？

教師展示制作的立方體模型，給出幾組數(shù)據(jù)——立方體的長、寬、高（不必完全相同），學(xué)生利用圖形的表面積和體積公式計(jì)算，得出立方體的表面積仍然滿足結(jié)論，即[6a2+6b2=6c2].但是體積在結(jié)論上則不成立，即[a3+b3≠c3].大膽推測其他的立體圖形也可以用相同的測量和相應(yīng)的計(jì)算得出此結(jié)論，即此結(jié)論不僅在二維平面上滿足，在三維空間中結(jié)論也是滿足的.這時(shí)知識點(diǎn)的適用范圍進(jìn)一步擴(kuò)大.此設(shè)計(jì)的主要目的在于讓學(xué)生體驗(yàn)研究問題數(shù)學(xué)思維的發(fā)散，在此不進(jìn)行超出學(xué)生理解范圍的翔實(shí)驗(yàn)證.

從以上解決問題的行動研究中，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)勾股定理與圖形面積關(guān)系存在規(guī)律且可使用的范圍從二維平面拓展到三維空間，這是知識點(diǎn)的拓展，它向我們展現(xiàn)了數(shù)學(xué)規(guī)律的一面，豐富了我們所學(xué)的課本內(nèi)容且更利于發(fā)散學(xué)生思維.

問題4 如果以兩個(gè)小正方形的邊長為直角三角形的斜邊，分別在小正方形上再作出類似的小正方形，你會畫出圖案嗎？如果循環(huán)這學(xué)生們基本都能畫出圖8，結(jié)論顯然成立，循環(huán)這個(gè)過程，一部分人能猜測結(jié)論也成立，能得出結(jié)論的同學(xué)顯然思維已經(jīng)發(fā)散了，這是數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.當(dāng)教師將圖9展現(xiàn)在大家面前時(shí)，學(xué)生們都發(fā)出了驚嘆，這種不可思議的美讓學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)的巨大魅力，尤其是數(shù)學(xué)規(guī)律的神奇.學(xué)生們對勾股樹印象深刻，這種由數(shù)學(xué)知識帶給學(xué)生的震撼是基礎(chǔ)課程很難做到的，但是在拓展課程上學(xué)生能輕易體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的邏輯和思維，接受數(shù)學(xué)之美的熏陶.

經(jīng)過問題探究，學(xué)生積累了不少組滿足勾股定理的數(shù)，這個(gè)時(shí)候?qū)W習(xí)勾股數(shù)再恰當(dāng)不過了.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生輕松掌握勾股數(shù)這個(gè)知識點(diǎn)，在此不做過多陳述.

二、數(shù)學(xué)方法拓展

數(shù)學(xué)方法是人們?yōu)榱私鉀Q數(shù)學(xué)問題而采用的可操作的規(guī)則或手段，這些規(guī)則手段經(jīng)過多次運(yùn)用后都達(dá)到了解決問題的目的，久而久之就形成科學(xué)研究的數(shù)學(xué)工具，因此它首先具有普遍的應(yīng)用性和可操作性.勾股定理本身也是一種數(shù)學(xué)方法，在解決直角三角形問題中應(yīng)用頻率非常高.課本采用四個(gè)小直角三角形拼湊正方形及介紹趙爽弦圖來探索勾股定理，其本質(zhì)都是通過計(jì)算面積來得出勾股定理結(jié)論，我們在勾股定理學(xué)習(xí)中比較常見的數(shù)學(xué)證明方法是面積法.雖然其證明有諸多名稱，如總統(tǒng)證明法、歐幾里得證明法、實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ头ǖ?，大部分證明都可以歸為面積法證明.這其中總統(tǒng)證明法尤其值得推薦給全體初中生（見下文），拓展課將介紹利用相似三角形性質(zhì)證明和利用切割線定理證明等方法.

（一）伽菲爾德總統(tǒng)法證明

用紙裁剪兩個(gè)一樣的直角三角形，短邊AC，DE記為[a]，短邊CE，BD記為[b]，長邊AE，BE記為c，按圖拼接，使得[CE]與[ED]在同一水平線上，如圖10（證明過程略）.

總統(tǒng)證明法的思路為：利用三角形的面積公式和梯形面積公式求得三個(gè)直角三角形的面積之和等于直角梯形的面積.這個(gè)證明極其簡潔、完美地詮釋了公式法的巧妙之處.相較于其他嚴(yán)密復(fù)雜的證明方法而言，此證法最容易被學(xué)生理解和掌握.

（二）利用相似三角形性質(zhì)證明（證明過程略）

相似三角形是學(xué)生在九年級學(xué)習(xí)的內(nèi)容，用新學(xué)的知識來對八年級就接觸的勾股定理進(jìn)行新角度的證明，考查了學(xué)生知識運(yùn)用的綜合能力.相似法的優(yōu)點(diǎn)是簡潔、直觀，能很好地將直角三角形、勾股定理及三角形相似等知識點(diǎn)結(jié)合起來，運(yùn)用一種新的數(shù)學(xué)方法從拓展的角度幫助學(xué)生理解和掌握勾股定理，改變了學(xué)生對勾股定理面積法證明的固有思維模式.將相似法換一種用法，我們就能領(lǐng)會另一種美，再如相似形加上反證法，更加能感受數(shù)學(xué)證明的邏輯魅力.endprint

反證法從結(jié)論的反面出發(fā)，執(zhí)果索因，引出矛盾，從而證明了結(jié)論成立.反證法一般在直接證明問題有困難時(shí)采用，雖然理解和掌握起來不太容易，但是有利于完善學(xué)生對問題的綜合分析和邏輯思維的嚴(yán)密.

（三）利用切割線定理證明

如圖11，在Rt△ABC中，設(shè)直角邊[BC=a，][AC=b，則BD=BE=BC=a，][]

因?yàn)閇∠BCA=90°，點(diǎn)C，E在⊙B上，]所以[AC][是⊙B的切線].

由切割線定理，得：

[AC2=AE?AD=AB+BEAB-BD=c+ac-a=c2-a2，即b2=c2-a2，∴a2+b2=c2.]

切割線定理本質(zhì)是相似三角形對應(yīng)邊成比例的另一種形式.證明的整個(gè)過程體現(xiàn)了定理的重要性，學(xué)生從無從下手的狀態(tài)到柳暗花明的觸動，這種數(shù)學(xué)方法與勾股定理的巧妙結(jié)合體現(xiàn)了方法的魅力.當(dāng)然，學(xué)生在掌握方面是有難度的，但是了解一下新的數(shù)學(xué)證明方法，理解和分析問題有助于他們思維和邏輯的深入發(fā)展.

三、數(shù)學(xué)思想應(yīng)用拓展

數(shù)學(xué)思想反映空間形式和數(shù)量關(guān)系，是思維活動產(chǎn)生的結(jié)果.學(xué)生從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)開始就在進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)著比較高的數(shù)學(xué)層次，注重?cái)?shù)學(xué)思想的培養(yǎng)利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng).

數(shù)學(xué)思想是很難分離的，它滲透在知識點(diǎn)、數(shù)學(xué)方法中，學(xué)習(xí)知識和方法的目的是為了解決問題，在探究問題、學(xué)以致用、熟能生巧的過程中形成的數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)文化的精髓.在應(yīng)用型的問題中，數(shù)學(xué)思想得到較大程度的綜合體現(xiàn)，教材中經(jīng)典的應(yīng)用是用勾股定理解決靠墻梯子移動距離問題，體現(xiàn)建模思想和方程思想.拓展課進(jìn)一步強(qiáng)化這些思想的同時(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想.以下通過解決數(shù)學(xué)問題來感受數(shù)學(xué)思想之美.

（一）用勾股定理及其逆定理解決航行問題

如圖12，甲輪船離開港口以16km/h的速度向東南方向航行，在同時(shí)同地乙輪船向西偏南某個(gè)角度航行，半小時(shí)后乙輪船距離出發(fā)點(diǎn)6km，此時(shí)兩輪船相距10km.它們分別到達(dá)[B]，[A]兩地是在一個(gè)半小時(shí)后，且[AB=30]km，那么乙輪船每小時(shí)航行多少千米.（解答過程略）

大海茫茫難以分清位置和方向，學(xué)生解決這類問題需要一類數(shù)學(xué)思想.建模思想難在如何建立有效模型.在沒有學(xué)習(xí)直角坐標(biāo)系的學(xué)情下，學(xué)生會利用其他學(xué)科的知識（例如地理中的十字畫方向）來解決，這體現(xiàn)的是一類學(xué)科滲透的思想.模型建成后，解題的宏觀導(dǎo)向已明確，這樣就把一個(gè)問題化歸成熟悉的知識點(diǎn)，用舊的知識點(diǎn)對問題進(jìn)行解決的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化歸思想.

接下來需要注意的是勾股定理只有在直角三角形中才可使用，一定要先判定[△ACB]是直角三角形.貫穿始終的數(shù)形結(jié)合思想，將抽象的問題具體化，使得解決問題變得簡單明了.

（二）用勾股定理解決共享單車車樁問題

太原市公共自行車的建設(shè)速度、單日租騎量等四項(xiàng)指標(biāo)穩(wěn)居全國首位.公共自行車車樁的截面示意圖如圖13所示，AB⊥AD，AD⊥DC，點(diǎn)B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，則點(diǎn)A到地面的距離是多少？

解題思路（如圖14）：分別過點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥AB于點(diǎn)N，利用勾股定理得出BN的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出即可.

過點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥AB于點(diǎn)N，

∵AD=24cm，則BF=24cm，

[BN=BF2-FN2=252-242=7]，

∴BN=7（cm），

∵∠AMB=∠FNB=90°，∠ABM=∠FBN，

[∴][△BNF]∽[△BMA]

[∴ABBF=FNAM，即8025=AM24].

則[AM=16×245=3845].

故點(diǎn)[A]到地面的距離是：[3845+4=4045m.]

此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△BNF∽△BMA是解題關(guān)鍵.數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上來源于生活，建立模型后在解答過程中需要添加輔助線，化歸思想、數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合思想等都有體現(xiàn).

從上述教學(xué)片段中可以發(fā)現(xiàn)，在勾股定理中數(shù)學(xué)思想的拓展主要是解決問題思想方法的拓展，數(shù)形結(jié)合是最基本的數(shù)學(xué)思想，建立模型、分類討論、方程等思想也很常見.數(shù)學(xué)思想的形成并非一日之功，它伴隨在學(xué)生對知識的理解和一般技能的掌握過程中，學(xué)生由感性到理性、由具體到抽象逐步深入理解事物之間的本質(zhì)聯(lián)系.學(xué)生對每種思想方法的認(rèn)識都需要反復(fù)理解和運(yùn)用.按照多次了解、初步理解、簡單運(yùn)用的順序逐步完成.

拓展課程教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)容不求多，不求細(xì)，選擇科學(xué)的教學(xué)方法、新穎的教學(xué)內(nèi)容，運(yùn)用現(xiàn)代化的教學(xué)手段，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)的方法解決問題，追求學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)思想方法的滲透與提煉，感受數(shù)學(xué)的美.[□][◢]endprint