王建新,王 健(山東理工大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,山東 淄博 255049)

時間序列的突變檢驗在生活中很多領域有著重要的應用，例如水文氣象序列的突變時間研究.隨著全球氣候的變化威脅著人類的生活環(huán)境，關于水文氣象序列的研究越來越重要.非參數(shù)統(tǒng)計方法要求的假定條件較少，運算比較簡單，更容易使研究者理解應用推廣.因此，研究非參數(shù)統(tǒng)計檢驗方法有重要的意義.目前關于突變檢驗的非參數(shù)統(tǒng)計方法有很多，如Mann-Kendall法，pettitt 法，Reverse Spearman’s rho test ,pettitt 法，WMW法等. 眾所周知，非參數(shù)秩檢驗受原始數(shù)據(jù)是否存在自相關的先驗假設條件限制，但高階自相關遠遠小于一階自相關帶來的誤差可以忽略.許多學者也認識到非參數(shù)統(tǒng)計法方法會受到一些序列自身性質的影響，而傾向研究小波理論等引入的新方法.[1-3]本文將通過蒙特卡洛模擬的方法驗證剖析不同一階自相關系數(shù)的存在對Mann-Kendall突變檢驗產(chǎn)生的具體差異影響，從而對其進行修正,并探討不同樣本空間所帶來的的突變次數(shù)的改變.為檢驗相關問題提供更加簡單可行的分析方法及運算步驟.

1 Mann-Kendall 突變檢驗

設時間序列{Xt},觀察值序列{xt,t=1,2,...,n}.構造秩序列

其中

在時間序列隨機獨立的假定下，定義統(tǒng)計量：

(k=1,2,...,n)

其中UF1=0，當x1,x2,...,xn相互獨立，且連續(xù)同分布，

UFk是按時間序列x順序x1,x2,...,xn計算出來的統(tǒng)計量序列.按時間序列x逆序xn,xn-1,...,x1,再重復上述過程，然后使計算值乘上-1，即可得到UBk序列.分別繪制UFk和UBk曲線圖，如果UFk和UBk曲線交點在置信線之間，那么交點對應的時刻便是突變開始的時間.

2 AR(1)過程的影響

2.1 模擬條件

為了驗證存在一階自相關對于Mann-Kendall 突變檢驗方法產(chǎn)生的影響，將利用蒙特卡洛模擬實驗對于不同一階自相關系數(shù)ρ1的序列進行分析[4-5].設

Xt=μX+ρ1(Xt-1-μX)+εt

(1)

(2)

2.2 模擬結果及分析

蒙特卡洛模擬如圖1、圖2所示.

圖1 正相關AR(1)影響結果Fig. 1 Effect of positive serial correlation

圖2 負相關AR(1)影響結果Fig. 2 Effect of negative serial correlation

通過圖1和圖2可以看出，當時間序列存在正相關AR(1)過程時，隨著正相關系數(shù)的不斷增加，檢驗出突變次數(shù)呈明顯的逐漸下降趨勢.另外，隨著樣本空間的增大，檢驗出突變點的概率均隨著增高，這符合現(xiàn)實的認知.當時間序列存在負相關AR(1)過程時，隨著負相關強度的增加，檢驗出突變次數(shù)和正相關情況相反呈逐漸上升的趨勢.通過對比不難發(fā)現(xiàn)，存在負相關AR(1)過程的樣本要比存在正相關AR(1)過程的樣本檢驗出突變的次數(shù)的概率均有所增加.因此，通過模擬實驗不難發(fā)現(xiàn)如果時間序列存在自相關性對Mann-Kendall 突變檢驗方法將產(chǎn)生較大的影響，消除時間序列的自相關性在進行突變檢驗可能會產(chǎn)生更加精確的結果.

下面利用Pre-whitening法對蒙特卡洛模擬產(chǎn)生的時間序列進行預處理，然后再進行模擬實驗.

3 Pre-whitening 處理

Pre-whitening法[6]是von Storch 提出，并被Yue S等人用于減少AR(1)過程對于MK檢驗趨勢分析產(chǎn)生的影響中，下面驗證其在處理突變檢驗中的效果.樣本序列可以通過公式進行Pre-whitening處理：

Yt=Xt-ρ1Xt-1

然后對新的時間序列{Yt}進行蒙特卡洛模擬.

圖3 Pre-whitening 修正Fig. 3 Modified by Pre-whitening

從圖3可以看出，運用Pre-whitening 處理后的時間序列再進行蒙特卡洛模擬的Mann-Kendall突變檢驗已經(jīng)去除了不同自相關系數(shù)對于突變檢驗的影響，各個樣本空間的模擬實驗結果均和自相關系數(shù)等于0時保持在幾乎同一水平.說明Pre-whitening 處理對于Mann-Kendall突變檢驗也是一種有效的方法.

4 實例分析

以全國1949-2008年洪災數(shù)據(jù)為例，利用非參數(shù)統(tǒng)計檢驗方法Mann-Kendall突變檢驗進行修正前后分析結果的分析對比.首先，判斷洪災數(shù)據(jù)是否存在一階自相關性.

表1 一階自相關系數(shù)顯著性檢驗
Tab.1 The test of significance of lag-1 serial correlation coefficient

參數(shù)估計標準誤差t值近似Pr>|t|滯后MU9763．1994．855099．81<．00010AR1，10．401250．120303．340．00151

通過利用SAS軟件進行條件最小二乘估計(見表1).可以看出一階自相關系數(shù)0.40125，并且系數(shù)的t檢驗p值小于0.01，說明該序列具有較強的一階自相關性，系數(shù)顯著非零，該數(shù)據(jù)具有一定的討論意義.利用Pre-whitening 處理洪災數(shù)據(jù)，消除一階自相關對數(shù)據(jù)檢驗的影響.

圖4 全國1949—2008年洪災數(shù)據(jù)Pre-whitening 處理前、后折線對比圖Fig. 4 Line chart of flood data before and after Pre-whitenhg from 1949 to 2008 in China

利用pre-whitening 處理全國洪災數(shù)據(jù)后，消除了數(shù)據(jù)本身存在的一階自相關性.通過圖4的折線圖對比可以看出，數(shù)據(jù)處理前后波動起伏變化非常小，沒有改變原始數(shù)據(jù)的核心信息.同時更好的滿足了利用非參數(shù)秩檢驗方法所受到原始數(shù)據(jù)是否存在自相關的先驗假設條件.

圖5 全國1949-2008洪災數(shù)據(jù)Pre-whitening 處理前、后MK突變檢驗對比圖Fig. 5 Line chart of the MK test based on the flood data before and after Pre-whitenhg from 1949 to 2008 in China

Mann-Kendall突變檢驗，如果UFk和UBk曲線交點在置信線之間，那么交點對應的時刻便是突變開始的時間.從圖5可以看出全國1949-2008洪災數(shù)據(jù)Pre-whitening 處理前后的Mann-Kendall突變檢驗結果有所差異.因已算出原始數(shù)據(jù)一階自相關系數(shù)ρ1=0.401 25，觀察第三節(jié)中所做的不同一階自相關系數(shù)在不同樣本空間下對Mann-Kendall突變檢驗產(chǎn)生影響的分析結果，可以看出存在ρ1=0.4的不同樣本空間下均會產(chǎn)生突變次數(shù)少許降低的影響. 對圖5分析可以看出數(shù)據(jù)處理前Mann-Kendall突變檢驗只檢驗出1980年左右一次明顯的突變，但數(shù)據(jù)處理后發(fā)現(xiàn)在原有的突變點外還有較小的波動，這對分析數(shù)據(jù)即會產(chǎn)生影響.同時將隨著一階自相關系數(shù)的增加以及樣本量的變化產(chǎn)生更大的影響，更對剖析突變的成因，突變開始的時間點及突變的發(fā)展趨勢等產(chǎn)生干擾，因而不容忽視. 通過修正的Mann-Kendall突變檢驗可以看出1980年前后發(fā)生了2次突變，其中1980年左右發(fā)生的突變最為顯著，使全國洪災受災面積呈上升的趨勢.不難發(fā)現(xiàn)靠前的一次突變可能是1980年突變產(chǎn)生的根源所在，值得引起我們的深入分析. 因此通過Pre-whitening 處理后的Mann-Kendall突變檢驗方法對進一步分析全國洪水災害變化的趨勢以及產(chǎn)生的原因可以做出更加精確的解釋.

5 結束語

通過蒙特卡洛模擬實驗可以看出，存在AR(1)過程的時間序列，在進行Mann-Kendall突變檢驗時會對檢驗的結果產(chǎn)生影響.并且不同的自相關系數(shù)對分析結果影響程度不同，可以分別從正負自相關系數(shù)來解釋.因此，在利用Mann-Kendall突變檢驗方法檢驗時間序列的實際應用中，應先判斷時間序列是否存在自相關性.本文利用蒙特卡洛模擬實驗驗證了Pre-whitening 處理方法在Mann-Kendall突變檢驗時間序列中修正的可行性.另外，通過實驗不難看出，當一階自相關系數(shù)ρ1≥0.2時，即將對Mann-Kendall突變檢驗結果產(chǎn)生不可忽視的誤差.同時，當樣本量n≥100，一階自相關系數(shù)-0.1<ρ1<0.1時，為了計算簡便可以忽略其誤差.當一階自相關系數(shù)ρ1≤-0.2時，Mann-Kendall突變檢驗結果也產(chǎn)生不可忽視的誤差. Mann-Kendall突變檢驗方法適用于多類時間序列的突變檢驗，可以推廣到其他水文氣象領域或金融等領域的應用問題中，具有重要的研究及應用價值.

[1] 魏鳳英. 現(xiàn)代氣候統(tǒng)計診斷與預測技術[M]. 北京：氣象出版社, 1999.

[2] 張應華, 宋獻方. 水文氣象序列趨勢分析與變異診斷的方法及其對比[J]. 干旱區(qū)地理, 2015, 38(4): 652-665.

[3] 王振龍, 陳璽, 郝振純, 等. 淮北平原水文氣象要素長期變化趨勢和突變特征分析[J]. 灌溉排水學報, 2010, 29(5): 52-56.

[4] YUE S, PILON P, PHINNEY B.et al. The influence of autocorrelation on the ability to detect trend in hydrological series[J]. Hydrol Processes, 2002,16：1 807-1 829.

[5] YUE S, WANG C Y. The Mann-Kendall test modified by effective sample size to detect trend in serially Correlated Hydrological Series[J]. Water Resour Manage, 2004,18：201-218.

[6] YUE S, WANG C Y. The applicability of pre-whitening to eliminate the influence of serial correlation on the Mann-Kendall test[J]. Water Res,2002, 38(6), 10.1029/2001WR000861, 4-1-7.

[7] 姚欣明, 陳元芳, 顧圣華, 等. EEMD-NNBR模型在降水預測中的應用[J]. 水電能源科學, 2014, 32(12): 11-13,16.