王 君 ?？思?聶良益 何紅秀 陳智龍 汪 泉 任 軍

1.湖北工業(yè)大學機械工程學院,武漢,4300682.中國地質(zhì)大學機械與電子信息學院，武漢，430074

0 引言

平面連桿機構(gòu)的奇異位置(死點)也是連桿機構(gòu)可動性問題的主要研究方面之一。目前，已有不少學者提出了不同的解決辦法。江國憲等[1]采用等效機械手工作空間分析了平面四桿機構(gòu)的可動性問題。宋杰等[2]采用虛桿等效方法研究了RRP-RRP型六連桿機構(gòu)的曲柄存在條件。于紅英等[3]運用平面鉸鏈五連桿機構(gòu)的雅可比矩陣求出了機構(gòu)奇異位置。王文格等[4]采用機構(gòu)的雅可比矩陣研究了七桿機構(gòu)的可動性特點。沈惠平等[5]提出了任意復(fù)雜多回路平面連桿機構(gòu)或機械手奇異位形分析的模塊法。GOSSELIN等[6]基于雅可比矩陣的特性將閉鏈機構(gòu)的奇異性分為三種類型。WANG等[7]用判別式法研究了Stephenson六桿機構(gòu)的奇異性。 GAO等[8]分析了對稱五桿機構(gòu)在解空間的奇異位形。MERLET[9]采用線匯與線叢原理對奇異位形進行了研究。COLLINS等[10]應(yīng)用Clifford 代數(shù)研究了并聯(lián)操作平臺的奇異性問題。WANG等[11]采用機構(gòu)自由度退化方法分析了一系列復(fù)雜平面機構(gòu)的死點位置。TING等[12]對一些復(fù)雜機構(gòu)的曲柄存在條件做了初步討論。這些方法大多針對特定機構(gòu)，且基本上是采用幾何分析與代數(shù)計算的方法。

本文利用連桿機構(gòu)本身的特性，采用等效四桿機構(gòu)的概念來分析單自由度復(fù)雜連桿機構(gòu)的奇異性問題。

1 等效四連桿機構(gòu)

1.1 等效四連桿機構(gòu)概念提出

HAIN[13]首先使用一階等效機構(gòu)的概念分析多桿機構(gòu)的速率問題。DIJKSMAN[14]提出了一種能保持一階等效運動特性的連桿機構(gòu)簡化方法。一階等效連桿機構(gòu)是由構(gòu)件的瞬心組成，并保持與原機構(gòu)中連桿之間瞬時運動特征不變的機構(gòu)。其中，這些瞬心可以看作是原始連桿機構(gòu)中相鄰兩構(gòu)件的瞬時運動關(guān)節(jié)。由此，等效連桿機構(gòu)的桿件數(shù)量比實際機構(gòu)的桿件數(shù)量少，這就提供了另一種方法來研究機構(gòu)的運動狀態(tài)。對于單自由度復(fù)雜平面連桿機構(gòu)，其一階運動特性可以用它的等效四桿機構(gòu)來體現(xiàn)。等效四桿機構(gòu)是由原連桿機構(gòu)中4個原始連桿之間兩兩相鄰連桿間的4個速度瞬心構(gòu)成的，其中一個瞬心可以作為輸入關(guān)節(jié)。因為瞬心既能用來判斷給定連桿的速度分布，又可以判斷連桿間的運動傳遞特性，所以等效四桿機構(gòu)可以代表單自由度復(fù)雜平面連桿的一階運動特性。

從原始的復(fù)雜連桿機構(gòu)中找到4個連桿或相應(yīng)的4個速度瞬心來組成等效四桿機構(gòu)成為研究的重點。等效四桿機構(gòu)包含一個輸入關(guān)節(jié)，這個輸入關(guān)節(jié)連接著復(fù)雜連桿機構(gòu)中的兩個連桿，這兩桿可以看作是機架桿和輸入桿；還需要另外的兩桿來構(gòu)成等效四桿機構(gòu)的四桿，這兩桿可以看作是連架桿和輸出桿，輸出桿和連架桿可以是原復(fù)雜連桿機構(gòu)中的任意兩桿。把這4個桿件按照機架、輸入桿、連架桿、輸出桿的順序組合，這些桿件兩兩相鄰的瞬心就構(gòu)成了等效四桿機構(gòu)的4個瞬時關(guān)節(jié)。這樣的等效四桿機構(gòu)可保持復(fù)雜平面連桿機構(gòu)中原始連桿之間的瞬時運動特性。

1.2 等效四連桿機構(gòu)的構(gòu)成

由上述分析可知，等效四連桿機構(gòu)由4個原始桿以及它們對應(yīng)的4個運動瞬心組成。4個原始桿中，連接機架和輸入桿組成輸入關(guān)節(jié)，另外兩桿為原復(fù)雜連桿機構(gòu)中的任意兩個桿件。如圖1所示，找出Stephenson六桿機構(gòu)的瞬心，則其瞬時運動特性可以由A0ECC0組成的等效四桿機構(gòu)來決定。

圖1 Stephenson Ⅱ型六桿機構(gòu)Fig.1 Stephenson type Ⅱ six-bar linkage

復(fù)雜機構(gòu)的等效四連桿機構(gòu)可以按照以下步驟找出：①選擇機架和輸入桿，其所相連的關(guān)節(jié)即為輸入關(guān)節(jié)；②任選兩桿為其余兩桿；③按照機架、輸入桿、連架桿、輸出桿的順序組合構(gòu)成等效機構(gòu)的原始四桿，并找出相鄰兩桿之間對應(yīng)的瞬心。這4個相鄰的瞬心就構(gòu)成了等效四桿機構(gòu)的4個關(guān)節(jié)，相鄰兩個關(guān)節(jié)之間的桿或等效桿就成為等效機構(gòu)的4個桿件。

需要注意的是，如果復(fù)雜平面連桿機構(gòu)含有一個四桿環(huán)，且該四桿環(huán)包括了機架與輸入桿，則該四桿環(huán)可作為該復(fù)雜機構(gòu)的一種等效四桿機構(gòu)。由此，復(fù)雜連桿機構(gòu)的等效四桿機構(gòu)可分成如下兩種類型。

類型Ⅰ 等效四桿機構(gòu)的4個桿件由原復(fù)雜連桿機構(gòu)內(nèi)的四桿環(huán)組成。

類型Ⅱ 等效四桿機構(gòu)的4個桿件由原復(fù)雜連桿機構(gòu)內(nèi)的非四桿環(huán)組成。

類型Ⅰ的復(fù)雜連桿機構(gòu)的等效四連桿機構(gòu)直接為該機構(gòu)內(nèi)的四桿環(huán)。對于類型Ⅱ中的等效四連桿機構(gòu)，其構(gòu)成的桿件可能來自四桿環(huán)的一部分但不能是全部，或來自其他不同環(huán)。因復(fù)雜連桿機構(gòu)中存在多個桿件，因此有多個等效四連桿機構(gòu)的桿件組合方式。這些等效四桿機構(gòu)都從屬于類型Ⅰ或類型Ⅱ。圖1等效四連桿機構(gòu)A0ECC0中，連桿EC和復(fù)雜連桿機構(gòu)中的三元桿BCD具有相同的運動狀態(tài)。當桿1作為機架，桿2作為輸入桿，或瞬心I12作為輸入關(guān)節(jié)時，桿A0E和桿A0AB0可等效成同一個單元。該六連桿機構(gòu)能被等效為四連桿機構(gòu)A0ECC0。需要注意的是，點E為桿AD、B0B延長線的交點，同時也是瞬心I25。由此，等效四連桿機構(gòu)A0ECC0可以看作是由原始四桿1、2、5和6按順序排列的兩兩相鄰的4個關(guān)節(jié)瞬心I12、I25、I56和I61組成的，即等效四桿機構(gòu)的4個關(guān)節(jié)就是原四桿中相鄰兩桿之間的瞬心，它是類型Ⅱ等效四連桿機構(gòu)。

選擇其他桿件組合也能構(gòu)成等效四桿機構(gòu)。如選擇桿件1作為機架，桿件2為輸入桿，桿件3和桿件5為剩余兩桿，并按順序排列的四桿件1、2、3和5形成的瞬心I12、I23、I35和I51就構(gòu)成了等效四連桿機構(gòu)A0ADF。其余的等效四連桿機構(gòu)也可以用相同的方法得到。

2 運用等效四連桿機構(gòu)分析機構(gòu)的死點

平面四桿機構(gòu)出現(xiàn)運動死點的位置是在連桿和輸出桿共線或三個非輸入關(guān)節(jié)共線的位置。因復(fù)雜平面連桿機構(gòu)具有更多的桿件、更復(fù)雜的環(huán)和更多樣的輸入方式，故很難分析其出現(xiàn)死點的位置與機構(gòu)在死點位置的構(gòu)型。等效四連桿機構(gòu)概念的提出為研究單自由度復(fù)雜平面連桿機構(gòu)的死點位置提供了一種新方法。

等效四桿機構(gòu)包含一個輸入關(guān)節(jié)和三個非輸入關(guān)節(jié)。如果復(fù)雜連桿機構(gòu)對應(yīng)的等效四連桿機構(gòu)處在死點位置，則原復(fù)雜平面連桿機構(gòu)也必處在死點位置。由此，單自由度復(fù)雜平面連桿機構(gòu)的死點可以按照以下判別準則來分析。

判別準則1 單自由度復(fù)雜平面機構(gòu)死點出現(xiàn)的條件是該機構(gòu)的等效四連桿機構(gòu)中的三個非輸入關(guān)節(jié)處在同一直線上。

判別準則2 任一個該復(fù)雜機構(gòu)的等效四連桿機構(gòu)處在死點位置，則整個原機構(gòu)一定也處于死點位置。

需要說明的是，如果類型Ⅰ等效四連桿機構(gòu)處在死點位置，那么原復(fù)雜機構(gòu)也必處于死點位置，并且所有類型Ⅱ等效四連桿機構(gòu)也處于死點位置。如果任一該機構(gòu)類型Ⅱ等效四連桿機構(gòu)處于死點位置，該復(fù)雜機構(gòu)也處于死點位置，其余所有類型Ⅱ等效四桿機構(gòu)也都處于死點位置，但此時該復(fù)雜機構(gòu)的類型Ⅰ等效四連桿機構(gòu)不一定處于死點位置。也就是說，該復(fù)雜連桿處于死點位置時，該機構(gòu)的任一個類型Ⅱ的等效四桿機構(gòu)機構(gòu)都處于死點位置。這是因為類型Ⅱ的等效四連桿機構(gòu)中的桿件是來自該復(fù)雜機構(gòu)中不同的環(huán)。當所有類型Ⅰ和類型Ⅱ等效四桿機構(gòu)都處于死點位置時，則原機構(gòu)必處于死點位置。

下面對以上準則進行進一步解釋。如圖2所示，以桿件1作為機架，桿件2為輸入桿，桿件p和桿件q是該復(fù)雜機構(gòu)中不同于桿件1、桿件2的其余任意兩桿。該等效四桿機構(gòu)對應(yīng)的瞬心為I12、I2p、Ipq和I1q。

圖2 四連桿機構(gòu)Fig.2 A four-bar linkage

桿件p、桿件q以及桿件2的速度關(guān)系可以表示為

(1)

(2)

式中,ωi(i=2,p,q)為桿件i的角速度。

當復(fù)雜連桿機構(gòu)處于死點位置時，式(1)和式(2)的值應(yīng)該是無窮大的，此時等式的右半部分的分母應(yīng)等于0，即I1pI2p=0和I1qI2q=0，這時瞬心I1j和I2j(j=p,q)重合。根據(jù)Aronhold-Kennedy理論，瞬心Ipq在直線I1pI1q和直線I2pI2q上。由此，等效四連桿機構(gòu)中的三個非輸入關(guān)節(jié)I2p、Ipq和I1q處在同一直線上。如果等效四連桿機構(gòu)中的三個非輸入關(guān)節(jié)I2p、Ipq和I1q處在同一直線上，同理，根據(jù)Aronhold-Kennedy理論，瞬心I1j和I2j(j=p,q)必重合。當桿件p和桿件q被任意地選取時，一個類型Ⅱ的等效四連桿機構(gòu)處于死點位置，其余所有類型Ⅱ的等效四連桿機構(gòu)一定同時處于死點位置。由此，該判別準則是單自由度復(fù)雜平面連桿機構(gòu)死點位置的充分必要條件，這些準則能簡單判別單自由度復(fù)雜平面連桿機構(gòu)死點的幾何構(gòu)型。

3 實例分析

3.1 含有兩個移動關(guān)節(jié)的平面六連桿機構(gòu)死點位置分析

如圖3所示,Stephenson六連桿機構(gòu)中的2個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)用移動關(guān)節(jié)代替時，其死點問題也能利用等效四連桿機構(gòu)的方法來判定。當給定輸入在關(guān)節(jié)A時，如選擇構(gòu)件3和構(gòu)件4為其余兩桿，運用等效機構(gòu)的概念和方法，機構(gòu)的死點位置出現(xiàn)在類型Ⅰ等效四桿機構(gòu)I12I24I34I13中的瞬心I24、I34和I13共線(圖3a)。同時四桿環(huán)ABCD在物理上形成一個曲柄滑塊機構(gòu)，即類型Ⅰ的等效四桿機構(gòu)，根據(jù)上述準則1和2，此時四桿環(huán)ABCD一定處在死點位置,BC桿垂直于滑塊的導(dǎo)路方向。若選擇桿4和桿5為其余的兩桿，運用三心定理容易得到桿2和桿5的運動瞬心I25、桿1和桿5的運動瞬心I15，機構(gòu)的奇異位置出現(xiàn)在類型Ⅱ等效四桿I12I25I45I15中的瞬心I25、I45和I15共線(圖3b)，此時桿件EF將垂直于平面內(nèi)滑塊所運動的導(dǎo)路方向。

(a)

(b)圖3 含有兩個移動關(guān)節(jié)的六桿機構(gòu)Fig.3 A six-bar linkage with two sliders

3.2 含有三個移動關(guān)節(jié)的六桿機構(gòu)的死點位置

將六桿機構(gòu)中三個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)用移動關(guān)節(jié)替換，如圖4所示。若以旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)A為輸入關(guān)節(jié)，則默認桿1為機架，桿2為輸入桿，任選桿3和桿4為其他兩桿，機構(gòu)的奇異位置出現(xiàn)在等效四桿I12I24I34I13中的瞬心I24、I34和I13共線，或任選桿4和桿5為任意兩桿，機構(gòu)的奇異位置出現(xiàn)在等效四桿I12I25I45I15中的瞬心I25、I45和I15共線。

圖4 含有三個移動關(guān)節(jié)的六桿機構(gòu)Fig.4 A six-bar linkage with three sliders

3.3 單自由度雙蝶八連桿機構(gòu)死點位置分析

單自由度雙蝶八桿機構(gòu)的死點位置是很難找出來的。這里將運用PENNOCK等[15]提出的方法求得單自由度雙蝶八桿機構(gòu)所有的瞬心。利用本文提出的等效機構(gòu)方法，復(fù)雜的單自由度雙蝶八桿機構(gòu)的奇異性很容易就被分析出來,通過任一等效機構(gòu)可以得到其死點位置。如圖5所示，任意選擇原機構(gòu)的4根桿如桿1、2、3和7，并把它們按照機架、輸入桿、連桿、輸出桿的順序組合。由相鄰兩桿之間的運動瞬心組成相應(yīng)的等效四桿機構(gòu)I12I23I37I17。如果該等效機構(gòu)的三個被動關(guān)節(jié)I23、I37、I17位于同一直線上，則這個等效四桿機構(gòu)位于死點位置，進而判定整個單自由度雙蝶八桿機構(gòu)必定位于死點位置。如選擇其他任意連桿及輸出桿，也會得出相同的結(jié)論。由此，運用等效四桿機構(gòu)的概念，像單自由度雙蝶八桿機構(gòu)的死點位置也可很容易地判別出來。

圖5 單自由度雙蝶八桿機構(gòu)的死點位置Fig.5 A dead center position for the double butterfly eight-bar linkage

4 結(jié)束語

本文根據(jù)機構(gòu)的瞬心能表示該機構(gòu)的運動特性的特點，提出了用等效四連桿機構(gòu)的概念和方法來研究單自由度復(fù)雜平面連桿機構(gòu)奇異性的方法。以Stephenson六連桿機構(gòu)為例介紹了等效四連桿機構(gòu)構(gòu)成，并利用其來分析更復(fù)雜的單自由度平面連桿機構(gòu)如帶移動關(guān)節(jié)的六連桿機構(gòu)、雙蝶八桿機構(gòu)的奇異性，體現(xiàn)了該方法的簡單直觀性。該方法是一種幾何分析方法，能為研究復(fù)雜平面機構(gòu)在奇異位置的構(gòu)型提供一種新的思路。

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