朱 偉 顧開(kāi)榮 王傳偉 劉曉飛

常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,常州,213164

0 引言

三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)(3T1R)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在高速抓放、自動(dòng)分揀、生產(chǎn)線裝配等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用需求。根據(jù)動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的不同，3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)可分為三種形式：3T1Rx、3T1Ry、3T1Rz，即動(dòng)平臺(tái)可實(shí)現(xiàn)三維平動(dòng)和分別繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。

由于DELTA機(jī)器人的三組支鏈采用相同的R(SS)2結(jié)構(gòu)[1]，獲得很好的應(yīng)用效果，因此類似的平行四邊形支鏈結(jié)構(gòu)在3T1R并聯(lián)機(jī)器人中得到廣泛應(yīng)用，這種機(jī)構(gòu)具有高速和高加速度的操作性能。文獻(xiàn)[2-5]先后發(fā)明了同屬一類的由4條R(SS)2支鏈和雙平臺(tái)組成的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)(分別稱為H4、I4、Par4和Heli4)。KIM等[6-7]采用RR(RR)2RR支鏈設(shè)計(jì)了兩種全轉(zhuǎn)動(dòng)副3T1Rx、3T1Rz并聯(lián)機(jī)構(gòu)。汪滿新等[8]采用4條R(UU)2支鏈設(shè)計(jì)了一種單平臺(tái)3T1Rz機(jī)構(gòu)。劉辛軍等[9]將(SS)2支鏈改進(jìn)為(SRRS)2，并發(fā)明了由4條R(SRRS)2R支鏈組成的3T1Rz并聯(lián)機(jī)器人，即X4機(jī)構(gòu)。

這類少自由度機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中容易出現(xiàn)奇異位形，此時(shí)可能因失去剛度或失去部分自由度而變得不可控制，從而使機(jī)構(gòu)的有效工作空間變小甚至不連續(xù)，在很大程度上影響了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能[10]。在機(jī)構(gòu)的適當(dāng)位置添加冗余驅(qū)動(dòng)支鏈，可以使機(jī)構(gòu)避開(kāi)奇異位形，同時(shí)可提高機(jī)構(gòu)剛度，增大有效工作空間。

本文設(shè)計(jì)一種2R(SRS)2R+2R(SRS)2非對(duì)稱3T1Ry型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，運(yùn)用方位特征理論[11]分析了機(jī)構(gòu)自由度和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)的位置正反解方程，通過(guò)位置數(shù)值解對(duì)運(yùn)動(dòng)方程正確性進(jìn)行驗(yàn)證。分析了機(jī)構(gòu)的工作空間及奇異位形等運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)，設(shè)計(jì)了一種新型冗余驅(qū)動(dòng)方式，可有效消除部分正解奇異位形，且保持機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間不變。

1 機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

1.1 機(jī)構(gòu)描述

2R(SRS)2R+2R(SRS)2并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)及4條分支組成，三維模型如圖1所示。每條支鏈中均包含一條主動(dòng)臂AiBi和一個(gè)(SRS)2平行四邊形結(jié)構(gòu)，主動(dòng)臂一端通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri1與定平臺(tái)相連，另一端與平行四邊形結(jié)構(gòu)短邊的中心固定連接，平行四邊形中的轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri2//Ri3(i=1,2,3,4)，且軸線垂直于該平面。其中，第1、第3支鏈為平行的R(SRS)2R結(jié)構(gòu)，豎直桿CiDi一端通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri4(i=1,3)與動(dòng)平臺(tái)連接，另一端和平行四邊形短邊固定連接，且R11⊥R14，R14與R34同軸，R11//R31；第2、第4支鏈為平行的R(SRS)2結(jié)構(gòu)，支鏈的平行四邊形短邊與動(dòng)平臺(tái)固定連接，R21//R41，結(jié)構(gòu)原理如圖2所示。

圖1 機(jī)構(gòu)三維模型Fig.1 3D model of the mechanism

圖2 機(jī)構(gòu)原理圖Fig.2 Schematic diagram of mechanism

機(jī)構(gòu)采用非完全對(duì)稱結(jié)構(gòu)，每條支鏈中與靜平臺(tái)相連的轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri1中心Ai位于半徑為r的圓周上，動(dòng)平臺(tái)為長(zhǎng)和寬分別為2m、2n的矩形，4條支鏈與動(dòng)平臺(tái)的連接點(diǎn)Ci、Di位于動(dòng)平臺(tái)4條邊的中點(diǎn)。在靜平臺(tái)中心上建立定坐標(biāo)系Oxyz，x軸沿OA2方向，y軸沿OA3方向，z軸垂直于靜平臺(tái)豎直向上；在動(dòng)平臺(tái)的中心P點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系Puvw，u軸沿PC2方向，v軸沿PD3方向，w軸垂直于動(dòng)平臺(tái)向上，如圖2所示。

1.2 機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

根據(jù)文獻(xiàn)[11]提出的機(jī)構(gòu)有序單開(kāi)鏈結(jié)構(gòu)組成原理：自由度(DOF)為F的并聯(lián)機(jī)構(gòu)(PM)可看成由F個(gè)驅(qū)動(dòng)副和V個(gè)有序單開(kāi)鏈(SOC)依次連接而成。圖2中，機(jī)構(gòu)可看成是由第2、第4支鏈構(gòu)成的第1獨(dú)立回路(記為子并聯(lián)機(jī)構(gòu)Mpa(2-4))、第1獨(dú)立回路和第1支鏈構(gòu)成的第2獨(dú)立回路(記為子并聯(lián)機(jī)構(gòu)Mpa(1-2-4))以及第2獨(dú)立回路和第3支鏈構(gòu)成的第3獨(dú)立回路(記為并聯(lián)機(jī)構(gòu)Mpa)依次連接而成。根據(jù)方位特征原理，機(jī)構(gòu)的方位特征集(POC)可表示為

(1)

式中，V為獨(dú)立回路數(shù)，V=3；Mbj為第j條支鏈的POC集,j=1,2,3;t、r分別表示POC集的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。

根據(jù)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式：

(2)

式中，ξLj為第j個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù);q為運(yùn)動(dòng)副數(shù)目。

可見(jiàn)，該機(jī)構(gòu)為3T1Ry運(yùn)動(dòng)輸出機(jī)構(gòu)。機(jī)構(gòu)耦合度為

(3)

式中，Δj為第j個(gè)單開(kāi)鏈的約束度。

機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分解路線可表示為

PM[F=4,V=3,k=2]=J[4]+SOC1(Δ1=2)+

SOC2(Δ2=-1)+SOC3(Δ3=-1)

(4)

SOC1：{-A2-B2-C2-C4-B4-A4-}

SOC2：{-A1-B1-C1-D1-}

SOC3：{-A3-B3-C3-D3-}

2 機(jī)構(gòu)位置分析

2.1 位置反解

根據(jù)圖2中建立的坐標(biāo)系，設(shè)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心P點(diǎn)在定坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)P=(xP,yP,zP)T，繞y軸的姿態(tài)角為α，4條支鏈中驅(qū)動(dòng)副的輸入角為θi(i=1,2,3,4)。各桿長(zhǎng)分別為：AiBi=l1，BiCi=l2(i=1,2,3,4)，CiDi=h(i=1,3)，DiP=m(i=1,3)，CiP=n(i=2,4)。

點(diǎn)Ai、Bi在定坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)為

動(dòng)平臺(tái)上各點(diǎn)在定坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)為

(5)

R=rot(y,α)

式中，R為動(dòng)坐標(biāo)系Puvw相對(duì)與定坐標(biāo)系Oxyz的旋轉(zhuǎn)矩陣；mi為桿DiP的單位矢量；ni為桿CiP的單位矢量。

根據(jù)圖2中矢量關(guān)系，可得封閉矢量方程

(6)

式中，ai為OAi的單位矢量；bi為桿AiBi的單位矢量；ci為桿BiCi的單位矢量;e為CiDi的單位矢量。

將各點(diǎn)坐標(biāo)代入式(6)，整理后可得如下形式：

Eicosθi+Fisinθi+Gi=0i=1,2,3,4

(7)

E1=2l1(yP-m+r)F1=-2l1(zP-h)

E2=-2l1(xP+ncosα-r)

F2=-2l1(zP-nsinα)

E3=-2l1(yP+m-r)F3=-2l1(zP-h)

E4=2l1(xP-ncosα+r)

F4=-2l1(zP+nsinα)

可求解出機(jī)構(gòu)的反解方程

(8)

2.2 位置正解

根據(jù)上述拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分解順序，采用序單開(kāi)鏈法[12]求解機(jī)構(gòu)的正解。

2.2.1單開(kāi)鏈SOC1(Δ=2)

圖3 虛擬變量位置示意圖Fig.3 Diagram of dummy variables

易得C2點(diǎn)虛擬坐標(biāo)為

(9)

(10)

解之得

2.2.2單開(kāi)鏈SOC2(Δ=-1)

因?yàn)镻為C2C4中點(diǎn)，D1P平行于y軸，C1D1平行于z軸，所以第2單開(kāi)鏈中C1的坐標(biāo)為

(11)

根據(jù)桿長(zhǎng)B1C1=l2的長(zhǎng)度約束條件，得到相容方程:

(12)

2.2.3單開(kāi)鏈SOC3(Δ=-1)

因?yàn)镻為C2C4中點(diǎn)，D3P平行于y軸，C3D3平行于z軸，所以第3單開(kāi)鏈中C3的坐標(biāo)為

(13)

根據(jù)桿長(zhǎng)B3C3=l2的長(zhǎng)度約束條件，得到相容方程:

(14)

2.3 位置正反解的數(shù)值驗(yàn)證

選取該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：r=50 mm，l1=60 mm，l2=90 mm，h=10 mm，m=50 mm，n=20 mm。為了驗(yàn)證機(jī)構(gòu)的正反解，將動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)代入反解方程式(8)，通過(guò)MATLAB編程算出機(jī)構(gòu)輸入?yún)?shù)，如表1所示。再將機(jī)構(gòu)輸入?yún)?shù)代入正解相容方程式(12)和式(14)，得到動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)，如表2所示。從表1和表2可看出，動(dòng)平臺(tái)的位置正反解完全匹配。

表1 位置反解Tab.1 Inverse position analysis

表2 位置正解Tab.2 Direct position analysis

3 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能分析

3.1 工作空間分析

本機(jī)構(gòu)工作空間的主要約束條件包括桿長(zhǎng)約束和運(yùn)動(dòng)副約束。設(shè)定4個(gè)驅(qū)動(dòng)角θi(i=1,2,3,4)范圍為-π～π?？紤]到機(jī)構(gòu)的有效工作空間，搜索高度設(shè)定為[20 mm,120 mm]。對(duì)于不同的工作運(yùn)動(dòng)要求，動(dòng)平臺(tái)處于不同姿態(tài)角時(shí)，機(jī)構(gòu)的工作空間不同。圖4所示為α分別為0°、30°、60°、90°、120°、150°定姿態(tài)時(shí)，機(jī)構(gòu)的三維位移工作空間?？梢?jiàn)，當(dāng)α=0°時(shí)，可達(dá)工作空間范圍最大，隨著α增大,工作空間依次減小，α=150°時(shí)，可達(dá)工作空間最小?？傮w而言，機(jī)構(gòu)在各姿態(tài)的可達(dá)工作空間連續(xù)性較好，當(dāng)z≥60 mm時(shí)，機(jī)構(gòu)工作空間幾乎不出現(xiàn)空洞。在工作空間的下半部分，越往下，機(jī)構(gòu)工作空間空洞越大，表示機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)部不可達(dá)區(qū)域增多，所以盡量避免機(jī)構(gòu)在工作空間底部位置工作。

3.2 雅可比矩陣

Jpvp=Jqvq

(15)

(16)

(17)

N11=2(yP-m+r+l1cosθ1)l1sinθ1+
2(zP-h-l1sinθ1)l1cosθ1

(a)α=0° (b)α=30°

(c)α=60° (d)α=90°

(e)α=120° (f)α=150°圖4 工作空間Fig.4 Workspace

3.3 奇異性分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形可通過(guò)上述雅可比矩陣進(jìn)行分析，主要有逆解奇異、正解奇異和混合奇異三種類型。

3.3.1逆解奇異

逆解奇異發(fā)生條件為|Jq|=0，且|Jp|≠0。根據(jù)式(16)可知，若Jq對(duì)角線上任一元素為零，則|Jq|=0。

由N11=0，N22=0，N33=0，N44=0，可得

(18)

當(dāng)輸入?yún)?shù)滿足上述任一方程時(shí)，|Jq|=0，機(jī)構(gòu)發(fā)生逆解奇異。通常，這類奇異一般發(fā)生在機(jī)構(gòu)到達(dá)工作空間邊界位置或存在多組逆解時(shí)。如當(dāng)桿AiBi和桿BiCi處于拉直共線或重疊共線時(shí)，表示機(jī)構(gòu)到達(dá)極限位置。

3.3.2正解奇異

正解奇異發(fā)生條件為|Jp|=0，且|Jq|≠0。由式(17)可知，若M24=0且M44=0，則|Jq|=0。

由M24=0，M44=0可得

(19)

將求解出的α代入方程M24=0、M44=0，可得出機(jī)構(gòu)正解奇異的位置。當(dāng)從動(dòng)桿BiCi與動(dòng)平臺(tái)平行或共面時(shí)，盡管驅(qū)動(dòng)桿AiBi固定，動(dòng)平臺(tái)依然具有運(yùn)動(dòng)自由度，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)不確定。

3.3.3混合奇異

當(dāng)|Jq|=0且|Jp|=0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生混合奇異，此時(shí)機(jī)構(gòu)將失去自由度。

4 冗余驅(qū)動(dòng)

為了避免或減輕機(jī)構(gòu)奇異對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的影響，可通過(guò)增加冗余驅(qū)動(dòng)以消除全部或部分奇異位形。機(jī)構(gòu)奇異的本質(zhì)是表示機(jī)構(gòu)輸入輸出關(guān)系的雅可比矩陣降秩[10]，機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器的輸出自由度發(fā)生變化。若增加冗余驅(qū)動(dòng)后，能夠分別使雅可比矩陣在原機(jī)構(gòu)的奇異位置不降秩，即可解決機(jī)構(gòu)的奇異問(wèn)題。根據(jù)機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，本文設(shè)計(jì)兩種冗余驅(qū)動(dòng)方式。

4.1 SPS冗余支鏈

在靜平臺(tái)中心O點(diǎn)和動(dòng)平臺(tái)上v軸以外任意位置之間添加SPS支鏈，P副為驅(qū)動(dòng)，結(jié)構(gòu)原理及三維模型如圖5所示。

(a)結(jié)構(gòu)原理

(b)三維模型圖5 SPS冗余驅(qū)動(dòng)支鏈Fig.5 SPS additional active limb

增加冗余驅(qū)動(dòng)后，機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣為

(20)

(21)

由于移動(dòng)副固有的結(jié)構(gòu)特性，盡管該冗余驅(qū)動(dòng)方式會(huì)提高機(jī)構(gòu)的剛度和承載能力，但其工作空間會(huì)大大減少。同時(shí)，驅(qū)動(dòng)副位于支鏈中間，影響了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能和靈活性。

4.2 RRR冗余支鏈

(a)結(jié)構(gòu)原理

(b)三維模型圖6 RRR冗余驅(qū)動(dòng)支鏈Fig.6 RRR additional active limb

機(jī)構(gòu)增加冗余驅(qū)動(dòng)后，雅可比矩陣為

(22)

(23)

2M51=-sinθ52M52=02M53=-cosθ5

2M54=nsinαsinθ5+ncosαcosθ5
2M61=sinθ62M62=02M63=-cosθ6

2M64=nsinαsinθ6-ncosαcosθ6

2N52=l1sinθ2sinθ5-l1cosθ2cosθ5

2N55=-(r+l1cosθ2-xP-ncosα)cosθ5-
(zP-nsinα-l1sinθ2)sinθ5

2N64=l1sinθ4sinθ6-l1cosθ4cosθ6

2N66=-(xP-ncosα+r+l1cosθ4)cosθ6-
(zP+nsinα-l1sinθ4)sinθ6

當(dāng)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角為180°時(shí)，原機(jī)構(gòu)的工作空間如圖7a所示，圖中深色部分為空間內(nèi)部的奇異位置。增加RRR冗余支鏈后，機(jī)構(gòu)定姿態(tài)工作空間如圖7b所示，工作空間增大，且內(nèi)部奇異得到消除，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能更好，且這類支鏈的驅(qū)動(dòng)源可固定安裝在定平臺(tái)上，有利于機(jī)構(gòu)提高運(yùn)動(dòng)速度和加速度性能。

(a)原機(jī)構(gòu) (b)增加冗余驅(qū)動(dòng)后圖7 冗余驅(qū)動(dòng)工作空間Fig.7 Workspace after redundant driving

5 結(jié)論

(1)設(shè)計(jì)一種新型3T1Ry運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，分析了機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性，該機(jī)構(gòu)耦合度為2，耦合性較強(qiáng)，整體結(jié)構(gòu)部分對(duì)稱。

(2)采用序單開(kāi)鏈法建立了機(jī)構(gòu)的正解方程，并通過(guò)數(shù)值解驗(yàn)證了正反解方程的正確性。

(3)分析了機(jī)構(gòu)的工作空間和奇異位形等運(yùn)動(dòng)性能，表明機(jī)構(gòu)具有較大的工作空間，但存在的奇異位置導(dǎo)致工作空間內(nèi)部不連續(xù)。

(4)為了減少機(jī)構(gòu)的奇異位形，設(shè)計(jì)了兩種冗余驅(qū)動(dòng)方式。經(jīng)分析表明，RRR冗余支鏈可在不影響機(jī)構(gòu)工作空間的前提下有效消除部分奇異位形，且其驅(qū)動(dòng)源安裝在定平臺(tái)上，便于機(jī)構(gòu)在高速和高加速度場(chǎng)合推廣應(yīng)用。

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