梁卓華(山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 淄博 255049)

1 光滑罰函數(shù)

考慮約束優(yōu)化問(wèn)題

s.t.fi(x)≤0,0≤i≤m,

其中，fi:Rn→R(0≤i≤m)是連續(xù)可微函數(shù)， Ω0={x∈Rn|fi(x)≤0,1≤i≤m}≠φ．

不失一般性，假設(shè)

(1)

否則，可用ef0(x)來(lái)代替f0(x)．

非線性規(guī)劃問(wèn)題在科學(xué)管理，工程和經(jīng)濟(jì)管理等方面有廣泛的應(yīng)用．罰函數(shù)方法是解決非線性規(guī)劃問(wèn)題的重要方法，其主要思想是對(duì)目標(biāo)函數(shù)增加懲罰項(xiàng)，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題．對(duì)于罰函數(shù)的研究已有很多文章[1-5]．

問(wèn)題(CP)的l1精確罰函數(shù)為

(2)

文獻(xiàn)[6]中給出的光滑罰算法是基于如下形式

(3)

式中：r是一個(gè)參數(shù)；θ(·)是一類(lèi)光滑凸函數(shù)．隨后Wang等[8]將式(3) 中的參數(shù)β進(jìn)行了改進(jìn)，給出了如下光滑罰函數(shù)

(4)

本文將式(4)進(jìn)行推廣，給出如下形式的光滑函數(shù)

(5)

這里的f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，σ函數(shù)是滿足第2節(jié)中,A1,A2,A3的函數(shù)，然后由罰函數(shù)(5)給出了一類(lèi)光滑罰算法，并證明了一個(gè)攝動(dòng)定理，由此攝動(dòng)定理推出了罰算法的全局收斂性．

2 罰算法及全局收斂性

設(shè)函數(shù)σ∶Rm→R滿足如下假設(shè)：

(A1) 對(duì)?ε>0，?ηε>0，使得

(A2) 對(duì)ck→+(k→)，存在εk→0+(k→)，有

(A3) 存在常數(shù)σ0使得

σ(u)≥σ0,?u∈Rm．

容易驗(yàn)證函數(shù)σ(u)=||u+||α(α≥1)及σ(u)=||u+||2-||u+||均滿足假設(shè)(A1)～(A3)．

命題1若假設(shè)(A2)成立，則存在σ1，對(duì)?u≤0，都有σ(u)≤σ1．

證明由假設(shè)(A2)知，一定存在δ>0與k0使得

證畢．

對(duì)于問(wèn)題(CP)給出新的罰函數(shù)

其中f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))．進(jìn)一步給出基于L(x,β,r)給出一種罰算法并證明了一個(gè)攝動(dòng)定理，由此攝動(dòng)定理得到該算法的全局收斂性．

算法1

step0β0=1,r0=1,ω0=1，令k:=0．

step1 判定

(6)

否則，求非精確解xk滿足

(7)

注 由(1)與假設(shè)(A3)，對(duì)?β>0及r>0有

因此不論式(6)是否成立，滿足式(7)式的全局非精確解總是存在的，即算法總是可行的，文獻(xiàn)[8]給出的算法，在某些情況下是不可行的，這體現(xiàn)了本文結(jié)果的運(yùn)用具有更加廣泛性．

下面研究算法的收斂性．

對(duì)于ε≥0，定義問(wèn)題(CP)的松弛可行集

Ωε={x∈Rn|fi(x)≤ε,1≤i≤m}．

定義問(wèn)題(CP)的攝動(dòng)函數(shù)為

則問(wèn)題(CP)的最優(yōu)值為

設(shè)

Fε={x∈Rn|f0(x)≤θf(wàn)0(ε)+ε}．

引理1算法產(chǎn)生的序列{rk}收斂于0．

=

(8)

對(duì)于任意充分大的k≥k0，由假設(shè)(A1)有

≥

引理2?ε>0，存在K，當(dāng)k>K時(shí)都有Sk(ε)?Ωε．

證明用反證法．否則?ε0>0及無(wú)窮子列K?N={1,2,…}使得?k∈K，存在zk∈Sk(ε0)，zk?Ωε0因此存在無(wú)窮子列K0?K，使得?k∈K0與指標(biāo)i0∈{1,2,…,m}，有

fi0(zk)>ε0

(9)

則由引理1及式(9)知，對(duì)充分大的k，||f+(xk)||>ε0≥rk．

由式(9)與假設(shè)(A1)，當(dāng)k充分大時(shí)，有

(10)

又由step2知βk→+(k→)，因此(10)式右端趨向于正無(wú)窮．

(11)

(11)式左端是有界的，這樣(10)式與(11)式矛盾．證畢．

定理1(攝動(dòng)定理) 設(shè){xk}是由算法所產(chǎn)生的點(diǎn)列，則有

(12)

再取δk>0且δk→0(k→)．根據(jù)下確界的定義，對(duì)每個(gè)k，存在使得

(13)

同時(shí)由于

因此得

(14)

另一方面，對(duì)?ε>0，由引理2的證明過(guò)程知，對(duì)所有充分大的k，有

xk∈Ωε

(15)

從而，對(duì)?ε>0，由假設(shè)及(13)-(14)，有

θf(wàn)0(ε)≤f0(xk)≤

令k→，于上式兩端取極限，由式(12)即得．證畢．

由此定理可以得到下面推論．

推論1設(shè){xk}是由算法所產(chǎn)生的點(diǎn)列，則它的每一個(gè)聚點(diǎn)都是問(wèn)題(CP)的最優(yōu)解．

證明由引理2，對(duì)充分大的k有

xk∈Ωε

(16)

設(shè)x*是序列{xk}的一個(gè)聚點(diǎn)，由fi(0≤i≤m)的連續(xù)性及式(16)即知x*∈Ωε．再據(jù)ε>0的任意性知，x*∈Ω0．

由攝動(dòng)定理，有

證畢．

3 結(jié)束語(yǔ)

罰函數(shù)與精確罰函數(shù)在多個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用很廣泛，并且起著非常重要的作用，多年來(lái)，很多學(xué)者對(duì)罰函數(shù)進(jìn)行了深入研究．本文給出了一種光滑罰算法并證明了其全局收斂性．這為求解約束規(guī)劃問(wèn)題，提供了一個(gè)新的方法．

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