張 超，李 彬,2，趙新華,2

（1.天津理工大學(xué) 天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384；2.天津理工大學(xué) 機(jī)電工程國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津 300384）

0 引言

近年來，隨著并聯(lián)機(jī)構(gòu)相關(guān)理論研究和應(yīng)用的不斷深入，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，特別是3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)得到了較快的發(fā)展，已成為并聯(lián)機(jī)構(gòu)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。相對于6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有機(jī)械結(jié)構(gòu)簡單、制造成本低、工作空間大、精度高、速度快、累計(jì)誤差小等優(yōu)點(diǎn)，在加工制造、醫(yī)療器械、航空航天等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。三平動自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)是少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中非常重要的一類，對于這類機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)研究已經(jīng)成為目前少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的趨勢。文獻(xiàn)[1]設(shè)計(jì)一種3自由度平動機(jī)器人Delta robot，被廣泛應(yīng)用于流水生產(chǎn)線的抓拾作業(yè)，成為工業(yè)應(yīng)用最成功的并聯(lián)機(jī)構(gòu)之一。文獻(xiàn)[2]提出一種新型的3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對機(jī)構(gòu)的構(gòu)型，正反位置，工作空間，傳動性能等做了研究。文獻(xiàn)[3]對一類具有3個(gè)完全相同運(yùn)動支鏈的平動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)渥隽搜芯?。文獻(xiàn)[4]對一類含平行四邊形支鏈的三平動自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何誤差建模，靈敏度及裝配工藝做了研究，并已將其應(yīng)用于并聯(lián)機(jī)床的主模塊。文獻(xiàn)[5]提出一種新型的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-CPR，并基于ADAMS軟件對機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)模擬仿真，同時(shí)利用遺傳算法對機(jī)構(gòu)的工作空間做了研究。文獻(xiàn)[6]以一種新型的三平動自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-PRUR為研究對象，利用螺旋理論分析了機(jī)構(gòu)的自由度屬性，并基于使用Bezout消元法對機(jī)構(gòu)的位置進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了一種3自由度高精度并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-UPU，并對機(jī)構(gòu)建模設(shè)計(jì)，靈敏度分析，同時(shí)基于機(jī)構(gòu)的研究對原型機(jī)進(jìn)行了研發(fā)。文獻(xiàn)[8]利用變胞機(jī)構(gòu)理論設(shè)計(jì)了一類3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型轉(zhuǎn)換的實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)，并利用螺旋理論對機(jī)構(gòu)的自由度等進(jìn)行分析，同時(shí)研究了轉(zhuǎn)換位置點(diǎn)對工作性能的影響。

本文以三平動自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-CRU為研究對象，基于螺旋理論對機(jī)構(gòu)的自由度屬性進(jìn)行了分析，該機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)空間三平動運(yùn)動。并利用幾何法對機(jī)構(gòu)的位置正反解進(jìn)行了研究，同時(shí)基于正解方程，得到了機(jī)構(gòu)的工作空間。另外，通過建立機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣，利用機(jī)構(gòu)靈巧度指標(biāo)對機(jī)構(gòu)的工作性能進(jìn)行研究，為后續(xù)機(jī)構(gòu)動力學(xué)及實(shí)際應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。

1 機(jī)構(gòu)組成與坐標(biāo)系建立

3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示，它是由動平臺和靜平臺通過3個(gè)完全相同的CRU運(yùn)動支鏈連接而成的，其中，靜平臺分布有三條相同的支撐導(dǎo)軌，其中，兩條導(dǎo)軌在同一平面內(nèi)，另一條導(dǎo)軌的軸線所在的平面垂直于兩導(dǎo)軌所在平面，這種分布方式稱為面對稱分布。CRU支鏈自下而上依次通過圓柱副（C）、轉(zhuǎn)動副（R）和虎克鉸（U）彼此之間相互連接而成，支鏈的一端通過圓柱副與靜平臺上的支撐導(dǎo)軌相連，另一端通過虎克鉸與動平臺直接連接。

圖1 3-CRU三維模型圖

為了建立機(jī)構(gòu)的位置分析模型，如圖2所示，在靜平臺上建立參考坐標(biāo)系O-xyz，其中O點(diǎn)位于靜平臺三個(gè)支撐導(dǎo)軌的交點(diǎn)，y軸與O2O3的連線平行并由O3點(diǎn)指向O2點(diǎn)，z軸垂直于靜平臺，x軸滿足右手定則。圖中Ai點(diǎn)位于圓柱副的中心，Bi點(diǎn)位于轉(zhuǎn)動副的中心，Ci點(diǎn)位于虎克鉸的中心，點(diǎn)P在動平臺上，并且位于動平臺的幾何中心，Oi為支撐導(dǎo)軌與靜平臺的交點(diǎn)。

圖2 3-CRU機(jī)構(gòu)原理圖

如圖2所示，對于CRU運(yùn)動支鏈，圓柱副的軸線與轉(zhuǎn)動副和虎克鉸的軸線彼此相互平行。支撐導(dǎo)軌OOi與xoy平面的夾角用βi表示，其中β1=β2=β3=β。

2 3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析

3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度屬性由機(jī)構(gòu)的三條支鏈對動平臺所提供的約束力和力偶共同決定，本文通過互易螺旋理論對施加在動平臺的約束力進(jìn)行分析。不失一般性，在機(jī)構(gòu)的每條支鏈上建立坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi（i=1,2,3），則，每條支鏈的螺旋系如圖3所示，通過分析可得：

其中SiC和SiR分別表示圓柱副和轉(zhuǎn)動副的單位方向向量，并且SiC=SiR。同樣SiU1和SiU1表示虎克鉸的單位方向向量。

通過互易運(yùn)算，可以得到式(1)中5個(gè)螺旋的反螺旋，即CRU支鏈的約束螺旋為：

圖3 CRU支鏈約束圖

通過式(2)可知，機(jī)構(gòu)中繞x軸，y軸和z軸的轉(zhuǎn)動被約束，因此，3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有三個(gè)平動自由度（沿x軸方向，沿y軸方向和沿z軸方向）。因此，3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一個(gè)三平動自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

3 3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置分析

3.1 位置逆解

3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解分析是通過給定動平臺的位置坐標(biāo)，求解圓柱副在支撐導(dǎo)軌上的移動距離如圖2所示，構(gòu)建閉環(huán)矢量方程，在參考坐標(biāo)系O-xyz中，點(diǎn)P的位置向量r=(x y z)T可以表示為：

對于CRU支鏈，在式(3)的兩邊同時(shí)點(diǎn)乘siR可得：

由式(4)可知，通過給定動平臺的位置向量r，可以求出對應(yīng)的qi，也就是點(diǎn)O到點(diǎn)Ai的距離，進(jìn)而可以得到點(diǎn)Ai在支成導(dǎo)軌上位置。

3.2 位置正解

3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解是給圓柱副在支撐導(dǎo)軌上的移動距離通過一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算得到動平臺在坐標(biāo)系O-xyz中的位置。

通過式(4)可以求出：

式中：a為動平臺上點(diǎn)P到點(diǎn)Ci的距離，即：

將式(6)和式(7)相加可得：

同理，式(6)減式(7)可得：

將式(8)代入式(5)可得：

因此，給定圓柱副Ai的位置，通過式(8)、式(9)和式(10)可以得到動平臺上P點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置，進(jìn)而可以求出動平臺在靜平臺中的相對位置。同時(shí)，由式(8)、式(9)、式(10)可知，機(jī)構(gòu)動平臺的位姿僅與支撐導(dǎo)軌與坐標(biāo)系的夾角β和點(diǎn)P到點(diǎn)Ci的距離有關(guān)，與桿AiBi和桿BiCi的長度無關(guān)。

3.3 數(shù)值算例

根據(jù)3.1節(jié)和3.2節(jié)的位置正反解分析，設(shè)定3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，a=400mm，β=25°。對于機(jī)構(gòu)的位置反解，給出兩組不同的輸入(x y z)，通過式(5)，式(6)和式(7)可得輸出結(jié)果如表1和圖4所示，對于機(jī)構(gòu)的位置正解，為了驗(yàn)證正反解之間的相關(guān)性，將反解的輸出作為正解的輸入(q1q2q3)，通過式(8)、式(9)、式(10)可得到正解的輸出如表2和圖5所示。

圖4 機(jī)構(gòu)位置反解

表1 機(jī)構(gòu)的位置反解

表2 機(jī)構(gòu)的位置正解

圖5 機(jī)構(gòu)位置正解

4 3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣

對式(5)、式(6)和式(7)分別關(guān)于對時(shí)間求導(dǎo)可得：

當(dāng)機(jī)構(gòu)非奇異時(shí)，式(11)～式(13)可表示行列式的形式，如式(14)所示：

式中：

其中J為3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅克比行列式。

當(dāng)J可逆時(shí)，式(14)可以表示為：

可知，式(14)為機(jī)構(gòu)的速度反解，式(15)為機(jī)構(gòu)的速度正解。

5 3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間分析

工作空間是衡量機(jī)構(gòu)性能的重要指標(biāo)，與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)正解比較復(fù)雜，各關(guān)節(jié)之間相互約束較大，奇異位置較多，增加了工作空間分析的難度。本節(jié)在前面對機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)分析的基礎(chǔ)上，通過限制圓柱副的移動范圍，運(yùn)用機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)正解求解機(jī)構(gòu)的運(yùn)動空間。

根據(jù)3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將機(jī)構(gòu)的約束條件設(shè)置為0≤q1≤300(mm)，0≤q2≤300(mm)，0≤q3≤300(mm)，β=25°通過MATLAB軟件仿真可得機(jī)構(gòu)的工作空間如圖6所示。

圖6 機(jī)構(gòu)的工作空間

由圖6(a)和(b)可以看出，3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)在x軸方向的工作空間較y軸方向的工作空間更大，由圖6(c)可以看出，機(jī)構(gòu)在z軸方向的工作空間較大，由圖6(d)可知機(jī)構(gòu)的工作空間關(guān)于y軸對稱分布。

6 3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作性能分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作性能分析的方法有很多種[9,10]，其中靈巧度分析是影響機(jī)構(gòu)機(jī)械設(shè)計(jì)、軌跡規(guī)劃、機(jī)構(gòu)控制的重要因素之一。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈巧度是指機(jī)構(gòu)在任意方向上位置或力和力偶變化的能力。本文用過定義靈巧度的指標(biāo)來分析3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作性能，靈巧度的評價(jià)指標(biāo)的定義如下，

式中，J為機(jī)構(gòu)的雅克比行列式，λ表示機(jī)構(gòu)避免奇異的能力，當(dāng)λ=0時(shí)，機(jī)構(gòu)為奇異配置，當(dāng)λ的值越趨近于1時(shí)，機(jī)構(gòu)避免奇異的能力越強(qiáng)，工作性能越好，機(jī)構(gòu)的工作性能如圖7所示。

圖7 機(jī)構(gòu)的工作性能

如圖7所示，當(dāng)β=0°和β=90°時(shí)，機(jī)構(gòu)的工作性能最差，當(dāng)β=35°時(shí)，機(jī)構(gòu)的工作性能最好，機(jī)構(gòu)的工作性能在0°～35°之間隨β角的增大而增大，在35°～90°之間，隨著β角的增大而變差，β的取值范圍在25°～45°之間時(shí)，3-CRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有較好的工作性能。

7 結(jié)論

本文以三平動自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-CRU為研究對象，利用螺旋理論分析了機(jī)構(gòu)自由度屬性，同時(shí)利用幾何法對機(jī)構(gòu)的位置正反解分析求解，得到機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)方程，并利用機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)正解，對機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行了分析?；诼菪碚摻C(jī)構(gòu)的雅克比矩陣，并利用機(jī)構(gòu)靈巧度指標(biāo)對機(jī)構(gòu)的工作性能進(jìn)行研究，通過MATLAB軟件仿真結(jié)果可分析出機(jī)構(gòu)工作性能的優(yōu)劣，這為后續(xù)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)及實(shí)際應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。

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