羅海林

摘要：極點(diǎn)配置問題常出現(xiàn)于控制結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，是其中重要問題之一。極點(diǎn)配置問題的關(guān)鍵就是通過選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋矩陣，使得閉環(huán)控制系統(tǒng)中的矩陣所期望的極點(diǎn)配置到事先給定的位置上，從而保證整個(gè)系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)特性，即部分極點(diǎn)配置問題。

關(guān)鍵詞：極點(diǎn)配置;二階系統(tǒng)

0 引言

極點(diǎn)配置問題研究最早是由Wonham （1967）提出。早期學(xué)者主要研究的是在開環(huán)控制系統(tǒng)中極點(diǎn)的完全配置問題，但是在實(shí)際工程問題中，開環(huán)控制系統(tǒng)中僅有小部分極點(diǎn)是其產(chǎn)生共振現(xiàn)象的原因。因此我們只需重新配置這些點(diǎn)就可以避免共振的發(fā)生，如果剩余的特征結(jié)構(gòu)仍然保持穩(wěn)定性，那么就把這類問題叫做部分極點(diǎn)配置問題。

該問題就是通過狀態(tài)反饋控制將閉環(huán)系統(tǒng)中的不期望的極點(diǎn)配置成預(yù)期指定的極點(diǎn)，從而改善系統(tǒng)的性能，也就是通過修正外力控制，來引起開環(huán)系統(tǒng)矩陣的部分特征結(jié)構(gòu)的變化。最近幾年還將二階系統(tǒng)問題的相關(guān)研究方法逐步推廣到了高階系統(tǒng)的部分極點(diǎn)配置問題中。本文的主要工作是對前人研究的問題和所用的方法做一個(gè)系統(tǒng)的歸納，為以后學(xué)者研究該問題提供參考和依據(jù)。

1 二階系統(tǒng)研究現(xiàn)狀及發(fā)展動(dòng)態(tài)分析

1.1 研究背景

二階系統(tǒng)部分極點(diǎn)配置問題研究的是如下振動(dòng)結(jié)構(gòu)形式的有限元生成模型：

M₀v（t）+C₀v（t）+K₀v（t）=f（t）（1）

其中M₀，C₀和K₀分別表示質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣，V（t）是n階狀態(tài)變量。然而這些系數(shù)矩陣具有以下特殊性質(zhì)：①矩陣M正定，C和K半正定;②都是n階對稱矩陣。對于（1）式的一般解可由等式：

M₀v（t）+C₀v（t）+K₀v（t）=0（2）

確定。設(shè)v（t）=xe^λt，其中x∈C，λ∈Cⁿ，代入（2）得：

（λ²M+λC+K）x=0（3）

記P（λ）=λ²M+λC+K，那么就稱P（λ）為開環(huán)二次束。其中，特征值λ與自然頻率相關(guān)，特征向量表示（2）的模態(tài)振型，并且（3）式有2n個(gè)特征對，表示為{λ_t，x_i}i=1²n.

在實(shí)際工程中，為了避免系統(tǒng)的共振現(xiàn)象，一般是通過修正外力來改變P（λ）的部分特征結(jié)構(gòu)，從而提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。令

f（t）=Bu（t），u（t）=F^Tv（t）+G^Tv（t）（4）

其中B∈R^n×m為滿秩控制矩陣，u（t）∈R^m表示狀態(tài)反饋控制變量，F(xiàn)，G∈R^n×m表示反饋矩陣。結(jié)合上述（3）式，可以有下面的二階閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)系統(tǒng)：

My（t）+（C-BF^T）v（t）+（K-BG^T）v（t）=0（5）

對（5）式作上述同樣的變量分離，得到二階閉環(huán)系統(tǒng)的特征值問題模型：

P_c（λ）x=[λ²M+λ（C-BF^T）+（K-BG^T）x=0]

（6）

其中稱P_c（λ）=λ²M+λ（C-BF^T）+（K-BG^T）為閉環(huán)二次束。

1.2 文獻(xiàn)分析

Brahmaa和Datta研究的是在二次振動(dòng)系統(tǒng)中最小范數(shù)優(yōu)化和魯棒性的部分特征值配置問題。給定M，D和K對稱，M正定和K半正定。本文基于我們提出新的優(yōu)化算法來解決這些問題，并且滿足無溢出條件。Yuan和Liu研究的是阻尼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的一種迭代修正方法，使用了對稱特征值去重新配置。當(dāng)給定系數(shù)矩陣M，D和K對稱，矩陣M非奇異，C=B^T時(shí)，使得BFB^T和BGB^T的范數(shù)同時(shí)達(dá)到最小。Ladaci和Bensalia研究的是基于自適應(yīng)控制的間接分?jǐn)?shù)階極點(diǎn)配置問題。本文由分?jǐn)?shù)階極點(diǎn)位置提出一種間接自適應(yīng)控制器，所提出的控制策略是基于自我調(diào)優(yōu)控制結(jié)構(gòu)和植物模型參數(shù)的在線估計(jì)，采用了遞歸最小二乘（RLS）算法，設(shè)計(jì)過程的目的是使控制裝置以改進(jìn)的性能行為和對干擾和噪音具有良好的魯棒性作為參考。Liu和Yuan研究的是具有時(shí)間延遲的部分二次極點(diǎn)配置問題的多步方法。給定M，C和K都是實(shí)對稱矩陣，矩陣M正定，K非奇異，求解反饋矩陣F和G，并且保持無溢出。然而，多步方法的優(yōu)勢在于不用敏感矩陣和解西爾維斯特方程。

1.3 有待進(jìn)一步研究的問題

近些年，對干部分二次特征值配置問題研究取得了一定的成果。Yuan和Liu利用對稱特征結(jié)構(gòu)配置研究了阻尼和剛度系數(shù)矩陣的修正問題的最佳逼近問題，提出了一種交替方向求解算法。對干部分二次極點(diǎn)的配置問題，當(dāng)矩陣C對稱，M和K分別正定和半正定時(shí)，如何保持二次束結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，甚至保證配置的無溢出性，這仍然是一個(gè)很具挑戰(zhàn)性的問題。

3 總結(jié)

本文對部分極點(diǎn)配置問題的理論與方法進(jìn)行了歸納，內(nèi)容主要包括：二階系統(tǒng)的研究背景、文獻(xiàn)分析以及有待進(jìn)一步研究的問題。部分極點(diǎn)配置問題的核心是對影響整個(gè)系統(tǒng)性能因素的分析和控制，狀態(tài)反饋、時(shí)滯現(xiàn)象、解的優(yōu)化等因素，這些問題有待進(jìn)一步展開研究。

參考文獻(xiàn)

[1]Brahmaa S.，Datta B.，An optimization approach for minimumnorm and robust partial quadratic eigenvalue assignment prob-lems for vibrating structures，Journal of Sound and Vibration，2009（324）：471-489.

[2]Ladaci S.，Bensafia Y.，Indirect fractional order pole assignmentbased adaptive control，Engineering Science and Technology，anInternational Journal，2016（19）：518-530.

[3]Liu H.，Yuan Y.，A multi-step method for partial quadratic poleassignment problem with time delay，Applied Mathematics andComputation，2016（283）：29-35.

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